Упражнения 379–384, стр. 114 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 379–384 — Глава IV. Упражнения к главе IV

Страница 114 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава IV. Упражнения к главе IV — с. 114

379. Решить уравнение:
1) lg (x² − 2x) = lg 30 − 1;
2) log₃ (2x² + x) = log₃ 6 − log₃ 2;
3) lg² x − 3 lg x = 4;
4) log₂² x − 5 log₂ x + 6 = 0.
1) lg 30 − 1 = lg 30 − lg 10 = lg 3. Тогда x² − 2x = 3 (при этом аргумент 3 > 0), x² − 2x − 3 = 0, x₁ = 3, x₂ = −1. Оба корня подходят: в обоих случаях x² − 2x = 3 > 0.
2) log₃ 6 − log₃ 2 = log₃ 3 = 1, поэтому 2x² + x = 3 > 0, 2x² + x − 3 = 0, D = 25, x = (−1 ± 5)/4, x₁ = 1, x₂ = −3/2. Оба корня подходят.
3) ОДЗ: x > 0. Пусть t = lg x: t² − 3t − 4 = 0, t₁ = 4, t₂ = −1. Тогда x = 10⁴ = 10 000 или x = 10^(−1) = 0,1.
4) ОДЗ: x > 0. Пусть t = log₂ x: t² − 5t + 6 = 0, t₁ = 2, t₂ = 3. Тогда x = 4 или x = 8.
Ответ: 1) −1; 3; 2) −3/2; 1; 3) 0,1; 10 000; 4) 4; 8.
380. Решить уравнение:
1) log₂ (x − 2) + log₂ (x − 3) = 1;
2) log₃ (5 − x) + log₃ (−1 − x) = 3;
3) lg (x − 2) + lg x = lg 3;
4) log_(√6) (x − 1) + log_(√6) (x + 4) = log_(√6) 6.
1) ОДЗ: x − 2 > 0 и x − 3 > 0, т. е. x > 3. Тогда (x − 2)(x − 3) = 2, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Условию x > 3 удовлетворяет x = 4.
2) ОДЗ: 5 − x > 0 и −1 − x > 0, т. е. x < −1. Тогда (5 − x)(−1 − x) = 27, x² − 4x − 5 = 27, x² − 4x − 32 = 0, x = 8 или x = −4. Подходит x = −4.
3) ОДЗ: x > 2. Тогда x(x − 2) = 3, x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1. Подходит x = 3.
4) ОДЗ: x > 1. Тогда (x − 1)(x + 4) = 6, x² + 3x − 10 = 0, x = 2 или x = −5. Подходит x = 2.
Ответ: 1) 4; 2) −4; 3) 3; 4) 2.
381. Решить неравенство:
1) log₂ (x − 5) ≤ 2;
2) log₃ (7 − x) > 1;
3) log_(1/2) (2x + 1) > −2;
4) log_(1/2) (3 − 5x) < −3.
1) Основание 2 > 1: 0 < x − 5 ≤ 2² = 4, откуда 5 < x ≤ 9.
2) Основание 3 > 1: 7 − x > 3¹ = 3, откуда x < 4 (условие 7 − x > 0 выполнено автоматически).
3) Основание 1/2 < 1, знак меняется: 0 < 2x + 1 < (1/2)^(−2) = 4, откуда −1 < 2x < 3, −1/2 < x < 3/2.
4) Основание 1/2 < 1: 3 − 5x > (1/2)^(−3) = 8, откуда −5x > 5, x < −1.
Ответ: 1. (5; 9]; 2. (−∞; 4); 3. (−1/2; 3/2); 4. (−∞; −1).
382. Решить неравенство:
1) log₃ (5 − 4x) < log₃ (x − 1);
2) log_(0,3) (2x + 5) ≥ log_(0,3) (x + 1).
1) Основание 3 > 1: 0 < 5 − 4x < x − 1. Условие 5 − 4x > 0 даёт x < 5/4; неравенство 5 − 4x < x − 1 даёт 6 < 5x, x > 6/5. Решение: 6/5 < x < 5/4.
2) Основание 0,3 < 1: 0 < 2x + 5 ≤ x + 1. Из 2x + 5 ≤ x + 1 следует x ≤ −4, а из 2x + 5 > 0 следует x > −2,5. Эти условия несовместны, решений нет.
Ответ: 1. (6/5; 5/4); 2) решений нет.
383. Решить неравенство:
1) lg (x² + 2x + 2) < 1;
2) log₃ (x² + 7x − 5) > 1.
1) Выражение x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > 0 при всех x, поэтому достаточно x² + 2x + 2 < 10, x² + 2x − 8 < 0, (x + 4)(x − 2) < 0, откуда −4 < x < 2.
2) Основание 3 > 1: x² + 7x − 5 > 3, x² + 7x − 8 > 0, (x + 8)(x − 1) > 0, откуда x < −8 или x > 1.
Ответ: 1. (−4; 2); 2. (−∞; −8) ∪ (1; +∞).
Проверь себя! Задание 1. Вычислить:
1) log₅ 125;
2) lg 0,01;
3) 2^(log₂ 3);
4) 3^(2 log₃ 7);
5) log₂ 68 − log₂ 17.
