Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики — с. 419
1466. Построить график функции:
1) y = 2 − |x|;
2) y = |2 − x|;
3) y = |2 − x| + |x − 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую y = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.
1) y = 2 − |x|;
2) y = |2 − x|;
3) y = |2 − x| + |x − 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую y = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.
1) y = 2 − |x|: график — «крыша» с вершиной (0; 2), ветви идут вниз под углом 45° (при x ≥ 0 это y = 2 − x, при x < 0 это y = 2 + x). Наибольшее значение функции 2 < 3, поэтому прямую y = 3 график не пересекает (уравнение 2 − |x| = 3 даёт |x| = −1, решений нет).
2) y = |2 − x| = |x − 2|: график y = |x| сдвинут на 2 вправо, вершина (2; 0). Уравнение |2 − x| = 3 даёт x − 2 = 3 или x − 2 = −3, то есть x = 5 или x = −1. Точки пересечения (−1; 3) и (5; 3).
3) Раскроем модули: при x ≤ 2 y = (2 − x) + (3 − x) = 5 − 2x; при 2 ≤ x ≤ 3 y = (x − 2) + (3 − x) = 1; при x ≥ 3 y = (x − 2) + (x − 3) = 2x − 5. График: луч, горизонтальный отрезок на [2; 3] на высоте 1, снова луч. Уравнение y = 3: 5 − 2x = 3 даёт x = 1 (подходит, 1 ≤ 2); 2x − 5 = 3 даёт x = 4 (подходит, 4 ≥ 3); на [2; 3] y = 1 ≠ 3. Точки пересечения (1; 3) и (4; 3).
Ответ: 1) не пересекает; 2. (−1; 3) и (5; 3); 3. (1; 3) и (4; 3).
2) y = |2 − x| = |x − 2|: график y = |x| сдвинут на 2 вправо, вершина (2; 0). Уравнение |2 − x| = 3 даёт x − 2 = 3 или x − 2 = −3, то есть x = 5 или x = −1. Точки пересечения (−1; 3) и (5; 3).
3) Раскроем модули: при x ≤ 2 y = (2 − x) + (3 − x) = 5 − 2x; при 2 ≤ x ≤ 3 y = (x − 2) + (3 − x) = 1; при x ≥ 3 y = (x − 2) + (x − 3) = 2x − 5. График: луч, горизонтальный отрезок на [2; 3] на высоте 1, снова луч. Уравнение y = 3: 5 − 2x = 3 даёт x = 1 (подходит, 1 ≤ 2); 2x − 5 = 3 даёт x = 4 (подходит, 4 ≥ 3); на [2; 3] y = 1 ≠ 3. Точки пересечения (1; 3) и (4; 3).
Ответ: 1) не пересекает; 2. (−1; 3) и (5; 3); 3. (1; 3) и (4; 3).
1467. Дана функция y = x² − 2x − 3.
1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.
2) Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4].
3) Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.
4) Найти значения x, при которых график функции y = x² − 2x − 3 лежит выше графика функции y = −2x + 1.
5) Записать уравнение касательной к параболе y = x² − 2x − 3 в точке с абсциссой, равной 2.
1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.
2) Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4].
3) Найти значение x, при котором функция принимает наименьшее значение.
4) Найти значения x, при которых график функции y = x² − 2x − 3 лежит выше графика функции y = −2x + 1.
5) Записать уравнение касательной к параболе y = x² − 2x − 3 в точке с абсциссой, равной 2.
1) Парабола ветвями вверх, y = (x − 1)² − 4, вершина (1; −4), с осью Oy пересекается в точке (0; −3). Корни x² − 2x − 3 = 0: x = −1 и x = 3. Дополнительные точки: (2; −3), (4; 5), (−2; 5). Функция отрицательна между корнями: −1 < x < 3.
2) Пусть 1 ≤ x₁ < x₂ ≤ 4. Тогда y(x₂) − y(x₁) = (x₂² − x₁²) − 2(x₂ − x₁) = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁ − 2). Здесь x₂ − x₁ > 0 и x₂ + x₁ − 2 > 1 + 1 − 2 = 0 (так как x₂ > x₁ ≥ 1), значит, разность положительна, функция возрастает на [1; 4].
3) Наименьшее значение достигается в вершине параболы: x = 1 (y = −4).
4) x² − 2x − 3 > −2x + 1, x² > 4, |x| > 2: x < −2 или x > 2.
5) y′ = 2x − 2; при x₀ = 2: y(2) = −3, y′(2) = 2. Уравнение касательной y = −3 + 2(x − 2) = 2x − 7.
Ответ: 1) −1 < x < 3; 3) x = 1; 4) x < −2, x > 2; 5) y = 2x − 7.
2) Пусть 1 ≤ x₁ < x₂ ≤ 4. Тогда y(x₂) − y(x₁) = (x₂² − x₁²) − 2(x₂ − x₁) = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁ − 2). Здесь x₂ − x₁ > 0 и x₂ + x₁ − 2 > 1 + 1 − 2 = 0 (так как x₂ > x₁ ≥ 1), значит, разность положительна, функция возрастает на [1; 4].
