Глава V. § 22. Поворот точки вокруг начала координат — с. 126
425. Найти число x, где 0 ≤ x < 2π, и натуральное число k, такие, чтобы выполнялось равенство a = x + 2πk, если:
1) a = 9,8π;
2) a = 7(1/3)π;
3) a = (11/2)π;
4) a = (17/3)π.
1) a = 9,8π;
2) a = 7(1/3)π;
3) a = (11/2)π;
4) a = (17/3)π.
Нужно выделить из a целое число полных оборотов 2π, оставив остаток x в промежутке [0; 2π).
1) 9,8π = 1,8π + 8π = 1,8π + 2π·4. Ответ: x = 1,8π, k = 4.
2) 7(1/3)π = (22/3)π = (4/3)π + 6π = (4/3)π + 2π·3. Ответ: x = (4/3)π, k = 3.
3) (11/2)π = (3/2)π + 4π = (3/2)π + 2π·2. Ответ: x = (3/2)π, k = 2.
4) (17/3)π = (5/3)π + 4π = (5/3)π + 2π·2. Ответ: x = (5/3)π, k = 2.
1) 9,8π = 1,8π + 8π = 1,8π + 2π·4. Ответ: x = 1,8π, k = 4.
2) 7(1/3)π = (22/3)π = (4/3)π + 6π = (4/3)π + 2π·3. Ответ: x = (4/3)π, k = 3.
3) (11/2)π = (3/2)π + 4π = (3/2)π + 2π·2. Ответ: x = (3/2)π, k = 2.
4) (17/3)π = (5/3)π + 4π = (5/3)π + 2π·2. Ответ: x = (5/3)π, k = 2.
426. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки P (1; 0) на угол:
1) 4,5π;
2) 5,5π;
3) −6π;
4) −7π.
1) 4,5π;
2) 5,5π;
3) −6π;
4) −7π.
Отбрасываем полные обороты (кратные 2π).
1) 4,5π = 0,5π + 4π: точка как для π/2, это (0; 1).
2) 5,5π = 1,5π + 4π: точка как для 3π/2, это (0; −1).
3) −6π = −3·2π: три полных оборота по часовой стрелке, точка остаётся P (1; 0).
4) −7π = −π − 6π: точка как для −π, это (−1; 0).
1) 4,5π = 0,5π + 4π: точка как для π/2, это (0; 1).
2) 5,5π = 1,5π + 4π: точка как для 3π/2, это (0; −1).
3) −6π = −3·2π: три полных оборота по часовой стрелке, точка остаётся P (1; 0).
4) −7π = −π − 6π: точка как для −π, это (−1; 0).
427. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол (k — целое число):
1) −(3π/2) + 2πk;
2) 5π/2 + 2πk;
3) 7π/2 + 2πk;
4) −(9π/2) + 2πk.
1) −(3π/2) + 2πk;
2) 5π/2 + 2πk;
3) 7π/2 + 2πk;
4) −(9π/2) + 2πk.
Выделяем целое число полных оборотов.
1) −3π/2 = π/2 − 2π, значит точка как для π/2. Ответ: (0; 1).
2) 5π/2 = π/2 + 2π, точка как для π/2. Ответ: (0; 1).
3) 7π/2 = 3π/2 + 2π, точка как для 3π/2. Ответ: (0; −1).
4) −9π/2 = −π/2 − 4π, точка как для −π/2. Ответ: (0; −1).
1) −3π/2 = π/2 − 2π, значит точка как для π/2. Ответ: (0; 1).
2) 5π/2 = π/2 + 2π, точка как для π/2. Ответ: (0; 1).
3) 7π/2 = 3π/2 + 2π, точка как для 3π/2. Ответ: (0; −1).
4) −9π/2 = −π/2 − 4π, точка как для −π/2. Ответ: (0; −1).
428. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку P (1; 0), чтобы получить точку с координатами:
1) (√2/2; −√2/2);
2) (−√2/2; −√2/2);
3) (−1/2; −√3/2);
4) (−√3/2; −1/2).
1) (√2/2; −√2/2);
2) (−√2/2; −√2/2);
3) (−1/2; −√3/2);
4) (−√3/2; −1/2).
Найдём угол α₀ из промежутка (−π; π], для которого cos α₀ — абсцисса, sin α₀ — ордината; все углы тогда α₀ + 2πk, k — целое число.
1) cos α = √2/2, sin α = −√2/2: четвёртая четверть, α₀ = −π/4. Ответ: −π/4 + 2πk, k — целое число.
2) cos α = −√2/2, sin α = −√2/2: третья четверть, α₀ = −3π/4 (то же, что 5π/4). Ответ: −3π/4 + 2πk, k — целое число.
3) cos α = −1/2, sin α = −√3/2: третья четверть, α₀ = −2π/3 (то же, что 4π/3). Ответ: −2π/3 + 2πk, k — целое число.
4) cos α = −√3/2, sin α = −1/2: третья четверть, α₀ = −5π/6 (то же, что 7π/6). Ответ: −5π/6 + 2πk, k — целое число.
1) cos α = √2/2, sin α = −√2/2: четвёртая четверть, α₀ = −π/4. Ответ: −π/4 + 2πk, k — целое число.
2) cos α = −√2/2, sin α = −√2/2: третья четверть, α₀ = −3π/4 (то же, что 5π/4). Ответ: −3π/4 + 2πk, k — целое число.
3) cos α = −1/2, sin α = −√3/2: третья четверть, α₀ = −2π/3 (то же, что 4π/3). Ответ: −2π/3 + 2πk, k — целое число.
4) cos α = −√3/2, sin α = −1/2: третья четверть, α₀ = −5π/6 (то же, что 7π/6). Ответ: −5π/6 + 2πk, k — целое число.