Глава V. § 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла — с. 131
433. 1) tg π + cos π;
2) tg 0° − tg 180°;
3) tg π + sin π;
4) cos π − tg 2π.
2) tg 0° − tg 180°;
3) tg π + sin π;
4) cos π − tg 2π.
Используем tg α = sin α / cos α: tg 0° = 0, tg π = 0/(−1) = 0, tg 2π = 0.
1) 0 + (−1) = −1.
2) 0 − 0 = 0.
3) 0 + 0 = 0.
4) −1 − 0 = −1.
1) 0 + (−1) = −1.
2) 0 − 0 = 0.
3) 0 + 0 = 0.
4) −1 − 0 = −1.
434. Найти значение выражения:
1) 3 sin π/6 + 2 cos π/6 − tg π/3;
2) 5 sin π/4 + 3 tg π/4 − 5 cos π/4 − 10 ctg π/4;
3) (2 tg π/6 − tg π/3) : cos π/6;
4) sin π/3 · cos π/6 − tg π/4.
1) 3 sin π/6 + 2 cos π/6 − tg π/3;
2) 5 sin π/4 + 3 tg π/4 − 5 cos π/4 − 10 ctg π/4;
3) (2 tg π/6 − tg π/3) : cos π/6;
4) sin π/3 · cos π/6 − tg π/4.
Значения: sin π/6 = 1/2, cos π/6 = √3/2, tg π/6 = 1/√3 = √3/3, sin π/3 = √3/2, tg π/3 = √3, sin π/4 = cos π/4 = √2/2, tg π/4 = ctg π/4 = 1.
1) 3·(1/2) + 2·(√3/2) − √3 = 3/2 + √3 − √3 = 3/2.
2) 5·√2/2 + 3·1 − 5·√2/2 − 10·1 = 3 − 10 = −7.
3) 2 tg π/6 − tg π/3 = 2/√3 − √3 = (2 − 3)/√3 = −1/√3. Делим на cos π/6 = √3/2: (−1/√3)·(2/√3) = −2/3.
4) (√3/2)·(√3/2) − 1 = 3/4 − 1 = −1/4.
1) 3·(1/2) + 2·(√3/2) − √3 = 3/2 + √3 − √3 = 3/2.
2) 5·√2/2 + 3·1 − 5·√2/2 − 10·1 = 3 − 10 = −7.
3) 2 tg π/6 − tg π/3 = 2/√3 − √3 = (2 − 3)/√3 = −1/√3. Делим на cos π/6 = √3/2: (−1/√3)·(2/√3) = −2/3.
4) (√3/2)·(√3/2) − 1 = 3/4 − 1 = −1/4.
435. Решить уравнение:
1) 2 sin x = 0;
2) (1/2) cos x = 0;
3) cos x − 1 = 0;
4) 1 − sin x = 0.
1) 2 sin x = 0;
2) (1/2) cos x = 0;
3) cos x − 1 = 0;
4) 1 − sin x = 0.
1) sin x = 0. Ординату 0 имеют точки (1; 0) и (−1; 0), то есть x = πk. Ответ: x = πk, k ∈ Z.
2) cos x = 0. Абсциссу 0 имеют точки (0; 1) и (0; −1). Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) cos x = 1: точка (1; 0). Ответ: x = 2πk, k ∈ Z.
4) sin x = 1: точка (0; 1). Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) cos x = 0. Абсциссу 0 имеют точки (0; 1) и (0; −1). Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3) cos x = 1: точка (1; 0). Ответ: x = 2πk, k ∈ Z.
4) sin x = 1: точка (0; 1). Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
436. Может ли sin α или cos α быть равным:
1) 0,049;
2) −0,875;
3) −√2;
4) 2 + √2?
1) 0,049;
2) −0,875;
3) −√2;
4) 2 + √2?
Синус и косинус — ордината и абсцисса точки единичной окружности, поэтому их значения лежат в промежутке [−1; 1].
1) 0,049 ∈ [−1; 1] — да.
2) −0,875 ∈ [−1; 1] — да.
3) −√2 ≈ −1,41 < −1 — нет.
4) 2 + √2 > 1 — нет.
1) 0,049 ∈ [−1; 1] — да.
2) −0,875 ∈ [−1; 1] — да.
3) −√2 ≈ −1,41 < −1 — нет.
4) 2 + √2 > 1 — нет.
437. Найти значение выражения:
1) 2 sin α + √2 cos α при α = π/4;
2) 0,5 cos α − √3 sin α при α = 60°;
3) sin 3α − cos 2α при α = π/6;
4) cos α/2 + sin α/3 при α = π/2.
1) 2 sin α + √2 cos α при α = π/4;
2) 0,5 cos α − √3 sin α при α = 60°;
3) sin 3α − cos 2α при α = π/6;
4) cos α/2 + sin α/3 при α = π/2.
1) 2·(√2/2) + √2·(√2/2) = √2 + 1.
2) cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2: 0,5·(1/2) − √3·(√3/2) = 1/4 − 3/2 = −5/4.
