Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. Применение производной — с. 423
1518. На координатной плоскости даны точки A (3; −1) и D (4; −1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы y = 1 − x², заданной на отрезке [−1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Основание AD = 1 лежит на прямой y = −1. Второе основание параллельно оси Ox, его вершины симметричны относительно оси Oy: (−t; 1 − t²) и (t; 1 − t²), где 0 < t ≤ 1. Длина основания 2t, высота равна (1 − t²) − (−1) = 2 − t².
Площадь S(t) = (1 + 2t)(2 − t²)/2 = (2 + 4t − t² − 2t³)/2.
S′(t) = (4 − 2t − 6t²)/2 = −(3t² + t − 2) = −(3t − 2)(t + 1). На (0; 1] критическая точка t = 2/3; при t < 2/3 S′ > 0, при t > 2/3 S′ < 0, значит, t = 2/3 — точка максимума. Значения на концах: S(1) = 3/2, S(0) = 1, что меньше.
S(2/3) = (1 + 4/3)(2 − 4/9)/2 = (7/3)(14/9)/2 = 49/27.
Ответ: 49/27 (то есть 1 22/27).
Площадь S(t) = (1 + 2t)(2 − t²)/2 = (2 + 4t − t² − 2t³)/2.
S′(t) = (4 − 2t − 6t²)/2 = −(3t² + t − 2) = −(3t − 2)(t + 1). На (0; 1] критическая точка t = 2/3; при t < 2/3 S′ > 0, при t > 2/3 S′ < 0, значит, t = 2/3 — точка максимума. Значения на концах: S(1) = 3/2, S(0) = 1, что меньше.
S(2/3) = (1 + 4/3)(2 − 4/9)/2 = (7/3)(14/9)/2 = 49/27.
Ответ: 49/27 (то есть 1 22/27).
1519. На координатной плоскости дана точка K (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Oy и лежат на дуге параболы y = 4x², заданной на отрезке [−1; 1], а точка K является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Пусть две вершины P (−t; 4t²) и Q (t; 4t²), 0 < t ≤ 1. Точка K не может быть серединой стороны PQ (её середина лежит на оси Oy), значит, K — середина стороны QR (или PR; случаи симметричны и дают одинаковую площадь). Тогда третья вершина R = 2K − Q = (6 − t; 12 − 4t²).
Основание PQ = 2t параллельно оси Ox, высота равна |12 − 4t² − 4t²| = 12 − 8t² (при 0 < t ≤ 1 это число положительно).
S(t) = (1/2) · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.
S′(t) = 12 − 24t² = 0 ⇒ t = 1/√2 ∈ (0; 1]. При переходе через эту точку S′ меняет знак с + на −, это максимум; на концах S(0) = 0, S(1) = 4 < значения в максимуме.
S(1/√2) = 12/√2 − 8/(2√2) = 12/√2 − 4/√2 = 8/√2 = 4√2.
Ответ: 4√2.
Основание PQ = 2t параллельно оси Ox, высота равна |12 − 4t² − 4t²| = 12 − 8t² (при 0 < t ≤ 1 это число положительно).
S(t) = (1/2) · 2t · (12 − 8t²) = 12t − 8t³.
S′(t) = 12 − 24t² = 0 ⇒ t = 1/√2 ∈ (0; 1]. При переходе через эту точку S′ меняет знак с + на −, это максимум; на концах S(0) = 0, S(1) = 4 < значения в максимуме.
S(1/√2) = 12/√2 − 8/(2√2) = 12/√2 − 4/√2 = 8/√2 = 4√2.
Ответ: 4√2.
1520. Каковы должны быть коэффициенты p и q квадратичной функции y = x² + px + q, чтобы при x = 5 она имела минимум, равный 1?
Ветви параболы направлены вверх, минимум достигается в вершине x₀ = −p/2. По условию −p/2 = 5, откуда p = −10.
Значение в вершине: y(5) = 25 + 5p + q = 25 − 50 + q = q − 25 = 1, откуда q = 26.
Ответ: p = −10, q = 26.
Значение в вершине: y(5) = 25 + 5p + q = 25 − 50 + q = q − 25 = 1, откуда q = 26.
Ответ: p = −10, q = 26.
1521. Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?
Пусть h — высота конуса, 0 < h < 20, r — радиус основания; r² = 400 − h². Объём V(h) = (1/3)πr²h = (π/3)(400h − h³).
V′(h) = (π/3)(400 − 3h²) = 0 ⇒ h = 20/√3 = 20√3/3 (h > 0).
На (0; 20/√3) V′ > 0, на (20/√3; 20. V′ < 0, значит, это точка максимума.
Ответ: h = 20√3/3 дм (≈ 11,5 дм).
V′(h) = (π/3)(400 − 3h²) = 0 ⇒ h = 20/√3 = 20√3/3 (h > 0).
На (0; 20/√3) V′ > 0, на (20/√3; 20. V′ < 0, значит, это точка максимума.
Ответ: h = 20√3/3 дм (≈ 11,5 дм).
1522. Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен V?
