Упражнения для итогового повторения. 7. Производная и интеграл — с. 425
1546. Найти значения x, при которых значения производной функции f (x) = x³ − 1,5x² − 18x + √3 отрицательны.
f′(x) = 3x² − 3x − 18 = 3(x² − x − 6) = 3(x − 3)(x + 2). Неравенство f′(x) < 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) < 0 ⇔ −2 < x < 3.
Ответ: −2 < x < 3.
Ответ: −2 < x < 3.
1547. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с. Найти скорость пули в момент t = 10 с и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения пули h = v₀t − 4,9t².
Скорость — производная от пути: v(t) = h′(t) = v₀ − 9,8t. При v₀ = 360 м/с: v(t) = 360 − 9,8t.
v(10) = 360 − 98 = 262 (м/с) — скорость положительна, пуля ещё поднимается.
Пуля поднимается, пока v(t) > 0; подъём заканчивается при v(t) = 0: 360 − 9,8t = 0, t = 360/9,8 ≈ 36,7 ≈ 37 (с).
Ответ: v(10) = 262 м/с; пуля поднимается примерно 37 с.
v(10) = 360 − 98 = 262 (м/с) — скорость положительна, пуля ещё поднимается.
Пуля поднимается, пока v(t) > 0; подъём заканчивается при v(t) = 0: 360 − 9,8t = 0, t = 360/9,8 ≈ 36,7 ≈ 37 (с).
Ответ: v(10) = 262 м/с; пуля поднимается примерно 37 с.
1548. Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.
Угол поворота φ(t) = kt³. Один оборот — угол 2π, он достигнут при t = 2: k · 8 = 2π, k = π/4. Значит, φ(t) = (π/4)t³.
Угловая скорость — производная угла: ω(t) = φ′(t) = (3π/4)t². При t = 4: ω(4) = (3π/4) · 16 = 12π (рад/с).
Ответ: 12π рад/с.
Угловая скорость — производная угла: ω(t) = φ′(t) = (3π/4)t². При t = 4: ω(4) = (3π/4) · 16 = 12π (рад/с).
Ответ: 12π рад/с.
1549. Показать, что f′(1) = f′(0), если f (x) = (2x − 3)(3x² + 1).
Раскроем скобки: f(x) = 6x³ + 2x − 9x² − 3 = 6x³ − 9x² + 2x − 3. Тогда f′(x) = 18x² − 18x + 2.
f′(1) = 18 − 18 + 2 = 2; f′(0) = 2. Значит, f′(1) = f′(0), что и требовалось показать.
f′(1) = 18 − 18 + 2 = 2; f′(0) = 2. Значит, f′(1) = f′(0), что и требовалось показать.
1550. Найти производную функции:
1) y = (x⁵ − 3x³ + 2x² − x + 3)/x³;
2) y = 6x ∛x / √x.
1) y = (x⁵ − 3x³ + 2x² − x + 3)/x³;
2) y = 6x ∛x / √x.
1) Почленно разделим: y = x² − 3 + 2/x − 1/x² + 3/x³ = x² − 3 + 2x^(−1) − x^(−2) + 3x^(−3).
y′ = 2x − 2x^(−2) + 2x^(−3) − 9x^(−4) = 2x − 2/x² + 2/x³ − 9/x⁴.
2) y = 6 · x^(1 + 1/3 − 1/2) = 6x^(5/6). y′ = 6 · (5/6)x^(−1/6) = 5x^(−1/6) = 5/x^(1/6) (то есть 5 / корень 6-й степени из x).
Ответ: 1) 2x − 2/x² + 2/x³ − 9/x⁴; 2) 5x^(−1/6).
y′ = 2x − 2x^(−2) + 2x^(−3) − 9x^(−4) = 2x − 2/x² + 2/x³ − 9/x⁴.
2) y = 6 · x^(1 + 1/3 − 1/2) = 6x^(5/6). y′ = 6 · (5/6)x^(−1/6) = 5x^(−1/6) = 5/x^(1/6) (то есть 5 / корень 6-й степени из x).
Ответ: 1) 2x − 2/x² + 2/x³ − 9/x⁴; 2) 5x^(−1/6).
1551. Найти производную функции:
1) y = (3x² − 2x + 1)/(x + 1);
2) y = (2x² − 3x + 1)/(2x + 1).
