Задачи для внеклассной работы — с. 427
1567. Пересекает ли график функции y = x³ − 6x² + 11x − 6 ось Ox в точках, абсциссы которых являются целыми числами?
Точки пересечения с осью Ox — это корни уравнения x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Подбором: x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓. Делим на (x − 1): x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Корни: x = 1, 2, 3 — целые числа.
Ответ: да, пересекает в точках с абсциссами 1, 2 и 3.
Корни: x = 1, 2, 3 — целые числа.
Ответ: да, пересекает в точках с абсциссами 1, 2 и 3.
1568. Уравнение 2x³ + mx² + nx + 12 = 0 имеет корни x₁ = 1, x₂ = −2. Найти третий корень этого уравнения.
Подставим известные корни. При x = 1: 2 + m + n + 12 = 0, то есть m + n = −14. При x = −2: −16 + 4m − 2n + 12 = 0, то есть 2m − n = 2. Сложив, получаем 3m = −12, m = −4, n = −10.
Уравнение: 2x³ − 4x² − 10x + 12 = 0, или x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. По теореме Виета сумма корней равна 2: 1 + (−2) + x₃ = 2 ⇒ x₃ = 3. (Проверка по произведению: x₁x₂x₃ = −6 = 1 · (−2) · 3 ✓.)
Ответ: x₃ = 3.
Уравнение: 2x³ − 4x² − 10x + 12 = 0, или x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. По теореме Виета сумма корней равна 2: 1 + (−2) + x₃ = 2 ⇒ x₃ = 3. (Проверка по произведению: x₁x₂x₃ = −6 = 1 · (−2) · 3 ✓.)
Ответ: x₃ = 3.
1569. Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметров a и b она имеет решение:
1) система: log_y x + log_x y = 5/2; x + y = a + a²;
2) система: x² + y² = a²; log_b x + log_b y = 2.
1) система: log_y x + log_x y = 5/2; x + y = a + a²;
2) система: x² + y² = a²; log_b x + log_b y = 2.
1) ОДЗ: x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1. Пусть t = log_y x, тогда log_x y = 1/t, и t + 1/t = 5/2 ⇒ 2t² − 5t + 2 = 0 ⇒ t = 2 или t = 1/2.
Случай t = 1/2: x = y^(1/2), то есть y = x². Тогда x + x² = a + a² ⇒ x² − a² + x − a = 0 ⇒ (x − a)(x + a + 1) = 0 ⇒ x = a или x = −a − 1. Нужно x > 0, x ≠ 1.
• x = a: подходит при a > 0, a ≠ 1; решение (a; a²).
• x = −a − 1: x > 0 ⇔ a < −1, x ≠ 1 ⇔ a ≠ −2; решение (−a − 1; (a + 1)²).
Случай t = 2: x = y², поменяв роли x и y: y = a (a > 0, a ≠ 1) — решение (a²; a); или y = −a − 1 (a < −1, a ≠ −2) — решение ((a + 1)²; −a − 1).
Ответ: при a > 0, a ≠ 1: (a; a²), (a²; a); при a < −1, a ≠ −2: (−a − 1; (a + 1)²), ((a + 1)²; −a − 1); при остальных a (−1 ≤ a ≤ 0, a = 1, a = −2) решений нет.
2) ОДЗ: b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0. Второе уравнение равносильно log_b (xy) = 2, то есть xy = b². Из первого: (x + y)² = a² + 2b², (x − y)² = a² − 2b². Решения существуют только при a² − 2b² ≥ 0, то есть |a| ≥ b√2. Тогда x + y = √(a² + 2b²) > 0 (положительные x, y), x − y = ±√(a² − 2b²), откуда
x = (√(a² + 2b²) + √(a² − 2b²))/2, y = (√(a² + 2b²) − √(a² − 2b²))/2 и симметричное решение с переставленными x и y (при |a| = b√2 они совпадают: x = y = b). Положительность обеспечена: y > 0, так как √(a² + 2b²) > √(a² − 2b²).
Ответ: решение существует при b > 0, b ≠ 1 и |a| ≥ b√2; оно указано выше.
