Упражнения 1488–1502, стр. 421 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1488–1502 — Упражнения для итогового повторения курса…

Страница 421 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики — с. 421

1488. Найти множество значений функции:
1) y = x² + 6x + 3;
2) y = −2x² + 8x − 1;
3) y = 2 + 2/x.
1) y = (x + 3)² − 6 ≥ −6, значение −6 достигается при x = −3; значения сколь угодно велики. E(y) = [−6; +∞).
2) y = −2(x − 2)² + 7 ≤ 7, значение 7 достигается при x = 2. E(y) = (−∞; 7].
3) 2/x принимает все значения, кроме 0, поэтому y принимает все значения, кроме 2. E(y) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).
1489. Найти множество значений функции:
1) y = 0,5 + sin (x − π/4);
2) y = 0,5 cos x + sin x.
1) sin (x − π/4) принимает все значения из [−1; 1], значит, y ∈ [−0,5; 1,5].
2) 0,5 cos x + sin x = √(0,25 + 1) · sin (x + φ) = (√5/2) sin (x + φ), где cos φ = 2/√5, sin φ = 1/√5. Значения: [−√5/2; √5/2].
Ответ: 1) [−0,5; 1,5]; 2) [−√5/2; √5/2].
1490. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = sin x + cos x, x₀ = π/2;
2) f(x) = cos 3x, x₀ = π/6.
Угловой коэффициент равен f′(x₀).
1) f′(x) = cos x − sin x; f′(π/2) = 0 − 1 = −1.
2) f′(x) = −3 sin 3x; f′(π/6) = −3 sin (π/2) = −3.
Ответ: 1) −1; 2) −3.
1491. Найти угол между осью Ox и касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = 1/(4x²) − √x, x₀ = 1;
2) f(x) = 2x√x, x₀ = 1/3.
Угол α наклона касательной к оси Ox находится из tg α = f′(x₀), 0 ≤ α < π.
1) f(x) = (1/4)x^(−2) − x^(1/2); f′(x) = −(1/2)x^(−3) − 1/(2√x); f′(1) = −1/2 − 1/2 = −1, α = 3π/4 (135°).
2) f(x) = 2x^(3/2); f′(x) = 3√x; f′(1/3) = 3/√3 = √3, α = π/3 (60°).
Ответ: 1) 3π/4; 2) π/3.
1492. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = 3/(4x√x), x₀ = 1/4;
2) f(x) = 2x⁴ − x² + 4, x₀ = −1.
Уравнение касательной y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
1) f(x) = (3/4)x^(−3/2); f(1/4) = (3/4) · 8 = 6; f′(x) = −(9/8)x^(−5/2); f′(1/4) = −(9/8) · 32 = −36. Касательная: y = 6 − 36(x − 1/4) = −36x + 15.
2) f(−1) = 2 − 1 + 4 = 5; f′(x) = 8x³ − 2x; f′(−1) = −8 + 2 = −6. Касательная: y = 5 − 6(x + 1) = −6x − 1.
Ответ: 1) y = −36x + 15; 2) y = −6x − 1.
1493. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = x³ − x + 1 в точке пересечения его с осью Oy.
С осью Oy график пересекается при x = 0. y′ = 3x² − 1, y′(0) = −1.
Ответ: −1.
1494. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 3x³ − 1 в точке с ординатой y = 2.
3x³ − 1 = 2, x³ = 1, x = 1. y′ = 9x², y′(1) = 9.
Ответ: 9.
1495. Прямая y = 4x − 3 является касательной к параболе y = 6 − 2x + x². Найти координаты точки касания.
Угловой коэффициент касательной равен 4: y′ = 2x − 2 = 4, x = 3. Ордината точки параболы: y = 6 − 6 + 9 = 9. Проверка: на прямой при x = 3 имеем 4 · 3 − 3 = 9 — точка общая.
Ответ: (3; 9).
1496. Найти точки, в которых касательные к графику функции y = 4x³ − 9x² + 6x + 1 параллельны оси абсцисс.
Касательная параллельна оси Ox, если y′ = 0: 12x² − 18x + 6 = 0, 2x² − 3x + 1 = 0, x = 1 или x = 1/2. y(1) = 4 − 9 + 6 + 1 = 2; y(1/2) = 1/2 − 9/4 + 3 + 1 = 9/4.
Ответ: (1; 2) и (1/2; 9/4).
1497. Касательная к параболе y = 3x² + 7x + 1 в точке M образует с осью абсцисс угол π/4. Найти координаты точки M.
y′ = 6x + 7 = tg (π/4) = 1, x = −1. y(−1) = 3 − 7 + 1 = −3.
Ответ: M(−1; −3).
1498. Написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
1) f(x) = x ln 2x, x₀ = 0,5;
2) f(x) = 2^(−x), x₀ = 1.
1) f(0,5) = 0,5 ln 1 = 0; f′(x) = ln 2x + x · (1/x) = ln 2x + 1; f′(0,5) = 1. Касательная: y = x − 0,5.
2) f(1) = 1/2; f′(x) = −2^(−x) ln 2; f′(1) = −(ln 2)/2. Касательная: y = 1/2 − (ln 2/2)(x − 1) = 0,5(1 + ln 2 − x ln 2).
Ответ: 1) y = x − 0,5; 2) y = 0,5(1 + ln 2 − x ln 2).
1499. Найти угол между осью Ox и касательной к графику функции y = x³ − x² − 7x + 6 в точке M(2; −4).
Проверим: y(2) = 8 − 4 − 14 + 6 = −4. y′ = 3x² − 2x − 7, y′(2) = 12 − 4 − 7 = 1, tg α = 1, α = π/4.
Ответ: π/4.
1500. Найти тангенс угла, который касательная к графику функции y = x² · e^(−x) в точке с абсциссой x = 1 образует с осью Ox.
y′ = 2x e^(−x) − x² e^(−x) = (2x − x²)e^(−x). y′(1) = (2 − 1)/e = 1/e.
Ответ: 1/e.
1501. Найти угол между осью Ox и касательной к графику функции y = (2/3) cos (3x − π/6) в точке с абсциссой x = π/3.
y′ = −(2/3) · 3 sin (3x − π/6) = −2 sin (3x − π/6). При x = π/3: 3x − π/6 = π − π/6 = 5π/6, sin (5π/6) = 1/2, y′ = −1. tg α = −1, α = 3π/4.
Ответ: 3π/4.
1502. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = (x³ + 1)/3 в точке его пересечения с осью Ox.
f(x) = 0: x³ = −1, x = −1. f′(x) = x², f′(−1) = 1. Касательная: y = 0 + 1 · (x + 1) = x + 1.
Ответ: y = x + 1.