Упражнения 385–395, стр. 115 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 385–395 — Глава IV. Упражнения к главе IV (продолжение)

Страница 115 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава IV. Упражнения к главе IV (продолжение) — с. 115

385. Сравнить числа:
1) log_(1/2) (1/3) и log_(1/3) (1/2);
2) 2^(2 log₂ 5 + log_(1/9) 9) и √8.
1) log_(1/2) (1/3) = log₂ 3 > log₂ 2 = 1; log_(1/3) (1/2) = log₃ 2 < log₃ 3 = 1. Значит, log_(1/2) (1/3) > log_(1/3) (1/2).
2) 2^(2 log₂ 5 + log_(1/9) 9) = 2^(2 log₂ 5) · 2^(log_(1/9) 9) = 25 · 2^(−1) = 12,5, так как log_(1/9) 9 = −1. А √8 = 2√2 < 3. Следовательно, 2^(2 log₂ 5 + log_(1/9) 9) > √8.
386. Вычислить log₃₀ 64 с точностью до 0,001, зная, что lg 3 ≈ 0,4771, lg 5 ≈ 0,6990.
log₃₀ 64 = lg 64 / lg 30. Здесь lg 64 = 6 lg 2 = 6 (1 − lg 5) ≈ 6 · 0,3010 = 1,8060, lg 30 = lg 3 + 1 ≈ 1,4771. Тогда log₃₀ 64 ≈ 1,8060 / 1,4771 ≈ 1,2227 ≈ 1,223.
Ответ: ≈ 1,223.
387. Вычислить log₃₆ 15 с точностью до 0,001, зная, что lg 3 ≈ 0,4771, lg 5 ≈ 0,6990.
log₃₆ 15 = lg 15 / lg 36. Здесь lg 15 = lg 3 + lg 5 ≈ 0,4771 + 0,6990 = 1,1761; lg 36 = 2 lg 6 = 2 (lg 2 + lg 3) = 2 (1 − lg 5 + lg 3) ≈ 2 · (0,3010 + 0,4771) = 1,5562. Тогда log₃₆ 15 ≈ 1,1761 / 1,5562 ≈ 0,7558 ≈ 0,756.
Ответ: ≈ 0,756.
388. При каких значениях x справедливо неравенство:
1) log_x 8 < log_x 10;
2) log_x (3/4) < log_x (1/2)?
Основание логарифма: x > 0, x ≠ 1.
1) Так как 8 < 10, неравенство log_x 8 < log_x 10 верно, когда функция log_x t возрастает, т. е. при x > 1.
2) Так как 3/4 > 1/2, неравенство log_x (3/4) < log_x (1/2) верно, когда функция убывает, т. е. при 0 < x < 1.
Ответ: 1) x > 1; 2) 0 < x < 1.
389. Решить графически уравнение:
1) log₃ x = 3/x;
2) 2^x = log_(1/2) x.
1) Функция y = log₃ x возрастает, y = 3/x (x > 0) убывает, поэтому графики имеют не более одной общей точки. При x = 3: log₃ 3 = 1 и 3/3 = 1, значит, графики пересекаются в точке (3; 1).
2) y = 2^x возрастает, y = log_(1/2) x убывает, общая точка единственная. Точки для y = 2^x: (0; 1), (1; 2), (2; 4); для y = log_(1/2) x: (1/2; 1), (1; 0), (1/4; 2). Графики пересекаются при x ≈ 0,4 (проверка: 2^0,4 ≈ 1,32, log_(1/2) 0,4 ≈ 1,32).
Ответ: 1) x = 3; 2) x ≈ 0,4.
Графическое решение уравненийxy123456−112340y = 3/xy = log₃ xx = 3xy123−112340y = 2^xy = log_(1/2) xx ≈ 0,41)2)
390. Решить уравнение:
1) 3^(4x) = 10;
2) 2^(3x) = 3;
3) 1,3^(3x − 2) = 3;
4) (1/3)^(5 + 4x) = 1,5;
5) 16^x − 4^(x + 1) − 14 = 0;
6) 25^x + 2 · 5^x − 15 = 0.
1) 4x = log₃ 10, x = (1/4) log₃ 10 ≈ 0,524.
2) 3x = log₂ 3, x = (1/3) log₂ 3 ≈ 0,528.
3) 3x − 2 = log_(1,3) 3, x = (2 + log_(1,3) 3)/3 ≈ 2,062.
4) 5 + 4x = log_(1/3) 1,5, x = (1/4)(log_(1/3) 1,5 − 5) ≈ −1,342.
5) 16^x = 4^(2x), 4^(x + 1) = 4 · 4^x. Пусть t = 4^x > 0: t² − 4t − 14 = 0, D/4 = 4 + 14 = 18, t = 2 ± 3√2. Корень 2 − 3√2 < 0 не подходит. 4^x = 2 + 3√2, x = log₄ (2 + 3√2) ≈ 1,321.
6) Пусть t = 5^x > 0: t² + 2t − 15 = 0, t = 3 или t = −5. Корень −5 не подходит. 5^x = 3, x = log₅ 3 ≈ 0,683.
Ответ: 1. (1/4) log₃ 10; 2. (1/3) log₂ 3; 3. (2 + log_(1,3) 3)/3; 4. (1/4)(log_(1/3) 1,5 − 5); 5) log₄ (2 + 3√2); 6) log₅ 3.
391. Решить уравнение:
1) log₃ x + log₉ x + log₂₇ x = 11/12;
2) log₃ x + log_(√3) x + log_(1/3) x = 6;
3) log₃ x · log₂ x = 4 log₃ 2;
4) log₅ x · log₃ x = 9 log₅ 3.
Во всех пунктах ОДЗ: x > 0.
