Глава V. § 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла — с. 130
429. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числу α, если:
1) sin α = 1;
2) sin α = 0;
3) cos α = −1;
4) cos α = 0;
5) sin α = −0,6;
6) sin α = 0,5;
7) cos α = 1/3.
1) sin α = 1;
2) sin α = 0;
3) cos α = −1;
4) cos α = 0;
5) sin α = −0,6;
6) sin α = 0,5;
7) cos α = 1/3.
Синус — ордината точки единичной окружности, косинус — абсцисса. Поэтому отмечаем точки окружности с заданной ординатой (горизонтальная прямая y = a) или абсциссой (вертикальная прямая x = a).
1) y = 1: одна точка (0; 1).
2) y = 0: две точки (1; 0) и (−1; 0).
3) x = −1: одна точка (−1; 0).
4) x = 0: две точки (0; 1) и (0; −1).
5) y = −0,6: x² = 1 − 0,36 = 0,64, x = ±0,8; точки (0,8; −0,6) и (−0,8; −0,6) в нижней полуплоскости.
6) y = 0,5: x² = 1 − 0,25 = 0,75, x = ±√3/2; точки (√3/2; 1/2) и (−√3/2; 1/2), то есть углы 30° и 150°.
7) x = 1/3: y² = 1 − 1/9 = 8/9, y = ±2√2/3; точки (1/3; 2√2/3) и (1/3; −2√2/3) справа от оси Oy.
1) y = 1: одна точка (0; 1).
2) y = 0: две точки (1; 0) и (−1; 0).
3) x = −1: одна точка (−1; 0).
4) x = 0: две точки (0; 1) и (0; −1).
5) y = −0,6: x² = 1 − 0,36 = 0,64, x = ±0,8; точки (0,8; −0,6) и (−0,8; −0,6) в нижней полуплоскости.
6) y = 0,5: x² = 1 − 0,25 = 0,75, x = ±√3/2; точки (√3/2; 1/2) и (−√3/2; 1/2), то есть углы 30° и 150°.
7) x = 1/3: y² = 1 − 1/9 = 8/9, y = ±2√2/3; точки (1/3; 2√2/3) и (1/3; −2√2/3) справа от оси Oy.
430. Вычислить:
1) sin π/2 + sin 3π/2;
2) sin(−π/2) + cos π/2;
3) sin π − cos π;
4) sin 0 − cos 2π;
5) sin π + sin 1,5π;
6) sin 0 + cos 2π.
1) sin π/2 + sin 3π/2;
2) sin(−π/2) + cos π/2;
3) sin π − cos π;
4) sin 0 − cos 2π;
5) sin π + sin 1,5π;
6) sin 0 + cos 2π.
Используем: sin 0 = 0, cos 0 = 1; sin π/2 = 1, cos π/2 = 0; sin π = 0, cos π = −1; sin 3π/2 = −1, cos 3π/2 = 0; sin 2π = 0, cos 2π = 1.
1) 1 + (−1) = 0.
2) sin(−π/2) = −1, cos π/2 = 0: −1 + 0 = −1.
3) 0 − (−1) = 1.
4) 0 − 1 = −1.
5) sin 1,5π = sin 3π/2 = −1: 0 + (−1) = −1.
6) 0 + 1 = 1.
1) 1 + (−1) = 0.
2) sin(−π/2) = −1, cos π/2 = 0: −1 + 0 = −1.
3) 0 − (−1) = 1.
4) 0 − 1 = −1.
5) sin 1,5π = sin 3π/2 = −1: 0 + (−1) = −1.
6) 0 + 1 = 1.
431. Найти значения синуса и косинуса числа β, если:
1) β = 3π;
2) β = 4π;
3) β = 3,5π;
4) β = (5/2)π;
5) β = πk, k ∈ Z;
6) β = (2k + 1)π, k ∈ Z.
1) β = 3π;
2) β = 4π;
3) β = 3,5π;
4) β = (5/2)π;
5) β = πk, k ∈ Z;
6) β = (2k + 1)π, k ∈ Z.
1) 3π = π + 2π, точка (−1; 0): sin β = 0, cos β = −1.
2) 4π = 2·2π, точка (1; 0): sin β = 0, cos β = 1.
3) 3,5π = 3π/2 + 2π, точка (0; −1): sin β = −1, cos β = 0.
4) (5/2)π = π/2 + 2π, точка (0; 1): sin β = 1, cos β = 0.
5) β = πk: при чётном k точка (1; 0), при нечётном k точка (−1; 0). Значит sin β = 0, cos β = (−1)^k (1 при чётном k, −1 при нечётном).
6) β = (2k + 1)π = π + 2πk, точка (−1; 0): sin β = 0, cos β = −1.
2) 4π = 2·2π, точка (1; 0): sin β = 0, cos β = 1.
3) 3,5π = 3π/2 + 2π, точка (0; −1): sin β = −1, cos β = 0.
4) (5/2)π = π/2 + 2π, точка (0; 1): sin β = 1, cos β = 0.
5) β = πk: при чётном k точка (1; 0), при нечётном k точка (−1; 0). Значит sin β = 0, cos β = (−1)^k (1 при чётном k, −1 при нечётном).
6) β = (2k + 1)π = π + 2πk, точка (−1; 0): sin β = 0, cos β = −1.
432. Вычислить (432—433):
1) sin 3π − cos 3π/2;
2) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π;
3) sin πk + cos 2πk, k ∈ Z;
4) cos((2k + 1)π/2) − sin((4k + 1)π/2), k ∈ Z.
1) sin 3π − cos 3π/2;
2) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π;
3) sin πk + cos 2πk, k ∈ Z;
4) cos((2k + 1)π/2) − sin((4k + 1)π/2), k ∈ Z.
1) sin 3π = sin π = 0, cos 3π/2 = 0: 0 − 0 = 0.
2) cos 0 = 1; cos 3π = cos π = −1; cos 3,5π = cos 3π/2 = 0. Получаем 1 − (−1) + 0 = 2.
3) Для любого целого k точка πk лежит на оси Ox, поэтому sin πk = 0; угол 2πk — целое число оборотов, cos 2πk = 1. Ответ: 0 + 1 = 1.
4) (2k + 1)π/2 = π/2 + πk — точка (0; 1) или (0; −1), абсцисса 0, поэтому cos((2k + 1)π/2) = 0. (4k + 1)π/2 = π/2 + 2πk — точка (0; 1), sin = 1. Ответ: 0 − 1 = −1.
2) cos 0 = 1; cos 3π = cos π = −1; cos 3,5π = cos 3π/2 = 0. Получаем 1 − (−1) + 0 = 2.
3) Для любого целого k точка πk лежит на оси Ox, поэтому sin πk = 0; угол 2πk — целое число оборотов, cos 2πk = 1. Ответ: 0 + 1 = 1.
4) (2k + 1)π/2 = π/2 + πk — точка (0; 1) или (0; −1), абсцисса 0, поэтому cos((2k + 1)π/2) = 0. (4k + 1)π/2 = π/2 + 2πk — точка (0; 1), sin = 1. Ответ: 0 − 1 = −1.