3) 3α = π/2, 2α = π/3: sin π/2 − cos π/3 = 1 − 1/2 = 1/2.
4) α/2 = π/4, α/3 = π/6: cos π/4 + sin π/6 = √2/2 + 1/2 = (1 + √2)/2.
2) cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2: 0,5·(1/2) − √3·(√3/2) = 1/4 − 3/2 = −5/4.
3) 3α = π/2, 2α = π/3: sin π/2 − cos π/3 = 1 − 1/2 = 1/2.
4) α/2 = π/4, α/3 = π/6: cos π/4 + sin π/6 = √2/2 + 1/2 = (1 + √2)/2.
438. Найти значение выражения:
1) sin π/4 cos π/4 − sin π/3 cos π/6;
2) 2 tg² π/3 − ctg² π/6 − sin π/6 cos π/3;
3) (tg π/4 − ctg π/3)(ctg π/4 + tg π/6);
4) 2 cos² π/6 − sin² π/3 + tg π/6 ctg π/3.
1) sin π/4 cos π/4 − sin π/3 cos π/6;
2) 2 tg² π/3 − ctg² π/6 − sin π/6 cos π/3;
3) (tg π/4 − ctg π/3)(ctg π/4 + tg π/6);
4) 2 cos² π/6 − sin² π/3 + tg π/6 ctg π/3.
1) (√2/2)·(√2/2) − (√3/2)·(√3/2) = 1/2 − 3/4 = −1/4.
2) tg π/3 = √3, ctg π/6 = √3, sin π/6 = 1/2, cos π/3 = 1/2: 2·3 − 3 − (1/2)(1/2) = 3 − 1/4 = 11/4 = 2,75.
3) tg π/4 = 1, ctg π/3 = 1/√3, ctg π/4 = 1, tg π/6 = 1/√3: (1 − 1/√3)(1 + 1/√3) = 1 − 1/3 = 2/3.
4) cos² π/6 = 3/4, sin² π/3 = 3/4, tg π/6 · ctg π/3 = (1/√3)·(1/√3) = 1/3: 2·(3/4) − 3/4 + 1/3 = 3/4 + 1/3 = 13/12 = 1(1/12).
2) tg π/3 = √3, ctg π/6 = √3, sin π/6 = 1/2, cos π/3 = 1/2: 2·3 − 3 − (1/2)(1/2) = 3 − 1/4 = 11/4 = 2,75.
3) tg π/4 = 1, ctg π/3 = 1/√3, ctg π/4 = 1, tg π/6 = 1/√3: (1 − 1/√3)(1 + 1/√3) = 1 − 1/3 = 2/3.
4) cos² π/6 = 3/4, sin² π/3 = 3/4, tg π/6 · ctg π/3 = (1/√3)·(1/√3) = 1/3: 2·(3/4) − 3/4 + 1/3 = 3/4 + 1/3 = 13/12 = 1(1/12).
439. Решить уравнение:
1) sin x = −1;
2) cos x = −1;
3) sin 3x = 0;
4) cos 0,5x = 0;
5) sin(x/2 + 2π/3) = 1;
6) cos(5x + 4π/5) = 1.
1) sin x = −1;
2) cos x = −1;
3) sin 3x = 0;
4) cos 0,5x = 0;
5) sin(x/2 + 2π/3) = 1;
6) cos(5x + 4π/5) = 1.
1) Ординату −1 имеет точка (0; −1), получаемая поворотом на −π/2. Ответ: x = −π/2 + 2πk, k ∈ Z.
2) Абсциссу −1 имеет точка (−1; 0). Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z.
3) sin 3x = 0 при 3x = πk, откуда x = πk/3. Ответ: x = πk/3, k ∈ Z.
4) cos 0,5x = 0 при 0,5x = π/2 + πk, откуда x = π + 2πk. Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z.
5) sin t = 1 при t = π/2 + 2πk. x/2 + 2π/3 = π/2 + 2πk, x/2 = −π/6 + 2πk, x = −π/3 + 4πk. Ответ: x = −π/3 + 4πk, k ∈ Z.
6) cos t = 1 при t = 2πk. 5x + 4π/5 = 2πk, 5x = −4π/5 + 2πk, x = −4π/25 + 2πk/5. Ответ: x = −4π/25 + 2πk/5, k ∈ Z.
2) Абсциссу −1 имеет точка (−1; 0). Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z.
3) sin 3x = 0 при 3x = πk, откуда x = πk/3. Ответ: x = πk/3, k ∈ Z.
4) cos 0,5x = 0 при 0,5x = π/2 + πk, откуда x = π + 2πk. Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z.
5) sin t = 1 при t = π/2 + 2πk. x/2 + 2π/3 = π/2 + 2πk, x/2 = −π/6 + 2πk, x = −π/3 + 4πk. Ответ: x = −π/3 + 4πk, k ∈ Z.
6) cos t = 1 при t = 2πk. 5x + 4π/5 = 2πk, 5x = −4π/5 + 2πk, x = −4π/25 + 2πk/5. Ответ: x = −4π/25 + 2πk/5, k ∈ Z.