Упражнения 1592–1599 — Задачи для внеклассной работы

Точки A и B лежат на параболе: y(1) = 0,5 − 2 + 2 = 0,5; y(4) = 8 − 8 + 2 = 2. Производная y′ = x − 2.
Касательная в A: y′(1) = −1, y = 1/2 − (x − 1) = −x + 3/2. Касательная в B: y′(4) = 2, y = 2 + 2(x − 4) = 2x − 6.
Точка C пересечения касательных: −x + 3/2 = 2x − 6 ⇒ x = 5/2, y = −1, C (5/2; −1).
Фигура заключена между параболой (сверху) и ломаной из двух касательных (снизу). Разность параболы и касательной в точке x₀ равна 0,5(x − x₀)²: например, 0,5x² − 2x + 2 − (−x + 3/2) = 0,5(x − 1)², и 0,5x² − 2x + 2 − (2x − 6) = 0,5(x − 4)².
S = ∫₁^{5/2} 0,5(x − 1)² dx + ∫_{5/2}⁴ 0,5(x − 4)² dx = (1/6)(3/2)³ + (1/6)(3/2)³ = 2 · (27/8)/6 = 9/8.
Ответ: 9/8 (то есть 1 1/8). Фигура показана на рисунке.

Касательная в точке с абсциссой a: y = √a + (x − a)/(2√a) = x/(2√a) + √a/2. С осью Ox (y = 0) она пересекается при x = −a. Вершины треугольника: (−a; 0), (3; 0) и (3; (3 + a)/(2√a)) (значение касательной при x = 3: 3/(2√a) + √a/2 = (3 + a)/(2√a)).
Основание равно 3 + a, высота (3 + a)/(2√a). S(a) = (1/2)(3 + a) · (3 + a)/(2√a) = (3 + a)²/(4√a), a ∈ [1/2; 2].
ln S = 2 ln(3 + a) − (1/2) ln a − ln 4; S′/S = 2/(3 + a) − 1/(2a) = (4a − 3 − a)/(2a(3 + a)) = (3a − 3)/(2a(3 + a)). Знак S′ совпадает со знаком a − 1: при a < 1 S убывает, при a > 1 возрастает. Значит, a = 1 — точка минимума.
S(1) = 16/4 = 4.
Ответ: a = 1, наименьшая площадь равна 4.

Площадь фигуры S = ∫₀^{π/2} sin x dx = 1, значит, каждая часть должна иметь площадь 1/2. Искомая прямая y = kx.
Если прямая лежит ниже графика на всём отрезке, то есть k·π/2 ≤ 1 (k ≤ 2/π), она отсекает треугольник с вершинами (0; 0), (π/2; 0), (π/2; kπ/2). Площадь треугольника равна (1/2)(π/2)(kπ/2) = kπ²/8 = 1/2 ⇒ k = 4/π² ≈ 0,405 < 2/π ≈ 0,637 ✓ (условие выполнено).
Другой случай: прямая пересекает синусоиду в точке x₀ ∈ (0; π/2), где k = sin x₀/x₀ > 2/π. Часть между синусоидой и прямой имела бы площадь g = ∫₀^{x₀}(sin x − kx) dx = 1 − cos x₀ − x₀ sin x₀/2, и она равна 1/2 при cos x₀ + x₀ sin x₀/2 = 1/2. Но h(x) = cos x + x sin x/2 убывает на (0; π/2) (h′ = (x cos x − sin x)/2 < 0, так как tg x > x) от 1 до π/4 > 1/2, равенства нет.
Следовательно, tg φ = k = 4/π², φ = arctg(4/π²).
Ответ: arctg(4/π²) (≈ 22°).