Случай t = 1/2: x = y^(1/2), то есть y = x². Тогда x + x² = a + a² ⇒ x² − a² + x − a = 0 ⇒ (x − a)(x + a + 1) = 0 ⇒ x = a или x = −a − 1. Нужно x > 0, x ≠ 1.
• x = a: подходит при a > 0, a ≠ 1; решение (a; a²).
• x = −a − 1: x > 0 ⇔ a < −1, x ≠ 1 ⇔ a ≠ −2; решение (−a − 1; (a + 1)²).
Случай t = 2: x = y², поменяв роли x и y: y = a (a > 0, a ≠ 1) — решение (a²; a); или y = −a − 1 (a < −1, a ≠ −2) — решение ((a + 1)²; −a − 1).
Ответ: при a > 0, a ≠ 1: (a; a²), (a²; a); при a < −1, a ≠ −2: (−a − 1; (a + 1)²), ((a + 1)²; −a − 1); при остальных a (−1 ≤ a ≤ 0, a = 1, a = −2) решений нет.
2) ОДЗ: b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0. Второе уравнение равносильно log_b (xy) = 2, то есть xy = b². Из первого: (x + y)² = a² + 2b², (x − y)² = a² − 2b². Решения существуют только при a² − 2b² ≥ 0, то есть |a| ≥ b√2. Тогда x + y = √(a² + 2b²) > 0 (положительные x, y), x − y = ±√(a² − 2b²), откуда
x = (√(a² + 2b²) + √(a² − 2b²))/2, y = (√(a² + 2b²) − √(a² − 2b²))/2 и симметричное решение с переставленными x и y (при |a| = b√2 они совпадают: x = y = b). Положительность обеспечена: y > 0, так как √(a² + 2b²) > √(a² − 2b²).
Ответ: решение существует при b > 0, b ≠ 1 и |a| ≥ b√2; оно указано выше.
1570. Для всех значений параметра a решить систему уравнений
система: a² − 2√(3|a|) y + x² + 2xy − y² − 2 = 0; x² + y² − 2y − cos(xy) + 11 − 6a + a² = 0.
система: a² − 2√(3|a|) y + x² + 2xy − y² − 2 = 0; x² + y² − 2y − cos(xy) + 11 − 6a + a² = 0.
Выделим полные квадраты во втором уравнении: y² − 2y = (y − 1)² − 1, a² − 6a = (a − 3)² − 9. Тогда x² + (y − 1)² − 1 + (a − 3)² − 9 + 11 − cos(xy) = 0, то есть x² + (y − 1)² + (a − 3)² + (1 − cos(xy)) = 0.
Каждое слагаемое неотрицательно (в том числе 1 − cos(xy) ≥ 0), поэтому сумма равна нулю лишь тогда, когда все слагаемые нули: x = 0, y = 1, a = 3 и cos(xy) = 1 (при x = 0 это верно).
Проверим первое уравнение при a = 3, x = 0, y = 1: 9 − 2√9 · 1 + 0 + 0 − 1 − 2 = 9 − 6 − 3 = 0 ✓.
Ответ: при a ≠ 3 решений нет; при a = 3 единственное решение (0; 1).
Каждое слагаемое неотрицательно (в том числе 1 − cos(xy) ≥ 0), поэтому сумма равна нулю лишь тогда, когда все слагаемые нули: x = 0, y = 1, a = 3 и cos(xy) = 1 (при x = 0 это верно).
Проверим первое уравнение при a = 3, x = 0, y = 1: 9 − 2√9 · 1 + 0 + 0 − 1 − 2 = 9 − 6 − 3 = 0 ✓.
Ответ: при a ≠ 3 решений нет; при a = 3 единственное решение (0; 1).
1571. Решить систему уравнений:
1) система: x^y = y^x; x³ = y²;
2) система: x^(√y) = y; y^(√y) = x⁴;
3) система: x − y = −1/3; cos²πx − sin²πy = 1/2.
1) система: x^y = y^x; x³ = y²;
2) система: x^(√y) = y; y^(√y) = x⁴;
3) система: x − y = −1/3; cos²πx − sin²πy = 1/2.