1) y = (3x² − 2x + 1)/(x + 1);
2) y = (2x² − 3x + 1)/(2x + 1).
Применяем правило (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
1) y′ = ((6x − 2)(x + 1) − (3x² − 2x + 1) · 1)/(x + 1)² = (6x² + 4x − 2 − 3x² + 2x − 1)/(x + 1)² = (3x² + 6x − 3)/(x + 1)².
2) y′ = ((4x − 3)(2x + 1) − 2(2x² − 3x + 1))/(2x + 1)² = (8x² − 2x − 3 − 4x² + 6x − 2)/(2x + 1)² = (4x² + 4x − 5)/(2x + 1)².
Ответ: 1. (3x² + 6x − 3)/(x + 1)²; 2. (4x² + 4x − 5)/(2x + 1)².
1) y′ = ((6x − 2)(x + 1) − (3x² − 2x + 1) · 1)/(x + 1)² = (6x² + 4x − 2 − 3x² + 2x − 1)/(x + 1)² = (3x² + 6x − 3)/(x + 1)².
2) y′ = ((4x − 3)(2x + 1) − 2(2x² − 3x + 1))/(2x + 1)² = (8x² − 2x − 3 − 4x² + 6x − 2)/(2x + 1)² = (4x² + 4x − 5)/(2x + 1)².
Ответ: 1. (3x² + 6x − 3)/(x + 1)²; 2. (4x² + 4x − 5)/(2x + 1)².
1552. Найти производную функции:
1) y = (2x + 1)² √(x − 1);
2) y = x² ∛((x + 1)²).
1) y = (2x + 1)² √(x − 1);
2) y = x² ∛((x + 1)²).
1) y′ = 2(2x + 1) · 2 · √(x − 1) + (2x + 1)² · 1/(2√(x − 1)) = (2x + 1)(8(x − 1) + (2x + 1))/(2√(x − 1)) = (2x + 1)(10x − 7)/(2√(x − 1)).
2) y = x²(x + 1)^(2/3). y′ = 2x(x + 1)^(2/3) + x² · (2/3)(x + 1)^(−1/3) = (2x/(3∛(x + 1))) · (3(x + 1) + x) = 2x(4x + 3)/(3∛(x + 1)).
Ответ: 1. (2x + 1)(10x − 7)/(2√(x − 1)); 2) 2x(4x + 3)/(3∛(x + 1)).
2) y = x²(x + 1)^(2/3). y′ = 2x(x + 1)^(2/3) + x² · (2/3)(x + 1)^(−1/3) = (2x/(3∛(x + 1))) · (3(x + 1) + x) = 2x(4x + 3)/(3∛(x + 1)).
Ответ: 1. (2x + 1)(10x − 7)/(2√(x − 1)); 2) 2x(4x + 3)/(3∛(x + 1)).
1553. Найти производную функции:
1) y = sin 2x cos 3x;
2) y = x cos 2x.
1) y = sin 2x cos 3x;
2) y = x cos 2x.
1) По правилу произведения: y′ = (sin 2x)′ cos 3x + sin 2x (cos 3x)′ = 2cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.
(Эквивалентно: y = (sin 5x − sin x)/2, y′ = (5cos 5x − cos x)/2.)
2) y′ = cos 2x + x · (−2 sin 2x) = cos 2x − 2x sin 2x.
Ответ: 1) 2cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x = (5cos 5x − cos x)/2; 2) cos 2x − 2x sin 2x.
(Эквивалентно: y = (sin 5x − sin x)/2, y′ = (5cos 5x − cos x)/2.)
2) y′ = cos 2x + x · (−2 sin 2x) = cos 2x − 2x sin 2x.
Ответ: 1) 2cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x = (5cos 5x − cos x)/2; 2) cos 2x − 2x sin 2x.
1554. Найти значения x, для которых производная функции f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) равна −1.
f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) = (x² − 3x + 2)(x − 3) = x³ − 6x² + 11x − 6. f′(x) = 3x² − 12x + 11.
f′(x) = −1 ⇒ 3x² − 12x + 12 = 0 ⇒ x² − 4x + 4 = 0 ⇒ (x − 2)² = 0 ⇒ x = 2.
Ответ: x = 2.
f′(x) = −1 ⇒ 3x² − 12x + 12 = 0 ⇒ x² − 4x + 4 = 0 ⇒ (x − 2)² = 0 ⇒ x = 2.
