Упражнения 1580–1591 — Задачи для внеклассной работы

1) √(x²) = |x|, D: x ≠ 0. При x > 0 y = x/x = 1; при x < 0 y = −x/x = −1. График — два луча y = 1 (x > 0) и y = −1 (x < 0) с выколотыми точками (0; 1) и (0; −1).
2) Гипербола. D: x ≠ 1/2. Вертикальная асимптота x = 1/2, горизонтальная y = 0 (при x → ±∞ y → 0). Точки: (0; 2), (1; −2), (−1; 2/3), (2; −2/3), (−0,5; 1). При x < 1/2 график выше оси Ox (y > 0), при x > 1/2 — ниже. Ось Ox не пересекается.
3) Выделим целую часть: y = (3x + 2)/(2x − 3) = 3/2 + (13/2)/(2x − 3) = 3/2 + (13/4)/(x − 3/2). Гипербола с асимптотами x = 3/2 и y = 3/2. Пересечения с осями: (0; −2/3) и (−2/3; 0). Дополнительные точки: (3; 11/3), (6; 20/9), (1; −5), (−3; 7/9).
4) D: x ≠ ±2. Функция нечётная (y(−x) = −y(x)), график симметричен относительно начала координат. При x ≥ 0: y = 2x/(2 − x) = −2 + 4/(2 − x). На [0; 2) функция возрастает от 0 до +∞ (при x → 2 слева), при x > 2 значения отрицательны: y → −∞ при x → 2 справа, и y → −2 при x → +∞ (снизу). Точки: (1; 2), (3; −6), (4; −4), (6; −3). При x < 0 строим симметричную часть. Асимптоты: x = 2, x = −2, y = −2 (справа), y = 2 (слева).
Графики показаны на рисунке.

1) D: x ≠ 1, x ≠ 3. Асимптоты: x = 1, x = 3 и y = 0 (при x → ±∞ y → 0). Знак y совпадает со знаком (x − 1)(x − 3): при x < 1 и x > 3 график выше оси Ox, при 1 < x < 3 — ниже. На (1; 3) выражение (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1 принимает наименьшее значение −1 при x = 2, поэтому y = 2/(−1) = −2 — наибольшее значение на этом промежутке (вершина «перевёрнутой» ветви). Точки пересечения с осью Oy: (0; 2/3). С осью Ox пересечений нет.
2) D: cos x ≠ 0, x ≠ π/2 + πn. Функция чётная, периодическая с периодом 2π. Вертикальные асимптоты x = π/2 + πn. Там, где cos x > 0, y ≥ 1 (наименьшие значения 1 при x = 2πn); там, где cos x < 0, y ≤ −1 (наибольшие значения −1 при x = π + 2πn). График состоит из «чаш» между соседними асимптотами: чаши, направленные ветвями вверх, с вершинами (2πn; 1), и ветвями вниз с вершинами (π + 2πn; −1). Значения |y| ≥ 1, ось Ox не пересекается.
3) D: x > 0, x ≠ 1. При x → +0 ln x → −∞ и y → −0; при x → 1 слева y → −∞, справа y → +∞ (асимптота x = 1); при x → +∞ y → +0. На (0; 1) y < 0 и убывает; на (1; +∞) y > 0 и убывает (так как ln x возрастает). Точки: (1/e; −1), (e; 1), (e²; 1/2). Ось Oy график не пересекает.
Графики показаны на рисунке (для 2) — на промежутке от −2π до 2π).

Применим формулу перехода к новому основанию, например к натуральному логарифму (a, b, c, d > 0, основания не равны 1): log_b a = ln a/ln b, log_c b = ln b/ln c, log_d c = ln c/ln d.
Перемножим: (ln a/ln b) · (ln b/ln c) · (ln c/ln d) = ln a/ln d = log_d a. Множители ln b и ln c сокращаются (они не равны нулю, так как b ≠ 1, c ≠ 1). Тождество доказано.

1) Пусть α = arcsin(3/5), α ∈ [−π/2; π/2], sin α = 3/5. Тогда cos α ≥ 0 и cos α = √(1 − 9/25) = 4/5.
2) Пусть β = arccos(−5/13), β ∈ [0; π], cos β = −5/13. Тогда sin β ≥ 0 и sin β = √(1 − 25/169) = 12/13.
Ответ: 1) 4/5; 2) 12/13.

