Глава V. § 21. Радианная мера угла — с. 120
407. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1) 40°;
2) 120°;
3) 150°;
4) 75°;
5) 32°;
6) 140°.
1) 40°;
2) 120°;
3) 150°;
4) 75°;
5) 32°;
6) 140°.
Используем формулу α° = (π/180) α рад.
1) 40° = 40π/180 = 2π/9.
2) 120° = 120π/180 = 2π/3.
3) 150° = 150π/180 = 5π/6.
4) 75° = 75π/180 = 5π/12.
5) 32° = 32π/180 = 8π/45.
6) 140° = 140π/180 = 7π/9.
Ответ: 1) 2π/9; 2) 2π/3; 3) 5π/6; 4) 5π/12; 5) 8π/45; 6) 7π/9.
1) 40° = 40π/180 = 2π/9.
2) 120° = 120π/180 = 2π/3.
3) 150° = 150π/180 = 5π/6.
4) 75° = 75π/180 = 5π/12.
5) 32° = 32π/180 = 8π/45.
6) 140° = 140π/180 = 7π/9.
Ответ: 1) 2π/9; 2) 2π/3; 3) 5π/6; 4) 5π/12; 5) 8π/45; 6) 7π/9.
408. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1) π/6;
2) π/9;
3) (3/4) π;
4) 2;
5) 3;
6) 0,36.
1) π/6;
2) π/9;
3) (3/4) π;
4) 2;
5) 3;
6) 0,36.
Используем формулу α рад = (180/π · α)°.
1) π/6 рад = 180°/6 = 30°.
2) π/9 рад = 180°/9 = 20°.
3) (3π/4) рад = 3 · 180°/4 = 135°.
4) 2 рад = (360/π)° ≈ 114,6°.
5) 3 рад = (540/π)° ≈ 171,9°.
6) 0,36 рад = (64,8/π)° ≈ 20,6°.
Ответ: 1) 30°; 2) 20°; 3) 135°; 4. (360/π)°; 5. (540/π)°; 6. (64,8/π)°.
1) π/6 рад = 180°/6 = 30°.
2) π/9 рад = 180°/9 = 20°.
3) (3π/4) рад = 3 · 180°/4 = 135°.
4) 2 рад = (360/π)° ≈ 114,6°.
5) 3 рад = (540/π)° ≈ 171,9°.
6) 0,36 рад = (64,8/π)° ≈ 20,6°.
Ответ: 1) 30°; 2) 20°; 3) 135°; 4. (360/π)°; 5. (540/π)°; 6. (64,8/π)°.
409. (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:
а) равностороннего треугольника;
б) равнобедренного прямоугольного треугольника;
в) квадрата;
г) правильного шестиугольника.
а) равностороннего треугольника;
б) равнобедренного прямоугольного треугольника;
в) квадрата;
г) правильного шестиугольника.
а) Все углы равностороннего треугольника равны по 60° = π/3.
б) У равнобедренного прямоугольного треугольника углы 90° = π/2, 45° = π/4 и 45° = π/4.
в) Все углы квадрата прямые: 90° = π/2.
г) Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° · (6 − 2) = 720°, каждый угол равен 720° : 6 = 120° = 2π/3.
б) У равнобедренного прямоугольного треугольника углы 90° = π/2, 45° = π/4 и 45° = π/4.
в) Все углы квадрата прямые: 90° = π/2.
г) Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° · (6 − 2) = 720°, каждый угол равен 720° : 6 = 120° = 2π/3.
410. Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.
Длина дуги l = αR, где α — угол в радианах. Отсюда R = l/α = 0,36 : 0,9 = 0,4 м.
Ответ: 0,4 м.
Ответ: 0,4 м.
411. Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см.
Из формулы l = αR получаем α = l/R = 3 : 1,5 = 2 рад.
Ответ: 2 рад.
Ответ: 2 рад.
412. Дуге кругового сектора соответствует угол в 3π/4 рад. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 1 см.
Площадь кругового сектора S = (R²/2) α. При R = 1 см и α = 3π/4: S = (1/2) · (3π/4) = 3π/8 см² ≈ 1,18 см².
Ответ: 3π/8 см².
Ответ: 3π/8 см².
413. Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора равна 6,25 см². Найти угол, который соответствует дуге этого кругового сектора.
Из формулы S = (R²/2) α получаем α = 2S/R² = 2 · 6,25 / 2,5² = 12,5 / 6,25 = 2 рад.
Ответ: 2 рад.
Ответ: 2 рад.
