Глава V. § 22. Поворот точки вокруг начала координат — с. 125
416. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол:
1) 4π;
2) −(3/2)π;
3) −6,5π;
4) π/4;
5) π/3;
6) −45°.
1) 4π;
2) −(3/2)π;
3) −6,5π;
4) π/4;
5) π/3;
6) −45°.
Полный оборот равен 2π (360°). Если α = α₀ + 2πk, то поворот на α даёт ту же точку, что и поворот на α₀. Для углов π/4, π/3 используем координаты точки (cos α; sin α).
1) 4π = 2·2π, два полных оборота, точка возвращается в начальное положение. Ответ: (1; 0).
2) −(3/2)π = π/2 − 2π, значит поворот даёт ту же точку, что и поворот на π/2 (по часовой стрелке на 3π/2 приходим туда же, куда против часовой на π/2). Ответ: (0; 1).
3) −6,5π = −6π − π/2 = −3·2π − π/2, значит получаем ту же точку, что и при повороте на −π/2 (по часовой стрелке на четверть оборота). Ответ: (0; −1).
4) π/4 = 45°: cos 45° = √2/2, sin 45° = √2/2. Ответ: (√2/2; √2/2).
5) π/3 = 60°: cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2. Ответ: (1/2; √3/2).
6) −45°: поворот по часовой стрелке, cos(−45°) = √2/2, sin(−45°) = −√2/2. Ответ: (√2/2; −√2/2).
1) 4π = 2·2π, два полных оборота, точка возвращается в начальное положение. Ответ: (1; 0).
2) −(3/2)π = π/2 − 2π, значит поворот даёт ту же точку, что и поворот на π/2 (по часовой стрелке на 3π/2 приходим туда же, куда против часовой на π/2). Ответ: (0; 1).
3) −6,5π = −6π − π/2 = −3·2π − π/2, значит получаем ту же точку, что и при повороте на −π/2 (по часовой стрелке на четверть оборота). Ответ: (0; −1).
4) π/4 = 45°: cos 45° = √2/2, sin 45° = √2/2. Ответ: (√2/2; √2/2).
5) π/3 = 60°: cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2. Ответ: (1/2; √3/2).
6) −45°: поворот по часовой стрелке, cos(−45°) = √2/2, sin(−45°) = −√2/2. Ответ: (√2/2; −√2/2).
417. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (417—419):
1) π/4;
2) −π/3;
3) −(3/4)π;
4) 4π/3;
5) −(5/4)π;
6) −225°.
1) π/4;
2) −π/3;
3) −(3/4)π;
4) 4π/3;
5) −(5/4)π;
6) −225°.
Переведём каждый угол в градусы и приведём к промежутку от 0° до 360°; положительный угол откладываем против часовой стрелки, отрицательный по часовой.
1) π/4 = 45°: середина первой четверти.
2) −π/3 = −60°: 60° по часовой стрелке, точка в четвёртой четверти (это угол 300°).
3) −(3/4)π = −135°: по часовой стрелке на 135°, точка в третьей четверти (угол 225°).
4) 4π/3 = 240°: точка в третьей четверти, на 60° дальше отрицательной полуоси Ox (π + π/3).
5) −(5/4)π = −225°: по часовой стрелке на 225°, точка во второй четверти (угол 135°).
6) −225° — тот же угол, что в пункте 5, поэтому точка та же: вторая четверть, угол 135°.
Положения точек показаны на рисунке: 1) на 45°, 2) на 300°, 3) на 225°, 4) на 240°, 5) и 6) на 135°.
1) π/4 = 45°: середина первой четверти.
2) −π/3 = −60°: 60° по часовой стрелке, точка в четвёртой четверти (это угол 300°).
3) −(3/4)π = −135°: по часовой стрелке на 135°, точка в третьей четверти (угол 225°).
4) 4π/3 = 240°: точка в третьей четверти, на 60° дальше отрицательной полуоси Ox (π + π/3).
5) −(5/4)π = −225°: по часовой стрелке на 225°, точка во второй четверти (угол 135°).
6) −225° — тот же угол, что в пункте 5, поэтому точка та же: вторая четверть, угол 135°.
Положения точек показаны на рисунке: 1) на 45°, 2) на 300°, 3) на 225°, 4) на 240°, 5) и 6) на 135°.
418. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол:
1) π/4 ± 2π;
2) −π/3 ± 2π;
3) 2π/3 ± 6π;
4) −(3π/4) ± 8π.