1) 125 = 5³, log₅ 125 = 3.
2) 0,01 = 10^(−2), lg 0,01 = −2.
3) По основному логарифмическому тождеству 2^(log₂ 3) = 3.
4) 3^(2 log₃ 7) = (3^(log₃ 7))² = 7² = 49.
5) log₂ 68 − log₂ 17 = log₂ (68/17) = log₂ 4 = 2.
Ответ: 1) 3; 2) −2; 3) 3; 4) 49; 5) 2.
Проверь себя! Задание 2. Построить схематически график функции:
1) y = log_(0,2) x;
2) y = log₂ x.
Обе функции определены при x > 0, графики проходят через точку (1; 0) и не пересекают ось Oy (она вертикальная асимптота).
1) Основание 0,2 < 1: функция убывает. Контрольные точки: x = 0,2 → y = 1; x = 1 → y = 0; x = 5 → y = −1. При x → 0 значения растут неограниченно, при x → +∞ уменьшаются.
2) Основание 2 > 1: функция возрастает. Контрольные точки: x = 1/2 → y = −1; x = 1 → y = 0; x = 2 → y = 1; x = 4 → y = 2.
Схематические графики логарифмических функцийxy12345−2−1120(5; −1)y = log_(0,2) xxy12345−2−1120(2; 1)y = log₂ x1) y = log_(0,2) x2) y = log₂ x
Проверь себя! Задание 3. Сравнить числа:
1) log_(0,2) 3 и log_(0,2) 2,5;
2) log₂ 0,7 и log₂ 1,2.
1) Основание 0,2 < 1, функция убывающая: большему аргументу соответствует меньшее значение. Так как 3 > 2,5, то log_(0,2) 3 < log_(0,2) 2,5.
2) Основание 2 > 1, функция возрастающая. Так как 0,7 < 1,2, то log₂ 0,7 < log₂ 1,2.
Ответ: 1) log_(0,2) 3 < log_(0,2) 2,5; 2) log₂ 0,7 < log₂ 1,2.
Проверь себя! Задание 4. Решить уравнение:
1) log₅ (3x + 1) = 2;
2) log₃ (x + 2) + log₃ x = 1;
3) ln (x² − 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3).
1) 3x + 1 = 5² = 25, 3x = 24, x = 8. Аргумент 25 > 0.
2) ОДЗ: x > 0. Тогда x(x + 2) = 3, x² + 2x − 3 = 0, x = 1 или x = −3. Корень −3 не входит в ОДЗ. Ответ: x = 1.
3) ОДЗ: x² − 6x + 9 = (x − 3)² > 0, т. е. x ≠ 3, и x + 3 > 0, т. е. x > −3. Уравнение: (x − 3)² = 3(x + 3), x² − 6x + 9 = 3x + 9, x² − 9x = 0, x = 0 или x = 9. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 1) 8; 2) 1; 3) 0; 9.
Проверь себя! Задание 5. Решить систему уравнений:
система: ln x − ln y = ln 3; x − 2y = 5.
ОДЗ: x > 0, y > 0. Первое уравнение: ln (x/y) = ln 3, откуда x/y = 3, x = 3y. Подставляем во второе: 3y − 2y = 5, y = 5, x = 15. Оба значения положительны.
Ответ: (15; 5).
Проверь себя! Задание 6. Решить неравенство:
1) log₃ (x − 1) ≤ 2;
2) log_(1/5) (2 − x) > −1.
1) Основание 3 > 1: 0 < x − 1 ≤ 3² = 9, откуда 1 < x ≤ 10.
2) Основание 1/5 < 1, знак меняется: 0 < 2 − x < (1/5)^(−1) = 5, откуда −3 < x < 2.
Ответ: 1. (1; 10]; 2. (−3; 2).
384. Вычислить:
1) log_(√3) (1/(3∛3));
2) log_(√5) (1/(25 ⁴√5));
3) 2^(2 − log₂ 5);
4) 3,6^(log_(3,6) 10 + 1);
5) 2 log₅ √5 + 3 log₂ 8;
6) log₂ log₂ log₂ 2^16.
1) 3∛3 = 3^(4/3), поэтому 1/(3∛3) = 3^(−4/3), а √3 = 3^(1/2). log_(√3) 3^(−4/3) = (−4/3) : (1/2) = −8/3.
2) 25 · ⁴√5 = 5² · 5^(1/4) = 5^(9/4), 1/(…) = 5^(−9/4), √5 = 5^(1/2). Значение: (−9/4) : (1/2) = −9/2 = −4,5.
3) 2^(2 − log₂ 5) = 2² : 2^(log₂ 5) = 4/5 = 0,8.
4) 3,6^(log_(3,6) 10 + 1) = 3,6^(log_(3,6) 10) · 3,6 = 10 · 3,6 = 36.
5) log₅ √5 = 1/2, log₂ 8 = 3: 2 · 1/2 + 3 · 3 = 1 + 9 = 10.
6) log₂ 2^16 = 16; log₂ 16 = 4; log₂ 4 = 2.
Ответ: 1) −8/3; 2) −4,5; 3) 0,8; 4) 36; 5) 10; 6) 2.