1) Степени с действительными показателями определены при x > 0, y > 0. Из x³ = y² получаем y = x^(3/2). Логарифмируем первое уравнение: y ln x = x ln y = x · (3/2) ln x ⇒ ln x (y − 3x/2) = 0.
Если ln x = 0: x = 1, y = 1 — решение (1; 1).
Если y = 3x/2, то x^(3/2) = 3x/2 ⇒ √x = 3/2 ⇒ x = 9/4, y = 27/8. Проверка: x³ = 729/64 = y² ✓.
Ответ: 1. (1; 1), (9/4; 27/8).
2) x > 0, y > 0. Пусть s = √y > 0, u = ln x, v = ln y = 2 ln s. Логарифмируем: s u = v, s v = 4u. Тогда s² u = s v = 4u ⇒ u (s² − 4) = 0.
u = 0: x = 1, v = 0, y = 1. s = 2: y = 4, v = ln 4, u = v/s = (ln 4)/2 = ln 2, x = 2. Проверка: 2^(√4) = 4 ✓, 4^(√4) = 16 = 2⁴ ✓.
Ответ: 2. (1; 1), (2; 4).
3) cos²πx − sin²πy = (1 + cos 2πx)/2 − (1 − cos 2πy)/2 = (cos 2πx + cos 2πy)/2 = cos π(x + y) cos π(x − y). Так как x − y = −1/3, cos π(x − y) = cos(π/3) = 1/2. Уравнение: cos π(x + y) · 1/2 = 1/2 ⇒ cos π(x + y) = 1 ⇒ x + y = 2n, n ∈ Z. Вместе с x − y = −1/3: x = n − 1/6, y = n + 1/6.
Ответ: 3. (−1/6 + n; 1/6 + n), n ∈ Z.
Если ln x = 0: x = 1, y = 1 — решение (1; 1).
Если y = 3x/2, то x^(3/2) = 3x/2 ⇒ √x = 3/2 ⇒ x = 9/4, y = 27/8. Проверка: x³ = 729/64 = y² ✓.
Ответ: 1. (1; 1), (9/4; 27/8).
2) x > 0, y > 0. Пусть s = √y > 0, u = ln x, v = ln y = 2 ln s. Логарифмируем: s u = v, s v = 4u. Тогда s² u = s v = 4u ⇒ u (s² − 4) = 0.
u = 0: x = 1, v = 0, y = 1. s = 2: y = 4, v = ln 4, u = v/s = (ln 4)/2 = ln 2, x = 2. Проверка: 2^(√4) = 4 ✓, 4^(√4) = 16 = 2⁴ ✓.
Ответ: 2. (1; 1), (2; 4).
3) cos²πx − sin²πy = (1 + cos 2πx)/2 − (1 − cos 2πy)/2 = (cos 2πx + cos 2πy)/2 = cos π(x + y) cos π(x − y). Так как x − y = −1/3, cos π(x − y) = cos(π/3) = 1/2. Уравнение: cos π(x + y) · 1/2 = 1/2 ⇒ cos π(x + y) = 1 ⇒ x + y = 2n, n ∈ Z. Вместе с x − y = −1/3: x = n − 1/6, y = n + 1/6.
Ответ: 3. (−1/6 + n; 1/6 + n), n ∈ Z.
1572. Решить систему уравнений:
система: 6 sin x cos y + 2 cos x sin y = −3; 5 sin x cos y − 3 cos x sin y = 1.
система: 6 sin x cos y + 2 cos x sin y = −3; 5 sin x cos y − 3 cos x sin y = 1.
Пусть p = sin x cos y, q = cos x sin y. Получаем линейную систему 6p + 2q = −3, 5p − 3q = 1. Умножим первое на 3, второе на 2: 18p + 6q = −9, 10p − 6q = 2; сложим: 28p = −7, p = −1/4. Тогда q = (−3 − 6p)/2 = (−3 + 3/2)/2 = −3/4.
Следовательно, sin(x + y) = p + q = −1, sin(x − y) = p − q = 1/2 (и обратно: из этих двух равенств p = −1/4, q = −3/4, то есть система равносильна).
x + y = −π/2 + 2πn; x − y = (−1)^k π/6 + πk.