1) π/4 ± 2π;
2) −π/3 ± 2π;
3) 2π/3 ± 6π;
4) −(3π/4) ± 8π.
Прибавление или вычитание целого числа полных оборотов (2π, 6π = 3·2π, 8π = 4·2π) не меняет положение точки, поэтому оба значения в каждом пункте дают одну и ту же точку.
1) π/4 + 2π и π/4 − 2π: точка, соответствующая π/4 = 45° (первая четверть).
2) −π/3 ± 2π: точка, соответствующая −π/3 = −60° (четвёртая четверть).
3) 2π/3 ± 6π: точка, соответствующая 2π/3 = 120° (вторая четверть).
4) −3π/4 ± 8π: точка, соответствующая −3π/4 = −135° (третья четверть, 225°).
1) π/4 + 2π и π/4 − 2π: точка, соответствующая π/4 = 45° (первая четверть).
2) −π/3 ± 2π: точка, соответствующая −π/3 = −60° (четвёртая четверть).
3) 2π/3 ± 6π: точка, соответствующая 2π/3 = 120° (вторая четверть).
4) −3π/4 ± 8π: точка, соответствующая −3π/4 = −135° (третья четверть, 225°).
419. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол:
1) 3π/2 + 2πk, k — целое число;
2) −(3/2)π + 2πk, k — целое число;
3) −π + 2πk, k — целое число;
4) −π/4 + 2πk, k — целое число.
1) 3π/2 + 2πk, k — целое число;
2) −(3/2)π + 2πk, k — целое число;
3) −π + 2πk, k — целое число;
4) −π/4 + 2πk, k — целое число.
Слагаемое 2πk означает k полных оборотов и положения точки не меняет, поэтому достаточно построить точку для угла без 2πk.
1) 3π/2 = 270°: точка (0; −1).
2) −(3/2)π = −270°: по часовой стрелке на три четверти оборота, точка (0; 1).
3) −π = −180°: точка (−1; 0).
4) −π/4 = −45°: точка в четвёртой четверти, (√2/2; −√2/2).
1) 3π/2 = 270°: точка (0; −1).
2) −(3/2)π = −270°: по часовой стрелке на три четверти оборота, точка (0; 1).
3) −π = −180°: точка (−1; 0).
4) −π/4 = −45°: точка в четвёртой четверти, (√2/2; −√2/2).
420. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол:
1) 3π;
2) −(7/2)π;
3) −(15/2)π;
4) 5π;
5) 540°;
6) 810°.
1) 3π;
2) −(7/2)π;
3) −(15/2)π;
4) 5π;
5) 540°;
6) 810°.
Отбрасываем целое число полных оборотов (2π = 360°).
1) 3π = π + 2π, та же точка, что для π. Ответ: (−1; 0).
2) −(7/2)π = π/2 − 4π, та же точка, что для π/2. Ответ: (0; 1).
3) −(15/2)π = π/2 − 8π, та же точка, что для π/2. Ответ: (0; 1).
4) 5π = π + 2·2π, та же точка, что для π. Ответ: (−1; 0).
5) 540° = 180° + 360°, та же точка, что для 180°. Ответ: (−1; 0).
6) 810° = 90° + 2·360°, та же точка, что для 90°. Ответ: (0; 1).
1) 3π = π + 2π, та же точка, что для π. Ответ: (−1; 0).
2) −(7/2)π = π/2 − 4π, та же точка, что для π/2. Ответ: (0; 1).
3) −(15/2)π = π/2 − 8π, та же точка, что для π/2. Ответ: (0; 1).
4) 5π = π + 2·2π, та же точка, что для π. Ответ: (−1; 0).
5) 540° = 180° + 360°, та же точка, что для 180°. Ответ: (−1; 0).
6) 810° = 90° + 2·360°, та же точка, что для 90°. Ответ: (0; 1).
421. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол (k — целое число):
1) −π/2 + 2πk;
2) π/2 + 2πk;
3) 3π/2 + 2πk;
4) −(3π/2) + 2πk.
1) −π/2 + 2πk;
2) π/2 + 2πk;
3) 3π/2 + 2πk;
4) −(3π/2) + 2πk.
Слагаемое 2πk (целое число оборотов) положение точки не меняет.
1) Угол −π/2 = −90°. Ответ: (0; −1).
2) Угол π/2 = 90°. Ответ: (0; 1).
3) Угол 3π/2 = 270°. Ответ: (0; −1).
4) Угол −3π/2 = −270° — по часовой стрелке на три четверти оборота. Ответ: (0; 1).
1) Угол −π/2 = −90°. Ответ: (0; −1).