3) Наименьшее значение достигается в вершине параболы: x = 1 (y = −4).
4) x² − 2x − 3 > −2x + 1, x² > 4, |x| > 2: x < −2 или x > 2.
5) y′ = 2x − 2; при x₀ = 2: y(2) = −3, y′(2) = 2. Уравнение касательной y = −3 + 2(x − 2) = 2x − 7.
Ответ: 1) −1 < x < 3; 3) x = 1; 4) x < −2, x > 2; 5) y = 2x − 7.
1468. Дана функция y = −2x² + 3x + 2.
1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.
2) Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2].
3) Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение.
4) Найти значения x, при которых график данной функции лежит ниже графика функции y = 3x + 2.
5) Записать уравнения касательных к параболе y = −2x² + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.
1) Построить её график и найти значения x, при которых y(x) < 0.
2) Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2].
3) Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение.
4) Найти значения x, при которых график данной функции лежит ниже графика функции y = 3x + 2.
5) Записать уравнения касательных к параболе y = −2x² + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.
1) Парабола ветвями вниз, вершина x₀ = 3/4, y₀ = −2 · 9/16 + 9/4 + 2 = 25/8. Корни −2x² + 3x + 2 = 0, 2x² − 3x − 2 = 0: x = 2 и x = −1/2. С осью Oy: (0; 2). y < 0 при x < −1/2 или x > 2.
2) Пусть 1 ≤ x₁ < x₂ ≤ 2. y(x₂) − y(x₁) = −2(x₂² − x₁²) + 3(x₂ − x₁) = (x₂ − x₁)(3 − 2(x₁ + x₂)). Так как x₁ + x₂ > 2, то 3 − 2(x₁ + x₂) < −1 < 0, и разность отрицательна: функция убывает на [1; 2].
3) Наибольшее значение в вершине: x = 3/4 (y = 25/8).
4) −2x² + 3x + 2 < 3x + 2, −2x² < 0, x ≠ 0.
5) −2x² + 3x + 2 = 3, 2x² − 3x + 1 = 0, x = 1 или x = 1/2. y′ = −4x + 3. При x₀ = 1: y′ = −1, касательная y = 3 − (x − 1) = −x + 4. При x₀ = 1/2: y′ = 1, касательная y = 3 + (x − 1/2) = x + 5/2.
Ответ: 1) x < −1/2, x > 2; 3) x = 3/4; 4) x ≠ 0; 5) y = −x + 4 и y = x + 5/2.
2) Пусть 1 ≤ x₁ < x₂ ≤ 2. y(x₂) − y(x₁) = −2(x₂² − x₁²) + 3(x₂ − x₁) = (x₂ − x₁)(3 − 2(x₁ + x₂)). Так как x₁ + x₂ > 2, то 3 − 2(x₁ + x₂) < −1 < 0, и разность отрицательна: функция убывает на [1; 2].
3) Наибольшее значение в вершине: x = 3/4 (y = 25/8).
4) −2x² + 3x + 2 < 3x + 2, −2x² < 0, x ≠ 0.
5) −2x² + 3x + 2 = 3, 2x² − 3x + 1 = 0, x = 1 или x = 1/2. y′ = −4x + 3. При x₀ = 1: y′ = −1, касательная y = 3 − (x − 1) = −x + 4. При x₀ = 1/2: y′ = 1, касательная y = 3 + (x − 1/2) = x + 5/2.
Ответ: 1) x < −1/2, x > 2; 3) x = 3/4; 4) x ≠ 0; 5) y = −x + 4 и y = x + 5/2.
1469. Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) y = x² и y = x + 6;
2) y = 3/x и y = 4(x + 1);
3) y = (1/8)x² и y = 1/x;
4) y = 2x − 1 и y = 1/x.
1) y = x² и y = x + 6;
2) y = 3/x и y = 4(x + 1);
3) y = (1/8)x² и y = 1/x;
4) y = 2x − 1 и y = 1/x.
Приравниваем функции и ищем решения.
1) x² = x + 6, x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Пересекаются в точках (3; 9) и (−2; 4).
2) 3/x = 4(x + 1), x ≠ 0: 3 = 4x² + 4x, 4x² + 4x − 3 = 0, D = 16 + 48 = 64, x = (−4 ± 8)/8, x = 1/2 или x = −3/2. Пересекаются в точках (1/2; 6) и (−3/2; −2).
3) x²/8 = 1/x, x ≠ 0: x³ = 8, x = 2. Пересекаются в точке (2; 1/2).
4) 2x − 1 = 1/x, x ≠ 0: 2x² − x − 1 = 0, x = 1 или x = −1/2. Пересекаются в точках (1; 1) и (−1/2; −2).
Ответ: во всех четырёх случаях пересекаются.
1) x² = x + 6, x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Пересекаются в точках (3; 9) и (−2; 4).
2) 3/x = 4(x + 1), x ≠ 0: 3 = 4x² + 4x, 4x² + 4x − 3 = 0, D = 16 + 48 = 64, x = (−4 ± 8)/8, x = 1/2 или x = −3/2. Пересекаются в точках (1/2; 6) и (−3/2; −2).