1) ОДЗ: 2x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 (остальные подкоренные выражения тогда положительны). Перепишем: √(x + 3) = √(2x − 4) + √(3x − 2). Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x + 3 = 5x − 6 + 2√((2x − 4)(3x − 2)) ⇒ 9 − 4x = 2√((2x − 4)(3x − 2)). Нужно 9 − 4x ≥ 0, то есть x ≤ 9/4. Ещё раз в квадрат: 81 − 72x + 16x² = 4(6x² − 16x + 8) = 24x² − 64x + 32 ⇒ 8x² + 8x − 49 = 0 ⇒ x = (−2 ± √102)/4.
Условию 2 ≤ x ≤ 9/4 удовлетворяет x = (−2 + √102)/4 ≈ 2,025 (второй корень отрицателен). Проверка численно: √5,025 ≈ 2,2416; √0,0498 ≈ 0,2231; √4,0747 ≈ 2,0186; 2,2416 − 0,2231 = 2,0185 ✓.
Ответ: 1) x = (√102 − 2)/4.
2) ОДЗ: 1 − x > 0 и √(1 − x) ≠ 1, то есть x < 1, x ≠ 0. Пусть t = √(1 − x) > 0, t ≠ 1; тогда 1 − t² = x. Левая часть: (1 + t + 1 − t)/((1 − t)(1 + t)) = 2/(1 − t²) = 2/x. Уравнение: 2/x = 2√2/t ⇒ t = √2 · x. Нужно x > 0; возводим в квадрат: 1 − x = 2x² ⇒ 2x² + x − 1 = 0 ⇒ x = 1/2 или x = −1. Корень x = −1 < 0 не подходит (t = √2 x < 0).
Проверка x = 1/2: √(1 − x) = 1/√2; левая часть 2/x = 4; правая 2√2/(1/√2) = 4 ✓.
Ответ: 2) x = 1/2.
Оговорка: в ответах учебника для 2) указан ещё x = −8/3; проверка показывает, что он не удовлетворяет уравнению (левая часть при нём отрицательна, правая положительна).

ОДЗ: x ≥ 0. Пусть s = √x ≥ 0, тогда x = s². Выражение x − 2√x + 2 = s² − 2s + 2 = (s − 1)² + 1 > 0, поэтому второй модуль раскрывается со знаком «+». Обозначим w = s² − 2s. Тогда |2s + 1 − s²| = |1 − w| = |w − 1|, и уравнение: |w − 1| + w + 2 = 7 ⇒ |w − 1| = 5 − w.
Если w ≥ 1: w − 1 = 5 − w ⇒ w = 3 ✓ (3 ≥ 1). Если w < 1: 1 − w = 5 − w ⇒ 1 = 5 — невозможно.
Итак, s² − 2s − 3 = 0 ⇒ s = 3 или s = −1. Так как s ≥ 0, s = 3, x = 9.
Проверка: |6 + 1 − 9| + |9 − 6 + 2| = 2 + 5 = 7 ✓.
Ответ: x = 9.

1) ОДЗ: x ≠ 0. Разделим на 4^(1/x) > 0: 9 + 5(3/2)^(1/x) = 4(9/4)^(1/x). Пусть u = (3/2)^(1/x) > 0, тогда (9/4)^(1/x) = u². 4u² − 5u − 9 = 0 ⇒ u = (5 ± 13)/8 ⇒ u = 9/4 или u = −1 (не подходит). (3/2)^(1/x) = (3/2)² ⇒ 1/x = 2 ⇒ x = 1/2.
Ответ: 1) x = 1/2.
2) ОДЗ: x² − 3 > 0 и 6x − 10 > 0 ⇒ x > 5/3 и |x| > √3 ⇒ x > √3. Уравнение: log₂(2(x² − 3)) = log₂(6x − 10) ⇒ 2x² − 6 = 6x − 10 ⇒ x² − 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 или x = 2. По ОДЗ подходит только x = 2 (2 > √3 ✓).
Ответ: 2) x = 2.
3) ОДЗ: x > 0, log₂ x ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. log₂(1/√2) = −1/2, поэтому уравнение: 2 log₂ x + 1 = 3√(log₂ x). Пусть t = √(log₂ x) ≥ 0: 2t² − 3t + 1 = 0 ⇒ t = 1 или t = 1/2. t = 1: log₂ x = 1, x = 2. t = 1/2: log₂ x = 1/4, x = 2^(1/4).
Ответ: 3) x = 2, x = 2^(1/4) (корень 4-й степени из 2).
4) ОДЗ: x > 0, x ≠ 1, 2x² − 3x − 4 > 0. По определению логарифма 2x² − 3x − 4 = x² ⇒ x² − 3x − 4 = 0 ⇒ x = 4 или x = −1. Корень −1 не подходит (x > 0). Проверка x = 4: 2 · 16 − 12 − 4 = 16 > 0 ✓.
Ответ: 4) x = 4.