414. Заполнить таблицу:
[таблица: строка «Градусы»: 0,5; 36; 159; 108; пусто; пусто; пусто; пусто; строка «Радианы»: пусто; пусто; пусто; пусто; 5π/6; 3π/10; 2,5; 1,8]
[таблица: строка «Градусы»: 0,5; 36; 159; 108; пусто; пусто; пусто; пусто; строка «Радианы»: пусто; пусто; пусто; пусто; 5π/6; 3π/10; 2,5; 1,8]
Формулы: α° = (π/180) α рад и α рад = (180/π · α)°.
Градусы → радианы:
0,5° = 0,5π/180 = π/360;
36° = 36π/180 = π/5;
159° = 159π/180 = 53π/60;
108° = 108π/180 = 3π/5.
Радианы → градусы:
5π/6 рад = 5 · 180°/6 = 150°;
3π/10 рад = 3 · 180°/10 = 54°;
2,5 рад = (450/π)° ≈ 143,2°;
1,8 рад = (324/π)° ≈ 103,1°.
Градусы → радианы:
0,5° = 0,5π/180 = π/360;
36° = 36π/180 = π/5;
159° = 159π/180 = 53π/60;
108° = 108π/180 = 3π/5.
Радианы → градусы:
5π/6 рад = 5 · 180°/6 = 150°;
3π/10 рад = 3 · 180°/10 = 54°;
2,5 рад = (450/π)° ≈ 143,2°;
1,8 рад = (324/π)° ≈ 103,1°.
415. Заполнить таблицу:
[таблица, 6 столбцов. Строка «Угол, °»: 30; пусто; пусто; пусто; пусто; пусто. Строка «Угол, рад»: пусто; π/5; пусто; пусто; 2; пусто. Строка «Радиус, см»: 2; пусто; 10; 5; пусто; пусто. Строка «Длина дуги, см»: пусто; 2; 5; пусто; пусто; 10. Строка «Площадь сектора, см²»: пусто; пусто; пусто; 50; 25; 50]
[таблица, 6 столбцов. Строка «Угол, °»: 30; пусто; пусто; пусто; пусто; пусто. Строка «Угол, рад»: пусто; π/5; пусто; пусто; 2; пусто. Строка «Радиус, см»: 2; пусто; 10; 5; пусто; пусто. Строка «Длина дуги, см»: пусто; 2; 5; пусто; пусто; 10. Строка «Площадь сектора, см²»: пусто; пусто; пусто; 50; 25; 50]
Формулы: l = αR, S = (R²/2) α = lR/2, α° = (180/π α)°; α рад = (π/180) α°.
Столбец 1: α = 30° = π/6 рад; R = 2 см; l = αR = π/3 см ≈ 1,05 см; S = (R²/2) α = 2 · π/6 = π/3 см² ≈ 1,05 см².
Столбец 2: α = π/5 рад = 36°; l = 2 см; R = l/α = 2 : (π/5) = 10/π см ≈ 3,18 см; S = lR/2 = 10/π см² ≈ 3,18 см².
Столбец 3: R = 10 см, l = 5 см; α = l/R = 0,5 рад = (90/π)° ≈ 28,6°; S = lR/2 = 25 см².
Столбец 4: R = 5 см, S = 50 см²; α = 2S/R² = 100/25 = 4 рад = (720/π)° ≈ 229,2°; l = αR = 20 см.
Столбец 5: α = 2 рад = (360/π)° ≈ 114,6°, S = 25 см²; R² = 2S/α = 25, R = 5 см; l = αR = 10 см.
Столбец 6: l = 10 см, S = 50 см²; R = 2S/l = 10 см; α = l/R = 1 рад = (180/π)° ≈ 57,3°.
Столбец 1: α = 30° = π/6 рад; R = 2 см; l = αR = π/3 см ≈ 1,05 см; S = (R²/2) α = 2 · π/6 = π/3 см² ≈ 1,05 см².
Столбец 2: α = π/5 рад = 36°; l = 2 см; R = l/α = 2 : (π/5) = 10/π см ≈ 3,18 см; S = lR/2 = 10/π см² ≈ 3,18 см².
Столбец 3: R = 10 см, l = 5 см; α = l/R = 0,5 рад = (90/π)° ≈ 28,6°; S = lR/2 = 25 см².
Столбец 4: R = 5 см, S = 50 см²; α = 2S/R² = 100/25 = 4 рад = (720/π)° ≈ 229,2°; l = αR = 20 см.
Столбец 5: α = 2 рад = (360/π)° ≈ 114,6°, S = 25 см²; R² = 2S/α = 25, R = 5 см; l = αR = 10 см.
Столбец 6: l = 10 см, S = 50 см²; R = 2S/l = 10 см; α = l/R = 1 рад = (180/π)° ≈ 57,3°.