Ответ: x = 2.
1555. Определить знак числа f′(2), если:
1) f (x) = e^(3 − 2x) · x²;
2) f (x) = x²/e^(1 − x).
1) f (x) = e^(3 − 2x) · x²;
2) f (x) = x²/e^(1 − x).
1) f′(x) = e^(3 − 2x) · (−2) · x² + e^(3 − 2x) · 2x = 2x(1 − x)e^(3 − 2x). f′(2) = 4 · (−1) · e^(−1) = −4/e < 0.
2) f(x) = x² e^(x − 1). f′(x) = 2x e^(x − 1) + x² e^(x − 1) = x(x + 2)e^(x − 1). f′(2) = 8e > 0.
Ответ: 1) f′(2) < 0; 2) f′(2) > 0.
2) f(x) = x² e^(x − 1). f′(x) = 2x e^(x − 1) + x² e^(x − 1) = x(x + 2)e^(x − 1). f′(2) = 8e > 0.
Ответ: 1) f′(2) < 0; 2) f′(2) > 0.
1556. Дана функция f (x) = (1 + sin 2x)/(1 − sin 2x). Найти f′(0), f′(π/6).
f′(x) = (2cos 2x (1 − sin 2x) + 2cos 2x (1 + sin 2x))/(1 − sin 2x)² = 4cos 2x/(1 − sin 2x)².
f′(0) = 4 · 1/1 = 4.
f′(π/6) = 4cos(π/3)/(1 − sin(π/3))² = 2/(1 − √3/2)² = 8/(2 − √3)² = 8(2 + √3)²/((2 − √3)(2 + √3))² = 8(2 + √3)² = 8(7 + 4√3).
Ответ: f′(0) = 4; f′(π/6) = 8(7 + 4√3).
f′(0) = 4 · 1/1 = 4.
f′(π/6) = 4cos(π/3)/(1 − sin(π/3))² = 2/(1 − √3/2)² = 8/(2 − √3)² = 8(2 + √3)²/((2 − √3)(2 + √3))² = 8(2 + √3)² = 8(7 + 4√3).
Ответ: f′(0) = 4; f′(π/6) = 8(7 + 4√3).
1557. Найти значения x, при которых f′(x) ≤ g′(x), если f (x) = x³ + x² + x√3, g (x) = x√3 + 1.
f′(x) = 3x² + 2x + √3, g′(x) = √3. Неравенство f′(x) ≤ g′(x) ⇔ 3x² + 2x ≤ 0 ⇔ x(3x + 2) ≤ 0 ⇔ −2/3 ≤ x ≤ 0.
Ответ: −2/3 ≤ x ≤ 0.
Ответ: −2/3 ≤ x ≤ 0.
1558. Для функции f (x) = cos 4x найти первообразную F (x), если F (π/24) = −1.
Общий вид первообразной: F(x) = (1/4) sin 4x + C. Условие: F(π/24) = (1/4) sin(π/6) + C = 1/8 + C = −1, откуда C = −9/8.
F(x) = (1/4) sin 4x − 9/8 = (2 sin 4x − 9)/8.
Ответ: F(x) = (2 sin 4x − 9)/8.
F(x) = (1/4) sin 4x − 9/8 = (2 sin 4x − 9)/8.
Ответ: F(x) = (2 sin 4x − 9)/8.
1559. Найти первообразную функции:
1) y = 1/(x + 1) − 1/(x − 1);
2) y = 3/(4x − 1).
1) y = 1/(x + 1) − 1/(x − 1);
2) y = 3/(4x − 1).
1) F(x) = ln|x + 1| − ln|x − 1| + C = ln|(x + 1)/(x − 1)| + C на каждом из промежутков (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞).
2) F(x) = 3 · (1/4) ln|4x − 1| + C = (3/4) ln|4x − 1| + C на промежутках (−∞; 1/4) и (1/4; +∞).
Ответ: 1) ln|(x + 1)/(x − 1)| + C; 2. (3/4) ln|4x − 1| + C.
2) F(x) = 3 · (1/4) ln|4x − 1| + C = (3/4) ln|4x − 1| + C на промежутках (−∞; 1/4) и (1/4; +∞).
Ответ: 1) ln|(x + 1)/(x − 1)| + C; 2. (3/4) ln|4x − 1| + C.