3) x²/8 = 1/x, x ≠ 0: x³ = 8, x = 2. Пересекаются в точке (2; 1/2).
4) 2x − 1 = 1/x, x ≠ 0: 2x² − x − 1 = 0, x = 1 или x = −1/2. Пересекаются в точках (1; 1) и (−1/2; −2).
Ответ: во всех четырёх случаях пересекаются.
1470. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной:
1) y = 2^x + 2^(−x);
2) y = 3^x − 3^(−x);
3) y = ln ((3 + x)/(3 − x));
4) y = |ln ((5 + x)/(5 − x))|.
1) y = 2^x + 2^(−x);
2) y = 3^x − 3^(−x);
3) y = ln ((3 + x)/(3 − x));
4) y = |ln ((5 + x)/(5 − x))|.
Проверяем симметричность области определения и сравниваем f(−x) с f(x).
1) D = R. f(−x) = 2^(−x) + 2^x = f(x): чётная.
2) D = R. f(−x) = 3^(−x) − 3^x = −f(x): нечётная.
3) D: (3 + x)/(3 − x) > 0, −3 < x < 3 — симметрична. f(−x) = ln ((3 − x)/(3 + x)) = −ln ((3 + x)/(3 − x)) = −f(x): нечётная.
4) D: −5 < x < 5 — симметрична. f(−x) = |ln ((5 − x)/(5 + x))| = |−ln ((5 + x)/(5 − x))| = f(x): чётная.
Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) чётная.
1) D = R. f(−x) = 2^(−x) + 2^x = f(x): чётная.
2) D = R. f(−x) = 3^(−x) − 3^x = −f(x): нечётная.
3) D: (3 + x)/(3 − x) > 0, −3 < x < 3 — симметрична. f(−x) = ln ((3 − x)/(3 + x)) = −ln ((3 + x)/(3 − x)) = −f(x): нечётная.
4) D: −5 < x < 5 — симметрична. f(−x) = |ln ((5 − x)/(5 + x))| = |−ln ((5 + x)/(5 − x))| = f(x): чётная.
Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) чётная.
1471. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной:
1) y = 2x² − 1;
2) y = x − x³;
3) y = x⁵ − 1/x;
4) y = sin x/x.
1) y = 2x² − 1;
2) y = x − x³;
3) y = x⁵ − 1/x;
4) y = sin x/x.
1) D = R, f(−x) = 2x² − 1 = f(x): чётная.
2) D = R, f(−x) = −x + x³ = −(x − x³) = −f(x): нечётная.
3) D: x ≠ 0 — симметрична. f(−x) = −x⁵ + 1/x = −f(x): нечётная.
4) D: x ≠ 0 — симметрична. f(−x) = sin(−x)/(−x) = sin x/x = f(x): чётная.
Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) чётная.
2) D = R, f(−x) = −x + x³ = −(x − x³) = −f(x): нечётная.
3) D: x ≠ 0 — симметрична. f(−x) = −x⁵ + 1/x = −f(x): нечётная.
4) D: x ≠ 0 — симметрична. f(−x) = sin(−x)/(−x) = sin x/x = f(x): чётная.
Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) чётная.
1472. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной:
1) y = x sin x;
2) y = x² cos 2x;
3) y = x + sin x;
4) y = x + cos x.
1) y = x sin x;
2) y = x² cos 2x;
3) y = x + sin x;
4) y = x + cos x.
Область определения во всех случаях R.
1) f(−x) = (−x) sin(−x) = x sin x = f(x): чётная.
2) f(−x) = x² cos(−2x) = x² cos 2x = f(x): чётная.
3) f(−x) = −x + sin(−x) = −(x + sin x) = −f(x): нечётная.
4) f(−x) = −x + cos x. Равенство f(−x) = f(x) выполнялось бы лишь при x = 0, а f(−x) = −f(x) требует cos x = 0 при всех x; например, f(0) = 1 ≠ 0, так что функция не нечётная, а f(π/2) = π/2 ≠ f(−π/2) = −π/2, так что не чётная. Ни чётная, ни нечётная.
Ответ: 1) чётная; 2) чётная; 3) нечётная; 4) ни чётная, ни нечётная.
1) f(−x) = (−x) sin(−x) = x sin x = f(x): чётная.
2) f(−x) = x² cos(−2x) = x² cos 2x = f(x): чётная.
3) f(−x) = −x + sin(−x) = −(x + sin x) = −f(x): нечётная.
4) f(−x) = −x + cos x. Равенство f(−x) = f(x) выполнялось бы лишь при x = 0, а f(−x) = −f(x) требует cos x = 0 при всех x; например, f(0) = 1 ≠ 0, так что функция не нечётная, а f(π/2) = π/2 ≠ f(−π/2) = −π/2, так что не чётная. Ни чётная, ни нечётная.
Ответ: 1) чётная; 2) чётная; 3) нечётная; 4) ни чётная, ни нечётная.