Упражнения 1560–1566 — Задачи для внеклассной работы

1) Так как x² + 4x + 4 = (x + 2)² и x² − 6x + 9 = (x − 3)², уравнение имеет вид |x + 2| − |x − 3| = 6.
При x ≤ −2: −(x + 2) + (x − 3) = −5 ≠ 6. При −2 < x < 3: (x + 2) + (x − 3) = 2x − 1 = 6 ⇒ x = 3,5 ∉ (−2; 3). При x ≥ 3: (x + 2) − (x − 3) = 5 ≠ 6.
Ответ: 1) корней нет.
2) Пусть y = ∛(8 − x), z = ∛(27 + x). Тогда y³ + z³ = 35, а уравнение: y² − yz + z² = 7. Так как y³ + z³ = (y + z)(y² − yz + z²), получаем (y + z) · 7 = 35, y + z = 5. Тогда y² − yz + z² = (y + z)² − 3yz = 25 − 3yz = 7, yz = 6. По теореме Виета y и z — корни t² − 5t + 6 = 0, то есть {2; 3}.
Если y = 2, z = 3: 8 − x = 8, x = 0; проверка: 27 + 0 = 27 = 3³ ✓. Если y = 3, z = 2: 8 − x = 27, x = −19; проверка: 27 − 19 = 8 = 2³ ✓.
Ответ: 2) x = 0, x = −19.
3) ОДЗ: −89 ≤ x ≤ 8. Пусть u = корень 4-й степени из (8 − x) ≥ 0, v = корень 4-й степени из (89 + x) ≥ 0. Тогда u + v = 5, u⁴ + v⁴ = (8 − x) + (89 + x) = 97. Пусть p = uv. u² + v² = 25 − 2p, u⁴ + v⁴ = (25 − 2p)² − 2p² = 625 − 100p + 2p² = 97 ⇒ p² − 50p + 264 = 0 ⇒ p = 6 или p = 44. Но p = uv ≤ ((u + v)/2)² = 6,25, поэтому p = 6. Тогда u, v — корни t² − 5t + 6 = 0: {2; 3}.
u = 2: 8 − x = 16, x = −8 (v = 3: 89 − 8 = 81 = 3⁴ ✓). u = 3: 8 − x = 81, x = −73 (v = 2: 89 − 73 = 16 = 2⁴ ✓).
Ответ: 3) x = −8, x = −73.

1) Так как sin²x + cos²x = 1, 16^(cos²x) = 16/16^(sin²x). Пусть t = 16^(sin²x) > 0: t + 16/t = 10 ⇒ t² − 10t + 16 = 0 ⇒ t = 2 или t = 8.
t = 2: 16^(sin²x) = 2 ⇒ 4 sin²x = 1 ⇒ sin²x = 1/4. t = 8: 16^(sin²x) = 2³ ⇒ 4 sin²x = 3 ⇒ sin²x = 3/4.
sin²x = (1 − cos 2x)/2, поэтому cos 2x = 1 − 2 sin²x = 1/2 или −1/2, то есть cos²2x = 1/4, (1 + cos 4x)/2 = 1/4, cos 4x = −1/2. Отсюда 4x = ±2π/3 + 2πn, x = ±π/6 + πn/2.
Проверка: x = π/6 даёт sin²x = 1/4 ✓; x = π/3 (= −π/6 + π/2) даёт sin²x = 3/4 ✓.
Ответ: 1) x = ±π/6 + πn/2, n ∈ Z.
2) 3 + √8 = 3 + 2√2 = (√2 + 1)², 3 − √8 = (√2 − 1)². Поэтому √(3 + √8) = √2 + 1, √(3 − √8) = √2 − 1 = 1/(√2 + 1). Пусть t = (√2 + 1)^x > 0: t + 1/t = 34 ⇒ t² − 34t + 1 = 0 ⇒ t = 17 ± 12√2.
(√2 + 1)² = 3 + 2√2, (√2 + 1)⁴ = 17 + 12√2, (√2 + 1)^(−4) = 17 − 12√2. Значит, (√2 + 1)^x = (√2 + 1)^(±4), x = ±4.
Ответ: 2) x = 4, x = −4.

1) x³ − 3x² + x − 3 = 0 ⇒ x²(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x² + 1) = 0 ⇒ x = 3 (x² + 1 > 0).
2) x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3, x = 2, x = −2.
3) Подбором: x = 4: 256 − 192 − 32 − 24 − 8 = 0 ✓; x = −1: 1 + 3 − 2 + 6 − 8 = 0 ✓. Поэтому многочлен делится на (x − 4)(x + 1) = x² − 3x − 4: x⁴ − 3x³ − 2x² − 6x − 8 = (x² − 3x − 4)(x² + 2) (проверка: x⁴ − 3x³ − 4x² + 2x² − 6x − 8 ✓). x² + 2 > 0, значит, действительные корни: x = 4, x = −1.
Ответ: 1) x = 3; 2) x = −2, 2, 3; 3) x = −1, x = 4.

1) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, sin 4x ≠ 0. tg x + ctg x = 1/(sin x cos x) = 2/sin 2x. Уравнение: 2/sin 2x = 2 cos 4x/sin 4x. Так как sin 4x = 2 sin 2x cos 2x, получаем 1/sin 2x = cos 4x/(2 sin 2x cos 2x) ⇒ 2cos 2x = cos 4x (при sin 2x ≠ 0, cos 2x ≠ 0). Пусть c = cos 2x: 2c = 2c² − 1 ⇒ 2c² − 2c − 1 = 0 ⇒ c = (1 ± √3)/2. Значение (1 + √3)/2 > 1 не подходит; c = (1 − √3)/2 ≈ −0,366. Для него sin 2x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0, поэтому ОДЗ выполнена (sin 4x = 2 sin 2x cos 2x ≠ 0).
cos 2x = (1 − √3)/2 ⇒ 2x = ±arccos((1 − √3)/2) + 2πn ⇒ x = ±(1/2) arccos((1 − √3)/2) + πn.
Ответ: 1) x = ±(1/2) arccos((1 − √3)/2) + πn, n ∈ Z.
2) ОДЗ: sin(x − π/4) ≠ 0, то есть x ≠ π/4 + πk. Так как sin(x − π/4) = (sin x − cos x)/√2, левая часть равна √2 sin 4x/(sin x − cos x). Уравнение: sin 4x = (sin x + cos x)(sin x − cos x) = sin²x − cos²x = −cos 2x. Тогда 2 sin 2x cos 2x + cos 2x = 0 ⇒ cos 2x (2 sin 2x + 1) = 0.
a) cos 2x = 0 ⇒ x = π/4 + πn/2. Исключаем x = π/4 + πk (чётные n); остаются x = 3π/4 + πk = −π/4 + πk.
б) sin 2x = −1/2 ⇒ 2x = (−1)^(n+1)π/6 + πn ⇒ x = (−1)^(n+1)π/12 + πn/2. Эти значения не равны π/4 + πk (при них sin 2x = −1/2, а при x = π/4 + πk имеем sin 2x = ±1), ОДЗ выполнена.
Ответ: 2) x = −π/4 + πn, x = (−1)^(n+1)π/12 + πn/2, n ∈ Z.

1) ОДЗ: cos 2x ≠ 0, sin 2x ≠ 0, sin 3x ≠ 0. Левая часть: (sin 3x sin 2x + cos 3x cos 2x)/(sin 2x cos 2x) = cos(3x − 2x)/(sin 2x cos 2x) = cos x/(sin 2x cos 2x). Уравнение: cos x/(sin 2x cos 2x) = 2/sin 3x ⇒ cos x sin 3x = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x. Но cos x sin 3x = (sin 4x + sin 2x)/2, поэтому sin 4x + sin 2x = 2 sin 4x ⇒ sin 2x = sin 4x ⇒ sin 2x (1 − 2cos 2x) = 0. Так как sin 2x ≠ 0, cos 2x = 1/2 ⇒ 2x = ±π/3 + 2πn ⇒ x = ±π/6 + πn.
Проверка ОДЗ: при x = ±π/6 + πn cos 2x = 1/2 ≠ 0, sin 2x = ±√3/2 ≠ 0, sin 3x = ±1 ≠ 0 ✓.
Ответ: 1) x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.
2) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos 2x ≠ 0. tg 2x + ctg x = sin 2x/cos 2x + cos x/sin x = (sin 2x sin x + cos 2x cos x)/(cos 2x sin x) = cos x/(sin x cos 2x). Уравнение: cos x/(sin x cos 2x) = 8cos²x ⇒ cos x (1 − 8 sin x cos x cos 2x) = 0 ⇒ cos x (1 − 2 sin 4x) = 0.
a) cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn; ОДЗ: sin x = ±1 ≠ 0, cos 2x = −1 ≠ 0 ✓.
б) sin 4x = 1/2 ⇒ 4x = (−1)^n π/6 + πn ⇒ x = (−1)^n π/24 + πn/4. Здесь sin x ≠ 0 и cos 2x ≠ 0 (при cos 2x = 0 было бы sin 4x = 0).
Ответ: 2) x = π/2 + πn, x = (−1)^n π/24 + πn/4, n ∈ Z.

ОДЗ: sin x ≠ 0, sin 3x ≠ 0.
sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x = sin x (3 − 4 sin²x) = sin x (1 + 2cos 2x), поэтому sin 3x/sin x = 1 + 2cos 2x. Обозначим a = sin 3x/sin x = 1 + 2cos 2x. Тогда 2cos 2x = a − 1, и уравнение принимает вид a − 1/a = a − 1 ⇒ 1/a = 1 ⇒ a = 1.
Итак, 1 + 2cos 2x = 1 ⇒ cos 2x = 0 ⇒ x = π/4 + πn/2. Проверка ОДЗ: sin x = ±√2/2 ≠ 0, sin 3x = ±√2/2 ≠ 0 ✓.
Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

ОДЗ: 4cos x + 3 > 0. Пусть t = 4cos x + 3 и L = ln t. Тогда log₂ t = L/ln 2, log₆ t = L/ln 6, и уравнение: L²/(ln 2 · ln 6) = L (1/ln 2 + 1/ln 6) = L (ln 6 + ln 2)/(ln 2 · ln 6) ⇒ L² = L ln 12 ⇒ L = 0 или L = ln 12.
L = 0: t = 1, 4cos x = −2, cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2πn.
L = ln 12: t = 12, cos x = 9/4 > 1 — решений нет.
Ответ: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.