Пусть r — радиус основания, h — высота. V = πr²h, откуда h = V/(πr²). Полная поверхность S(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2V/r, r > 0.
S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 ⇒ r³ = V/(2π), r = ∛(V/(2π)). При переходе через эту точку S′ меняет знак с − на +, значит, это минимум (при этом h = V/(πr²) = 2r).
S = 2πr² + 4πr² = 6πr² = 6π · (V/(2π))^(2/3) = 3 · 2π · V^(2/3)/(2π)^(2/3) = 3 · (2π)^(1/3) · V^(2/3) = 3∛(2πV²).
Ответ: 3∛(2πV²).
S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 ⇒ r³ = V/(2π), r = ∛(V/(2π)). При переходе через эту точку S′ меняет знак с − на +, значит, это минимум (при этом h = V/(πr²) = 2r).
S = 2πr² + 4πr² = 6πr² = 6π · (V/(2π))^(2/3) = 3 · 2π · V^(2/3)/(2π)^(2/3) = 3 · (2π)^(1/3) · V^(2/3) = 3∛(2πV²).
Ответ: 3∛(2πV²).
1523. Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
Пусть r — радиус основания цилиндра, h — его высота. Осевое сечение вписано в круг радиуса R: (h/2)² + r² = R², h = 2√(R² − r²), 0 < r < R.
Боковая поверхность S = 2πrh = 4πr√(R² − r²). Максимум S совпадает с максимумом S² = 16π²r²(R² − r²).
Пусть u = r², f(u) = u(R² − u) — парабола с ветвями вниз, максимум при u = R²/2, то есть r = R/√2.
Ответ: r = R/√2 = R√2/2.
Боковая поверхность S = 2πrh = 4πr√(R² − r²). Максимум S совпадает с максимумом S² = 16π²r²(R² − r²).
Пусть u = r², f(u) = u(R² − u) — парабола с ветвями вниз, максимум при u = R²/2, то есть r = R/√2.
Ответ: r = R/√2 = R√2/2.
1524. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.
Пусть h — высота цилиндра, 0 < h < 2R, r — радиус основания. Из осевого сечения r² = R² − h²/4.
V(h) = πr²h = π(R²h − h³/4).
V′(h) = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3. На (0; 2R/√3) V′ > 0, дальше V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 2R/√3 = 2R√3/3.
V(h) = πr²h = π(R²h − h³/4).
V′(h) = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3. На (0; 2R/√3) V′ > 0, дальше V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 2R/√3 = 2R√3/3.
1525. Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R.
Пусть h — высота конуса, 0 < h < 2R, r — радиус основания. В осевом сечении (равнобедренный треугольник, вписанный в круг радиуса R) высота к основанию делится на отрезки h и 2R − h, поэтому r² = h(2R − h).
V(h) = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³).
V′(h) = (π/3)(4Rh − 3h²) = (π/3)h(4R − 3h) = 0 ⇒ h = 4R/3. На (0; 4R/3) V′ > 0, на (4R/3; 2R) V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 4R/3.
V(h) = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³).
V′(h) = (π/3)(4Rh − 3h²) = (π/3)h(4R − 3h) = 0 ⇒ h = 4R/3. На (0; 4R/3) V′ > 0, на (4R/3; 2R) V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 4R/3.
1526. В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным α. При каком значении α объём пирамиды будет наибольшим?
Пирамида вписана в конус: у них общая высота h, а основание пирамиды — треугольник, вписанный в окружность основания конуса (радиус r). Объём пирамиды (1/3)S·h, где S — площадь треугольника; при заданных V, r, h наибольшему объёму пирамиды соответствует наибольшая площадь треугольника.
Равнобедренный треугольник с углом α при вершине вписан в окружность радиуса r. Боковая сторона b = 2r sin((π − α)/2) = 2r cos(α/2) (по теореме синусов: сторона равна 2r sin противолежащего угла, а боковой стороне противолежит угол (π − α)/2).
S = (1/2)b² sin α = 2r² cos²(α/2) · 2 sin(α/2) cos(α/2) = 4r² cos³(α/2) sin(α/2).
Пусть β = α/2 ∈ (0; π/2), φ(β) = cos³β sin β. φ′(β) = cos⁴β − 3cos²β sin²β = cos²β (cos²β − 3sin²β) = 0 ⇒ tg²β = 1/3, β = π/6. Слева от π/6 φ′ > 0, справа φ′ < 0, значит, максимум.
Тогда α = 2β = π/3 (треугольник правильный — известно, что среди вписанных в окружность треугольников наибольшую площадь имеет правильный).
Ответ: α = π/3.
Равнобедренный треугольник с углом α при вершине вписан в окружность радиуса r. Боковая сторона b = 2r sin((π − α)/2) = 2r cos(α/2) (по теореме синусов: сторона равна 2r sin противолежащего угла, а боковой стороне противолежит угол (π − α)/2).
S = (1/2)b² sin α = 2r² cos²(α/2) · 2 sin(α/2) cos(α/2) = 4r² cos³(α/2) sin(α/2).