Способ 1. Пусть f(x) = arcsin x + arccos x на [−1; 1]. Во внутренних точках f′(x) = 1/√(1 − x²) − 1/√(1 − x²) = 0, значит, f постоянна на (−1; 1); функции непрерывны на [−1; 1], поэтому f постоянна и на всём отрезке. При x = 0: f(0) = 0 + π/2 = π/2.
Способ 2 (проверка). arccos x = π/2 − arcsin x, так как число π/2 − arcsin x лежит в [0; π] и cos(π/2 − arcsin x) = sin(arcsin x) = x.
Ответ: C = π/2.

Функция убывает на R и не имеет стационарных точек тогда и только тогда, когда f′(x) < 0 при всех x (условие f′ ≤ 0 с изолированными нулями допускало бы стационарные точки).
f′(x) = 2cos 2x + 8(b + 2) sin x − (4b² + 16b + 6). Подставим cos 2x = 1 − 2 sin²x и обозначим s = sin x ∈ [−1; 1]: f′ = 2 − 4s² + 8(b + 2)s − 4b² − 16b − 6 = −4(s² − 2(b + 2)s + b² + 4b + 1) = −4((s − b − 2)² − 3).
Требуется (s − b − 2)² > 3 при всех s ∈ [−1; 1], то есть |b + 2 − s| > √3 при всех s ∈ [−1; 1]. Когда s пробегает [−1; 1], число b + 2 − s пробегает отрезок [b + 1; b + 3]. Он должен целиком лежать вне отрезка [−√3; √3], то есть либо b + 1 > √3, либо b + 3 < −√3.
Итак, b > √3 − 1 или b < −3 − √3.
Ответ: b < −3 − √3, b > √3 − 1.

Касательные параллельны, когда равны угловые коэффициенты — значения производных в точке x. y₁′ = −15 sin 5x, y₂′ = −15 sin 3x. Равенство: sin 5x = sin 3x ⇒ sin 5x − sin 3x = 2 cos 4x sin x = 0.
sin x = 0 ⇒ x = πn; cos 4x = 0 ⇒ 4x = π/2 + πk ⇒ x = π/8 + πk/4.
Ответ: x = πn, x = π/8 + πn/4, n ∈ Z.
Оговорка: при x = π(2n + 1) обе касательные совпадают (прямая y = −3); как и в ответе учебника, такие точки не исключаются.

Пусть касательная касается параболы в точке с абсциссой x₀. Уравнение: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), где f′(x) = −(6/5)x, то есть y = −(3/5)x₀² − (6/5)x₀(x − x₀) = −(6/5)x₀x + (3/5)x₀². Она проходит через A: −12/5 = −(12/5)x₀ + (3/5)x₀² ⇒ x₀² − 4x₀ + 4 = 0 ⇒ x₀ = 2 (точка A лежит на параболе, касательная в ней единственная).
Касательная: y = −(12/5)x + 12/5. Пересечение с Ox (y = 0): x = 1, B(1; 0). С Oy (x = 0): y = 12/5, C(0; 12/5).
Треугольник BOC прямоугольный: катеты OB = 1, OC = 12/5, гипотенуза BC = √(1 + 144/25) = 13/5. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника r = (a + b − c)/2 = (1 + 12/5 − 13/5)/2 = (4/5)/2 = 2/5.
Ответ: 2/5.

Точка A лежит на гиперболе: −12/3 = −4 ✓. y′ = 12/x², y′(3) = 12/9 = 4/3. Касательная l: y = −4 + (4/3)(x − 3) = (4/3)x − 8, то есть 4x − 3y − 24 = 0.
Центр окружности O₁(0; c) лежит на оси Oy; окружность касается оси Ox, поэтому её радиус r = |c|. Расстояние от центра до l равно радиусу: |4 · 0 − 3c − 24|/5 = |c| ⇒ |3c + 24| = 5|c|.
c > 0: 3c + 24 = 5c ⇒ c = 12 (r = 12).
c < 0: если c ≥ −8, то 3c + 24 = −5c ⇒ c = −3 (r = 3); если c < −8, то −3c − 24 = −5c ⇒ c = 12 — противоречие.
Ответ: r = 3 или r = 12.