1) ОДЗ: 0 < x < 5, x ≠ 1. log₇4 · log_x 7 = log_x 4 (формула log_a b · log_c a = log_c b). Тогда 1 + log_x(5 − x) = log_x(x(5 − x)) = log_x 4 ⇒ x(5 − x) = 4 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 или x = 4. Корень 1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 1) x = 4.
2) ОДЗ: 7 − x > 0, 3 − x > 0, 3 − x ≠ 1 ⇒ x < 3, x ≠ 2. log_{3−x} 3 = 1/log₃(3 − x) (при x ≠ 2), поэтому уравнение равносильно log₉(7 − x) + 1 = log₃(3 − x). Левая часть: log₉(7 − x) + 1 = (1/2) log₃(7 − x) + 1 = (1/2) log₃(9(7 − x)). Умножим на 2: log₃(63 − 9x) = log₃(3 − x)² ⇒ 63 − 9x = 9 − 6x + x² ⇒ x² + 3x − 54 = 0 ⇒ x = 6 или x = −9. По ОДЗ (x < 3) подходит x = −9.
Проверка при x = −9: 7 − x = 16, 3 − x = 12; log₉16 + 1 = log₃4 + 1 = log₃12, log₁₂3 = 1/log₃12, произведение равно 1 ✓.
Ответ: 2) x = −9.

1) cos x + cos 3x = 2cos 2x cos x, поэтому cos 2x (2cos x + 1) = 0. cos 2x = 0 ⇒ x = π/4 + πn/2; cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2πn.
2) Используем формулу 2 sin β cos α = sin(β + α) + sin(β − α). Здесь α = x/2 + π/4, β = 3x/2 − π/4: α + β = 2x, β − α = x − π/2. Правая часть равна sin 2x + sin(x − π/2) = sin 2x − cos x. Уравнение: cos³x − 3cos²x + cos x + sin 2x = sin 2x − cos x ⇒ cos³x − 3cos²x + 2cos x = 0 ⇒ cos x (cos x − 1)(cos x − 2) = 0. cos x = 2 невозможно. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; cos x = 1 ⇒ x = 2πn.
3) sin²x + cos²3x = 1 ⇔ cos²3x = cos²x ⇔ cos²3x − cos²x = 0. По формуле cos²α − cos²β = −sin(α + β) sin(α − β): −sin 4x sin 2x = 0 ⇒ sin 4x = 0 или sin 2x = 0. Так как sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, достаточно sin 4x = 0 ⇒ x = πn/4.
4) ОДЗ: sin x ≠ 0, sin 3x ≠ 0. ctg x − ctg 3x = sin(3x − x)/(sin x sin 3x) = sin 2x/(sin x sin 3x). Уравнение: sin 2x/(sin x sin 3x) = −sin 2x ⇒ sin 2x (1/(sin x sin 3x) + 1) = 0.
sin 2x = 0 ⇒ x = πk/2; из ОДЗ sin x ≠ 0 остаются x = π/2 + πn (sin 3x = ±1 ≠ 0 ✓).
1/(sin x sin 3x) = −1 ⇒ sin x sin 3x = −1. Так как |sin| ≤ 1, нужно sin x = ±1, тогда cos x = 0 и x = π/2 + πn — эти значения уже получены (при них sin x sin 3x = −1 ✓).
Ответ: 1) x = π/4 + πn/2, x = ±2π/3 + 2πn; 2) x = π/2 + πn, x = 2πn; 3) x = πn/4; 4) x = π/2 + πn, n ∈ Z.