2) Угол π/2 = 90°. Ответ: (0; 1).
3) Угол 3π/2 = 270°. Ответ: (0; −1).
4) Угол −3π/2 = −270° — по часовой стрелке на три четверти оборота. Ответ: (0; 1).
422. Найти координаты точки, полученной поворотом точки P (1; 0) на угол (k — целое число):
1) π/2 ± π;
2) π/4 ± π;
3) −(3π/2) + πk;
4) −π + πk.
1) π/2 ± π;
2) π/4 ± π;
3) −(3π/2) + πk;
4) −π + πk.
1) π/2 + π = 3π/2 и π/2 − π = −π/2; эти углы отличаются на 2π, точка одна и та же. Ответ: (0; −1).
2) π/4 + π = 5π/4 и π/4 − π = −3π/4; разность 2π, точка одна. Это точка третьей четверти с углом 225°. Ответ: (−√2/2; −√2/2).
3) Если k чётное (k = 2n), угол равен −3π/2 + 2πn, точка как для −3π/2 = π/2 − 2π: (0; 1). Если k нечётное (k = 2n + 1), угол равен −3π/2 + π + 2πn = −π/2 + 2πn, точка (0; −1). Ответ: (0; 1) при чётном k и (0; −1) при нечётном k, то есть (0; 1) и (0; −1).
4) Если k чётное (k = 2n), угол равен −π + 2πn, точка (−1; 0). Если k нечётное (k = 2n + 1), угол равен 2πn, точка (1; 0). Ответ: (−1; 0) при чётном k и (1; 0) при нечётном k, то есть (1; 0) и (−1; 0).
2) π/4 + π = 5π/4 и π/4 − π = −3π/4; разность 2π, точка одна. Это точка третьей четверти с углом 225°. Ответ: (−√2/2; −√2/2).
3) Если k чётное (k = 2n), угол равен −3π/2 + 2πn, точка как для −3π/2 = π/2 − 2π: (0; 1). Если k нечётное (k = 2n + 1), угол равен −3π/2 + π + 2πn = −π/2 + 2πn, точка (0; −1). Ответ: (0; 1) при чётном k и (0; −1) при нечётном k, то есть (0; 1) и (0; −1).
4) Если k чётное (k = 2n), угол равен −π + 2πn, точка (−1; 0). Если k нечётное (k = 2n + 1), угол равен 2πn, точка (1; 0). Ответ: (−1; 0) при чётном k и (1; 0) при нечётном k, то есть (1; 0) и (−1; 0).
423. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку P (1; 0), чтобы получить точку с координатами:
1) (1; 0);
2) (−1; 0);
3) (0; 1);
4) (0; −1).
1) (1; 0);
2) (−1; 0);
3) (0; 1);
4) (0; −1).
Каждая из этих точек получается при повороте на некоторый угол α₀; все остальные углы отличаются от него на целое число полных оборотов, то есть имеют вид α₀ + 2πk, k — целое число.
1) α₀ = 0. Ответ: 2πk, k — целое число.
2) α₀ = π. Ответ: π + 2πk, k — целое число.
3) α₀ = π/2. Ответ: π/2 + 2πk, k — целое число.
4) α₀ = −π/2 (или 3π/2). Ответ: −π/2 + 2πk, k — целое число.
1) α₀ = 0. Ответ: 2πk, k — целое число.
2) α₀ = π. Ответ: π + 2πk, k — целое число.
3) α₀ = π/2. Ответ: π/2 + 2πk, k — целое число.
4) α₀ = −π/2 (или 3π/2). Ответ: −π/2 + 2πk, k — целое число.
424. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки P (1; 0) на угол:
1) 1;
2) 2,75;
3) 3,16;
4) 4,95.
1) 1;
2) 2,75;
3) 3,16;
4) 4,95.
Углы заданы в радианах. Границы четвертей: π/2 ≈ 1,571; π ≈ 3,142; 3π/2 ≈ 4,712; 2π ≈ 6,283.
1) 0 < 1 < 1,571 — первая четверть.
2) 1,571 < 2,75 < 3,142 — вторая четверть.
3) 3,142 < 3,16 < 4,712 — третья четверть.
4) 4,712 < 4,95 < 6,283 — четвёртая четверть.
1) 0 < 1 < 1,571 — первая четверть.
2) 1,571 < 2,75 < 3,142 — вторая четверть.
3) 3,142 < 3,16 < 4,712 — третья четверть.
4) 4,712 < 4,95 < 6,283 — четвёртая четверть.