Глава IV. § 20. Логарифмические неравенства — с. 111
354. Найти область определения функции:
1) y = lg (3x − 2);
2) y = log₂ (7 − 5x);
3) y = log_(1/2) (x² − 2);
4) y = log₇ (4 − x²).
1) y = lg (3x − 2);
2) y = log₂ (7 − 5x);
3) y = log_(1/2) (x² − 2);
4) y = log₇ (4 − x²).
Аргумент логарифма должен быть положительным.
1) 3x − 2 > 0, x > 2/3.
2) 7 − 5x > 0, x < 7/5 = 1,4.
3) x² − 2 > 0, (x − √2)(x + √2) > 0, x < −√2 или x > √2.
4) 4 − x² > 0, x² < 4, −2 < x < 2.
Ответ: 1. (2/3; +∞); 2. (−∞; 1,4); 3. (−∞; −√2) ∪ (√2; +∞); 4. (−2; 2).
1) 3x − 2 > 0, x > 2/3.
2) 7 − 5x > 0, x < 7/5 = 1,4.
3) x² − 2 > 0, (x − √2)(x + √2) > 0, x < −√2 или x > √2.
4) 4 − x² > 0, x² < 4, −2 < x < 2.
Ответ: 1. (2/3; +∞); 2. (−∞; 1,4); 3. (−∞; −√2) ∪ (√2; +∞); 4. (−2; 2).
355. Решить неравенство:
1) log₃ (x + 2) < 3;
2) log₈ (4 − 2x) ≥ 2;
3) log₃ (x + 1) < −2;
4) log_(1/3) (x − 1) ≥ −2;
5) log_(1/5) (4 − 3x) ≥ −1;
6) log_(2/3) (2 − 5x) < −2.
1) log₃ (x + 2) < 3;
2) log₈ (4 − 2x) ≥ 2;
3) log₃ (x + 1) < −2;
4) log_(1/3) (x − 1) ≥ −2;
5) log_(1/5) (4 − 3x) ≥ −1;
6) log_(2/3) (2 − 5x) < −2.
Переходим к неравенству для аргумента, учитывая область определения (аргумент положителен). При основании больше 1 знак сохраняется, при основании между 0 и 1 меняется на противоположный.
1) Основание 3 > 1: 0 < x + 2 < 27, откуда −2 < x < 25.
2) Основание 8 > 1: 4 − 2x ≥ 64 (условие 4 − 2x > 0 выполнено), −2x ≥ 60, x ≤ −30.
3) Основание 3 > 1: −2 = log₃ 1/9, 0 < x + 1 < 1/9, откуда −1 < x < −8/9.
4) Основание 1/3 < 1: −2 = log_(1/3) 9, 0 < x − 1 ≤ 9, откуда 1 < x ≤ 10.
5) Основание 1/5 < 1: −1 = log_(1/5) 5, 0 < 4 − 3x ≤ 5, откуда −4 < −3x ≤ 1, т. е. −1/3 ≤ x < 4/3.
6) Основание 2/3 < 1: −2 = log_(2/3) 9/4, 2 − 5x > 9/4 (положительность следует), −5x > 1/4, x < −1/20 = −0,05.
Ответ: 1. (−2; 25); 2. (−∞; −30]; 3. (−1; −8/9); 4. (1; 10]; 5) [−1/3; 4/3); 6. (−∞; −0,05).
1) Основание 3 > 1: 0 < x + 2 < 27, откуда −2 < x < 25.
2) Основание 8 > 1: 4 − 2x ≥ 64 (условие 4 − 2x > 0 выполнено), −2x ≥ 60, x ≤ −30.
3) Основание 3 > 1: −2 = log₃ 1/9, 0 < x + 1 < 1/9, откуда −1 < x < −8/9.
4) Основание 1/3 < 1: −2 = log_(1/3) 9, 0 < x − 1 ≤ 9, откуда 1 < x ≤ 10.
5) Основание 1/5 < 1: −1 = log_(1/5) 5, 0 < 4 − 3x ≤ 5, откуда −4 < −3x ≤ 1, т. е. −1/3 ≤ x < 4/3.
6) Основание 2/3 < 1: −2 = log_(2/3) 9/4, 2 − 5x > 9/4 (положительность следует), −5x > 1/4, x < −1/20 = −0,05.
Ответ: 1. (−2; 25); 2. (−∞; −30]; 3. (−1; −8/9); 4. (1; 10]; 5) [−1/3; 4/3); 6. (−∞; −0,05).