Складывая и вычитая: x = −π/4 + (−1)^k π/12 + πk/2 + πn; y = −π/4 − (−1)^k π/12 − πk/2 + πn, n ∈ Z, k ∈ Z.
Ответ: (−π/4 + (−1)^k π/12 + πk/2 + πn; −π/4 + (−1)^(k+1) π/12 − πk/2 + πn), n ∈ Z, k ∈ Z.
Следовательно, sin(x + y) = p + q = −1, sin(x − y) = p − q = 1/2 (и обратно: из этих двух равенств p = −1/4, q = −3/4, то есть система равносильна).
x + y = −π/2 + 2πn; x − y = (−1)^k π/6 + πk.
Складывая и вычитая: x = −π/4 + (−1)^k π/12 + πk/2 + πn; y = −π/4 − (−1)^k π/12 − πk/2 + πn, n ∈ Z, k ∈ Z.
Ответ: (−π/4 + (−1)^k π/12 + πk/2 + πn; −π/4 + (−1)^(k+1) π/12 − πk/2 + πn), n ∈ Z, k ∈ Z.
1573. Решить систему уравнений:
система: 3^(log_x 2) = y^(log_5 y); 2^(log_y 3) = x^(log_7 x).
система: 3^(log_x 2) = y^(log_5 y); 2^(log_y 3) = x^(log_7 x).
ОДЗ: x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1. Логарифмируем оба уравнения по основанию e. Пусть u = ln x, v = ln y.
Первое: (ln 2/u) ln 3 = v · v/ln 5 ⇒ u v² = ln 2 ln 3 ln 5.
Второе: (ln 3/v) ln 2 = u · u/ln 7 ⇒ u² v = ln 2 ln 3 ln 7.
Разделив первое на второе: v/u = ln 5/ln 7, то есть v = (ln 5/ln 7) u. Положим u = a ln 7, v = a ln 5 (a ≠ 0, так как x ≠ 1). Тогда u v² = a³ ln 7 · ln²5 = ln 2 ln 3 ln 5 ⇒ a³ = (ln 2/ln 7)(ln 3/ln 5) = log₇2 · log₅3. Второе уравнение даёт то же самое: a³ ln²7 ln 5 = ln 2 ln 3 ln 7.
Значит, a = ∛(log₅3 · log₇2), x = 7^a, y = 5^a.
Ответ: (7^a; 5^a), где a = ∛(log₅3 · log₇2).
Первое: (ln 2/u) ln 3 = v · v/ln 5 ⇒ u v² = ln 2 ln 3 ln 5.
Второе: (ln 3/v) ln 2 = u · u/ln 7 ⇒ u² v = ln 2 ln 3 ln 7.
Разделив первое на второе: v/u = ln 5/ln 7, то есть v = (ln 5/ln 7) u. Положим u = a ln 7, v = a ln 5 (a ≠ 0, так как x ≠ 1). Тогда u v² = a³ ln 7 · ln²5 = ln 2 ln 3 ln 5 ⇒ a³ = (ln 2/ln 7)(ln 3/ln 5) = log₇2 · log₅3. Второе уравнение даёт то же самое: a³ ln²7 ln 5 = ln 2 ln 3 ln 7.
Значит, a = ∛(log₅3 · log₇2), x = 7^a, y = 5^a.
Ответ: (7^a; 5^a), где a = ∛(log₅3 · log₇2).
1574. Решить неравенство:
1) x^(lg²x − 3 lg x + 1) > 1000;
2) 3^(lg x + 2) < 3^(lg x² + 5) − 2.
1) x^(lg²x − 3 lg x + 1) > 1000;
2) 3^(lg x + 2) < 3^(lg x² + 5) − 2.
1) ОДЗ: x > 0. Логарифмируем по основанию 10 (функция lg возрастает): (lg²x − 3 lg x + 1) lg x > 3. Пусть t = lg x: t³ − 3t² + t − 3 > 0 ⇒ t²(t − 3) + (t − 3) = (t − 3)(t² + 1) > 0 ⇒ t > 3 ⇒ lg x > 3 ⇒ x > 1000.