1) log₉ x = (1/2) log₃ x, log₂₇ x = (1/3) log₃ x. Тогда (1 + 1/2 + 1/3) log₃ x = 11/12, (11/6) log₃ x = 11/12, log₃ x = 1/2, x = √3.
2) log_(√3) x = 2 log₃ x, log_(1/3) x = −log₃ x. Тогда (1 + 2 − 1) log₃ x = 6, log₃ x = 3, x = 27.
3) log₂ x = log₃ x / log₃ 2. Пусть t = log₃ x: t²/log₃ 2 = 4 log₃ 2, t² = 4 (log₃ 2)², t = ±2 log₃ 2. Тогда x = 3^(2 log₃ 2) = 4 или x = 3^(−2 log₃ 2) = 1/4.
4) log₅ x = log₃ x · log₅ 3. Пусть t = log₃ x: t² log₅ 3 = 9 log₅ 3, t² = 9, t = ±3. Тогда x = 27 или x = 1/27.
Ответ: 1) √3; 2) 27; 3) 1/4; 4; 4) 1/27; 27.
392. Решить уравнение:
1) log₃ (2 − x²) − log₃ (−x) = 0;
2) log₅ (x² − 12) − log₅ (−x) = 0;
3) log₂ √(x − 3) + log₂ √(3x − 7) = 2;
4) lg (x + 6) − lg √(2x − 3) = lg 4.
1) ОДЗ: 2 − x² > 0 и −x > 0, т. е. x < 0. Уравнение равносильно 2 − x² = −x, x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Условию x < 0 удовлетворяет x = −1 (2 − 1 = 1 > 0).
2) ОДЗ: x² − 12 > 0 и x < 0. Уравнение: x² − 12 = −x, x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4. Подходит x = −4 (16 − 12 = 4 > 0).
3) ОДЗ: x − 3 > 0 и 3x − 7 > 0, т. е. x > 3. Тогда log₂ √((x − 3)(3x − 7)) = 2, (x − 3)(3x − 7) = 16, 3x² − 16x + 5 = 0, D = 196, x = (16 ± 14)/6, x = 5 или x = 1/3. Подходит x = 5.
4) ОДЗ: x + 6 > 0 и 2x − 3 > 0, т. е. x > 3/2. Тогда (x + 6)/√(2x − 3) = 4, x + 6 = 4√(2x − 3); обе части положительны, возводим в квадрат: x² + 12x + 36 = 32x − 48, x² − 20x + 84 = 0, x = 6 или x = 14. Проверка: x = 6: 12 = 4 · 3; x = 14: 20 = 4 · 5. Оба корня подходят.
Ответ: 1) −1; 2) −4; 3) 5; 4) 6; 14.
393. Решить уравнение:
1) log_(√2) x + 4 log₄ x + log₈ x = 13;
2) log_(0,5) (x + 2) − log₂ (x − 3) = (1/2) log_(1/√2) (−4x − 8).
1) ОДЗ: x > 0. log_(√2) x = 2 log₂ x, log₄ x = (1/2) log₂ x, log₈ x = (1/3) log₂ x. Тогда (2 + 2 + 1/3) log₂ x = 13, (13/3) log₂ x = 13, log₂ x = 3, x = 8.
2) ОДЗ: x + 2 > 0, x − 3 > 0 и −4x − 8 > 0. Из первых двух x > 3, из третьего x < −2. Эти условия несовместны, ОДЗ пусто.
Ответ: 1) 8; 2) корней нет.
394. Решить уравнение:
1) log_(1/x) 5 + log_(1/x²) 12 + (1/2) log_x 3 = 1;
2) (1/2) log_x 7 − log_(1/√x) 3 − log_(x²) 28 = 1.
ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Переходим к основанию x.
1) log_(1/x) 5 = −log_x 5, log_(1/x²) 12 = −(1/2) log_x 12. Тогда −log_x 5 − (1/2) log_x 12 + (1/2) log_x 3 = 1; −log_x 5 − (1/2) log_x 4 = 1; −log_x 5 − log_x 2 = 1; −log_x 10 = 1, log_x 10 = −1, x^(−1) = 10, x = 1/10.
2) log_(1/√x) 3 = −2 log_x 3, log_(x²) 28 = (1/2) log_x 28. Тогда (1/2) log_x 7 + 2 log_x 3 − (1/2) log_x 28 = 1; (1/2) log_x (7/28) + log_x 9 = 1; −log_x 2 + log_x 9 = 1; log_x (9/2) = 1; x = 9/2 = 4,5.
Ответ: 1) 1/10; 2) 4,5.
395. Решить уравнение:
1) log₂ (2/(x − 1)) = log₂ x;
2) log_(1/2) (10/(7 − x)) = log_(1/2) x;
3) lg ((x + 8)/(x − 1)) = lg x;
4) lg ((x − 4)/(x − 2)) = lg x.
Равенство логарифмов с одним основанием равносильно равенству аргументов при условии, что аргументы положительны.
1) x > 0 и 2/(x − 1) > 0, т. е. x > 1. Тогда 2 = x(x − 1), x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1. Подходит x = 2.
2) x > 0 и 10/(7 − x) > 0, т. е. 0 < x < 7. Тогда 10 = x(7 − x), x² − 7x + 10 = 0, x = 2 или x = 5. Оба корня лежат в (0; 7).
3) x > 0 и (x + 8)/(x − 1) > 0; при x > 0 это означает x > 1. Тогда x + 8 = x(x − 1), x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Подходит x = 4.
4) x > 0 и (x − 4)/(x − 2) > 0, т. е. x > 4 (при x > 0). Тогда x − 4 = x(x − 2), x² − 3x + 4 = 0, D = 9 − 16 < 0, корней нет.
Ответ: 1) 2; 2) 2; 5; 3) 4; 4) корней нет.