Пусть β = α/2 ∈ (0; π/2), φ(β) = cos³β sin β. φ′(β) = cos⁴β − 3cos²β sin²β = cos²β (cos²β − 3sin²β) = 0 ⇒ tg²β = 1/3, β = π/6. Слева от π/6 φ′ > 0, справа φ′ < 0, значит, максимум.
Тогда α = 2β = π/3 (треугольник правильный — известно, что среди вписанных в окружность треугольников наибольшую площадь имеет правильный).
Ответ: α = π/3.
1527. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен p, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.
Пусть r — радиус основания, h — высота. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h: 2(2r + h) = p, откуда h = p/2 − 2r, 0 < r < p/4.
V(r) = πr²h = π(pr²/2 − 2r³).
V′(r) = π(pr − 6r²) = πr(p − 6r) = 0 ⇒ r = p/6. При r < p/6 V′ > 0, при r > p/6 V′ < 0, значит, максимум. Тогда h = p/2 − p/3 = p/6.
V = π(p/6)² · (p/6) = πp³/216.
Ответ: πp³/216.
V(r) = πr²h = π(pr²/2 − 2r³).
V′(r) = π(pr − 6r²) = πr(p − 6r) = 0 ⇒ r = p/6. При r < p/6 V′ > 0, при r > p/6 V′ < 0, значит, максимум. Тогда h = p/2 − p/3 = p/6.
V = π(p/6)² · (p/6) = πp³/216.
Ответ: πp³/216.
1528. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R, найти цилиндр наибольшего объёма.
Наибольший объём имеет цилиндр, вписанный в сферу (его окружности оснований лежат на сфере): любой цилиндр внутри сферы можно «растянуть» до такого же радиуса основания без уменьшения объёма. Пусть h — высота, r — радиус основания, r² = R² − h²/4.
V(h) = πr²h = π(R²h − h³/4); V′(h) = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3; это максимум (V′ > 0 слева, V′ < 0 справа).
Тогда r² = R² − R²/3 = 2R²/3, r = R√(2/3) = R√6/3.
Ответ: цилиндр с радиусом основания r = R√(2/3) и высотой h = 2R/√3 (объём 4πR³/(3√3)).
V(h) = πr²h = π(R²h − h³/4); V′(h) = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3; это максимум (V′ > 0 слева, V′ < 0 справа).
Тогда r² = R² − R²/3 = 2R²/3, r = R√(2/3) = R√6/3.
Ответ: цилиндр с радиусом основания r = R√(2/3) и высотой h = 2R/√3 (объём 4πR³/(3√3)).
1529. Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим?
Расход жести определяется площадью полной поверхности цилиндра. По условию объём V = πr²h постоянен. S(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2V/r.
S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 ⇒ r³ = V/(2π). Слева S′ < 0, справа S′ > 0, значит, минимум. Подставляем V = πr²h: r³ = πr²h/(2π) = r²h/2, откуда h = 2r.
Ответ: высота равна диаметру основания: H = 2R (осевое сечение — квадрат).
S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 ⇒ r³ = V/(2π). Слева S′ < 0, справа S′ > 0, значит, минимум. Подставляем V = πr²h: r³ = πr²h/(2π) = r²h/2, откуда h = 2r.
Ответ: высота равна диаметру основания: H = 2R (осевое сечение — квадрат).
1530. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.
Пусть h — высота призмы, ρ — радиус окружности, описанной около основания (правильного треугольника со стороной a = ρ√3). Центр сферы лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований, поэтому ρ² + h²/4 = R².
Площадь основания S = (√3/4)a² = (3√3/4)ρ². Объём V(h) = S·h = (3√3/4)(R² − h²/4)h = (3√3/4)(R²h − h³/4).
V′(h) = (3√3/4)(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3. Слева V′ > 0, справа V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 2R/√3 = 2R√3/3.
Площадь основания S = (√3/4)a² = (3√3/4)ρ². Объём V(h) = S·h = (3√3/4)(R² − h²/4)h = (3√3/4)(R²h − h³/4).
V′(h) = (3√3/4)(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3. Слева V′ > 0, справа V′ < 0, значит, максимум.
Ответ: h = 2R/√3 = 2R√3/3.
1531. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания R и высотой H, найти цилиндр наибольшего объёма.
Пусть r — радиус основания цилиндра, h — его высота, 0 < r < R. Из подобия треугольников в осевом сечении (h / H = (R − r)/R) получаем h = H(R − r)/R.
V(r) = πr²h = (πH/R)(Rr² − r³).
V′(r) = (πH/R)(2Rr − 3r²) = (πH/R)·r(2R − 3r) = 0 ⇒ r = 2R/3. Слева V′ > 0, справа V′ < 0, значит, максимум. Тогда h = H(R − 2R/3)/R = H/3.
Ответ: r = 2R/3, h = H/3.
V(r) = πr²h = (πH/R)(Rr² − r³).
V′(r) = (πH/R)(2Rr − 3r²) = (πH/R)·r(2R − 3r) = 0 ⇒ r = 2R/3. Слева V′ > 0, справа V′ < 0, значит, максимум. Тогда h = H(R − 2R/3)/R = H/3.
Ответ: r = 2R/3, h = H/3.