2) ОДЗ: x > 0 (тогда lg x² = 2 lg x). Пусть z = 3^(lg x) > 0. Тогда 3^(lg x + 2) = 9z, 3^(2 lg x + 5) = 243z². Неравенство: 9z < 243z² − 2 ⇒ 243z² − 9z − 2 > 0. Корни: z = (9 ± √(81 + 1944))/486 = (9 ± 45)/486, z = 1/9 или z = −2/27. Так как z > 0, получаем z > 1/9 ⇒ 3^(lg x) > 3^(−2) ⇒ lg x > −2 ⇒ x > 0,01.
Ответ: 1) x > 1000; 2) x > 0,01.
2) ОДЗ: x > 0 (тогда lg x² = 2 lg x). Пусть z = 3^(lg x) > 0. Тогда 3^(lg x + 2) = 9z, 3^(2 lg x + 5) = 243z². Неравенство: 9z < 243z² − 2 ⇒ 243z² − 9z − 2 > 0. Корни: z = (9 ± √(81 + 1944))/486 = (9 ± 45)/486, z = 1/9 или z = −2/27. Так как z > 0, получаем z > 1/9 ⇒ 3^(lg x) > 3^(−2) ⇒ lg x > −2 ⇒ x > 0,01.
Ответ: 1) x > 1000; 2) x > 0,01.
1575. Решить неравенство:
log_{|2x + 2|}(1 − 9^x) < log_{|2x + 2|}(1 + 3^x) + log_{|2x + 2|}(5/9 + 3^(x − 1)).
log_{|2x + 2|}(1 − 9^x) < log_{|2x + 2|}(1 + 3^x) + log_{|2x + 2|}(5/9 + 3^(x − 1)).
ОДЗ: 1 − 9^x > 0 ⇒ x < 0; основание b = |2x + 2| > 0, b ≠ 1: x ≠ −1, x ≠ −1/2, x ≠ −3/2; остальные выражения под логарифмом положительны всегда.
Пусть z = 3^x ∈ (0; 1). Правая часть равна log_b ((1 + z)(5/9 + z/3)). Сравниваем аргументы: 1 − z² и (1 + z)(5/9 + z/3) = 5/9 + 8z/9 + z²/3.
Разность: (5/9 + 8z/9 + z²/3) − (1 − z²) = (4/3)z² + (8/9)z − 4/9 = (4/9)(3z² + 2z − 1) = (4/9)(3z − 1)(z + 1).
Если b > 1 (x < −3/2 или x > −1/2), неравенство равносильно 1 − z² < (1 + z)(5/9 + z/3), то есть (3z − 1)(z + 1) > 0 ⇒ z > 1/3 ⇒ x > −1. С учётом ОДЗ: −1/2 < x < 0.
Если 0 < b < 1 (−3/2 < x < −1/2, x ≠ −1), знак неравенства меняется: (3z − 1)(z + 1) < 0 ⇒ z < 1/3 ⇒ x < −1. С учётом ОДЗ: −3/2 < x < −1.
Ответ: −3/2 < x < −1, −1/2 < x < 0.
Пусть z = 3^x ∈ (0; 1). Правая часть равна log_b ((1 + z)(5/9 + z/3)). Сравниваем аргументы: 1 − z² и (1 + z)(5/9 + z/3) = 5/9 + 8z/9 + z²/3.
Разность: (5/9 + 8z/9 + z²/3) − (1 − z²) = (4/3)z² + (8/9)z − 4/9 = (4/9)(3z² + 2z − 1) = (4/9)(3z − 1)(z + 1).
Если b > 1 (x < −3/2 или x > −1/2), неравенство равносильно 1 − z² < (1 + z)(5/9 + z/3), то есть (3z − 1)(z + 1) > 0 ⇒ z > 1/3 ⇒ x > −1. С учётом ОДЗ: −1/2 < x < 0.
Если 0 < b < 1 (−3/2 < x < −1/2, x ≠ −1), знак неравенства меняется: (3z − 1)(z + 1) < 0 ⇒ z < 1/3 ⇒ x < −1. С учётом ОДЗ: −3/2 < x < −1.
Ответ: −3/2 < x < −1, −1/2 < x < 0.
1576. Решить неравенство:
(x³ + x² − 4x − 4)/(x³ + 6x² + 5x − 12) > 0.