Введём координаты: в начальный момент B(0; 0), A(−5; 0); ось Ox направим на восток, Oy — на север. Через t часов B(−4t; 0), A(−5; −3t).
Квадрат расстояния: d²(t) = (−5 + 4t)² + (3t)² = 25t² − 40t + 25. Это парабола с ветвями вверх, наименьшее значение при t = 40/50 = 0,8 ч = 48 мин: d² = 25 · 0,64 − 32 + 25 = 9, d = 3 мили.
Наименьшее расстояние 3 мили больше 1 мили, значит, сигнал различить нельзя.
Ответ: нет, наименьшее расстояние между кораблями равно 3 милям (через 48 мин).

Пусть A(2 − t; y₀), B(2 + t; y₀), t > 0. f(x) = −x³ + ax² + bx + c, f′(x) = −3x² + 2ax + b.
1) Параллельность: f′(2 − t) = f′(2 + t). −3[(2 − t)² − (2 + t)²] + 2a(−2t) = 24t − 4at = 0 ⇒ a = 6.
2) Равенство ординат: f(2 − t) = f(2 + t). Тогда −(x₁³ − x₂³) + 6(x₁² − x₂²) + b(x₁ − x₂) = 0; деля на x₁ − x₂ = −2t: −(x₁² + x₁x₂ + x₂²) + 6(x₁ + x₂) + b = 0. Здесь x₁ + x₂ = 4, x₁² + x₁x₂ + x₂² = 12 + t². Значит, b = t² − 12.
3) Угловой коэффициент касательных k = f′(2 − t) = −3(2 − t)² + 12(2 − t) + b = −2t² (подстановка b = t² − 12 даёт −12 + 12t − 3t² + 24 − 12t + t² − 12 = −2t²). Касательные: y = y₀ + k(x − x₁) и y = y₀ + k(x − x₂); их точки пересечения с осью Oy: y₀ − kx₁ = y₀ + 2t²(2 − t) и y₀ − kx₂ = y₀ + 2t²(2 + t). Они отличаются на 4t³ (большая — у касательной в B).
По условию значения 2 и 6, поэтому 4t³ = 4, t = 1, а y₀ + 2 = 2, y₀ = 0 (касательная в A проходит через (0; 2), в B — через (0; 6)).
Тогда b = 1 − 12 = −11, а условие f(1) = 0 (точка A(1; 0)): −1 + 6 − 11 + c = 0 ⇒ c = 6.
Проверка: f(x) = −x³ + 6x² − 11x + 6, f(3) = −27 + 54 − 33 + 6 = 0 ✓ (B(3; 0)); f′(1) = −3 + 12 − 11 = −2 = f′(3) = −27 + 36 − 11 ✓ = −2; касательная в A: y = −2(x − 1) проходит через (0; 2) ✓; в B: y = −2(x − 3) — через (0; 6) ✓.
Ответ: a = 6, b = −11, c = 6.

Пусть A(−2 − t; y₀), B(−2 + t; y₀), t > 0. f(x) = x³ + ax² + bx + c, f′(x) = 3x² + 2ax + b.
1) f′(−2 − t) = f′(−2 + t): 3[(2 + t)² − (2 − t)²] − 4at = 24t − 4at = 0 ⇒ a = 6.
2) f(x₁) = f(x₂): x₁² + x₁x₂ + x₂² + 6(x₁ + x₂) + b = 0 (после деления на x₁ − x₂), где x₁ + x₂ = −4, x₁² + x₁x₂ + x₂² = 12 + t². Значит, 12 + t² − 24 + b = 0, b = 12 − t².
3) Угловой коэффициент k = f′(−2 − t) = 3(2 + t)² − 12(2 + t) + b = 2t². Касательные пересекают ось Oy в точках y₀ − kx₁ = y₀ + 2t²(2 + t) (в A) и y₀ − kx₂ = y₀ + 2t²(2 − t) (в B); разность 4t³. Значения 5 и 1 дают 4t³ = 4, t = 1 и y₀ + 2 · 3 = 5, y₀ = −1.
Тогда b = 11, A(−3; −1): f(−3) = −27 + 54 − 33 + c = −6 + c = −1 ⇒ c = 5.
Проверка: f(x) = x³ + 6x² + 11x + 5, f(−1) = −1 + 6 − 11 + 5 = −1 ✓ (B(−1; −1)); f′(−3) = 27 − 36 + 11 = 2 = f′(−1) = 3 − 12 + 11 ✓; касательная в A: y = −1 + 2(x + 3) = 2x + 5 — через (0; 5) ✓; в B: y = −1 + 2(x + 1) = 2x + 1 — через (0; 1) ✓.
Ответ: a = 6, b = 11, c = 5.