(x³ + x² − 4x − 4)/(x³ + 6x² + 5x − 12) > 0.
Разложим на множители. Числитель: x²(x + 1) − 4(x + 1) = (x + 1)(x − 2)(x + 2). Знаменатель: при x = 1 он равен 1 + 6 + 5 − 12 = 0, поэтому делится на (x − 1): x³ + 6x² + 5x − 12 = (x − 1)(x² + 7x + 12) = (x − 1)(x + 3)(x + 4).
Неравенство: (x + 1)(x − 2)(x + 2)/((x − 1)(x + 3)(x + 4)) > 0. Критические точки: −4, −3, −2, −1, 1, 2. При x > 2 дробь положительна; знаки чередуются (все корни простые): (1; 2. «−», (−1; 1. «+», (−2; −1) «−», (−3; −2) «+», (−4; −3) «−», (−∞; −4) «+».
Ответ: x < −4, −3 < x < −2, −1 < x < 1, x > 2.
Неравенство: (x + 1)(x − 2)(x + 2)/((x − 1)(x + 3)(x + 4)) > 0. Критические точки: −4, −3, −2, −1, 1, 2. При x > 2 дробь положительна; знаки чередуются (все корни простые): (1; 2. «−», (−1; 1. «+», (−2; −1) «−», (−3; −2) «+», (−4; −3) «−», (−∞; −4) «+».
Ответ: x < −4, −3 < x < −2, −1 < x < 1, x > 2.
1577. Решить неравенство:
1) √(2x − 7) ≤ √(6x + 13);
2) √(3 − x) < √(3x − 5).
1) √(2x − 7) ≤ √(6x + 13);
2) √(3 − x) < √(3x − 5).
1) Неравенство равносильно системе: 2x − 7 ≥ 0, 2x − 7 ≤ 6x + 13. Из первого x ≥ 3,5; из второго −4x ≤ 20, x ≥ −5. Итог x ≥ 3,5.
2) Равносильно системе: 3 − x ≥ 0, 3 − x < 3x − 5. Из первого x ≤ 3; из второго 8 < 4x, x > 2. Итог 2 < x ≤ 3.
Ответ: 1) x ≥ 3,5; 2) 2 < x ≤ 3.
2) Равносильно системе: 3 − x ≥ 0, 3 − x < 3x − 5. Из первого x ≤ 3; из второго 8 < 4x, x > 2. Итог 2 < x ≤ 3.
Ответ: 1) x ≥ 3,5; 2) 2 < x ≤ 3.
1578. Решить неравенство:
√(3x³ − 22x² + 40x)/(x − 4) ≥ 3x − 10.
√(3x³ − 22x² + 40x)/(x − 4) ≥ 3x − 10.
Подкоренное выражение: 3x³ − 22x² + 40x = x(3x² − 22x + 40) = x(3x − 10)(x − 4) (корни квадратного трёхчлена 4 и 10/3). ОДЗ: x(3x − 10)(x − 4) ≥ 0 и x ≠ 4: x ∈ [0; 10/3] ∪ (4; +∞).
Случай x > 4. Знаменатель положителен, 3x − 10 > 0. Дробь равна √(x(3x − 10)/(x − 4)). Обе части положительны, возводим в квадрат и делим на 3x − 10 > 0: x/(x − 4) ≥ 3x − 10 ⇒ x ≥ (3x − 10)(x − 4) = 3x² − 22x + 40 ⇒ 3x² − 23x + 40 ≤ 0 ⇒ 8/3 ≤ x ≤ 5. С условием x > 4: 4 < x ≤ 5.
Случай 0 ≤ x ≤ 10/3. Тогда x − 4 < 0 и левая часть равна −√(x(10 − 3x)/(4 − x)) ≤ 0. Правая часть 3x − 10 ≤ 0. При x = 10/3 обе части равны 0 — подходит. При 0 ≤ x < 10/3 неравенство равносильно √(x(10 − 3x)/(4 − x)) ≤ 10 − 3x. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат и делим на 10 − 3x > 0: x/(4 − x) ≤ 10 − 3x ⇒ x ≤ (10 − 3x)(4 − x) = 3x² − 22x + 40 ⇒ 3x² − 23x + 40 ≥ 0 ⇒ x ≤ 8/3 или x ≥ 5. С условием 0 ≤ x < 10/3: 0 ≤ x ≤ 8/3.
Ответ: 0 ≤ x ≤ 8/3, x = 10/3, 4 < x ≤ 5.
Случай x > 4. Знаменатель положителен, 3x − 10 > 0. Дробь равна √(x(3x − 10)/(x − 4)). Обе части положительны, возводим в квадрат и делим на 3x − 10 > 0: x/(x − 4) ≥ 3x − 10 ⇒ x ≥ (3x − 10)(x − 4) = 3x² − 22x + 40 ⇒ 3x² − 23x + 40 ≤ 0 ⇒ 8/3 ≤ x ≤ 5. С условием x > 4: 4 < x ≤ 5.
Случай 0 ≤ x ≤ 10/3. Тогда x − 4 < 0 и левая часть равна −√(x(10 − 3x)/(4 − x)) ≤ 0. Правая часть 3x − 10 ≤ 0. При x = 10/3 обе части равны 0 — подходит. При 0 ≤ x < 10/3 неравенство равносильно √(x(10 − 3x)/(4 − x)) ≤ 10 − 3x. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат и делим на 10 − 3x > 0: x/(4 − x) ≤ 10 − 3x ⇒ x ≤ (10 − 3x)(4 − x) = 3x² − 22x + 40 ⇒ 3x² − 23x + 40 ≥ 0 ⇒ x ≤ 8/3 или x ≥ 5. С условием 0 ≤ x < 10/3: 0 ≤ x ≤ 8/3.
Ответ: 0 ≤ x ≤ 8/3, x = 10/3, 4 < x ≤ 5.
1579. При всех a решить неравенство |x − 5a| ≤ 4a − 3 и указать все значения a, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства x² − 4x − 5 < 0.
Неравенство |x − 5a| ≤ 4a − 3 имеет решения только при 4a − 3 ≥ 0.
Если a < 3/4, правая часть отрицательна — решений нет.
Если a = 3/4, то |x − 15/4| ≤ 0, x = 15/4.
Если a > 3/4, то −(4a − 3) ≤ x − 5a ≤ 4a − 3 ⇒ a + 3 ≤ x ≤ 9a − 3.
Второе неравенство: x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 5.
При a = 3/4: x = 15/4 ∈ (−1; 5) ✓. При a > 3/4 отрезок [a + 3; 9a − 3] должен лежать в (−1; 5): a + 3 > −1 (верно при a > 3/4) и 9a − 3 < 5 ⇒ a < 8/9. Итого 3/4 < a < 8/9.
Объединяя с a = 3/4: 3/4 ≤ a < 8/9.
Ответ: при a < 3/4 решений нет; при a = 3/4 x = 15/4; при a > 3/4 a + 3 ≤ x ≤ 9a − 3. Решения первого неравенства являются решениями второго при 3/4 ≤ a < 8/9.
Оговорка: значения a < 3/4 (пустое множество решений) не включены, как и в ответе учебника.
Если a < 3/4, правая часть отрицательна — решений нет.
Если a = 3/4, то |x − 15/4| ≤ 0, x = 15/4.
Если a > 3/4, то −(4a − 3) ≤ x − 5a ≤ 4a − 3 ⇒ a + 3 ≤ x ≤ 9a − 3.
Второе неравенство: x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) < 0 ⇔ −1 < x < 5.
При a = 3/4: x = 15/4 ∈ (−1; 5) ✓. При a > 3/4 отрезок [a + 3; 9a − 3] должен лежать в (−1; 5): a + 3 > −1 (верно при a > 3/4) и 9a − 3 < 5 ⇒ a < 8/9. Итого 3/4 < a < 8/9.
Объединяя с a = 3/4: 3/4 ≤ a < 8/9.
Ответ: при a < 3/4 решений нет; при a = 3/4 x = 15/4; при a > 3/4 a + 3 ≤ x ≤ 9a − 3. Решения первого неравенства являются решениями второго при 3/4 ≤ a < 8/9.
Оговорка: значения a < 3/4 (пустое множество решений) не включены, как и в ответе учебника.