Упражнения 1444–1452, стр. 417 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1444–1452 — Упражнения для итогового повторения курса…

Страница 417 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи — с. 417

1444. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
Пусть скорость плота x км/ч (равна скорости течения), тогда скорость лодки по течению x + 48. Плот прошёл 17 км за 17/x ч, лодка — за 17/(x + 48) ч; лодка вышла на 5 ч 20 мин = 16/3 ч позже: 17/x − 17/(x + 48) = 16/3. Приводим: 17 · 48/(x(x + 48)) = 16/3, x(x + 48) = 153, x² + 48x − 153 = 0, D = 2304 + 612 = 2916 = 54², x = (−48 + 54)/2 = 3 (отрицательный корень не подходит).
Ответ: 3 км/ч.
1445. При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай пшеницы на первом участке был на 1 ц с 1 га больше, чем на втором?
Пусть площадь первого участка s га, тогда второго s + 0,5 га. Урожайности 210/s и 210/(s + 0,5) ц/га, разность равна 1: 210/s − 210/(s + 0,5) = 1. Отсюда 210 · 0,5 = s(s + 0,5), s² + 0,5s − 105 = 0, D = 0,25 + 420 = 420,25 = 20,5², s = (−0,5 + 20,5)/2 = 10. Площади 10 га и 10,5 га, урожайности 210/10 = 21 ц/га и 210/10,5 = 20 ц/га.
Ответ: 21 ц/га на первом участке, 20 ц/га на втором.
1446. Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше?
700 м = 70000 см. Пусть шаг ученика s см, он делает n шагов: ns = 70000. Брат делает (n − 400) шагов длиной (s + 20): (n − 400)(s + 20) = 70000. Раскроем: ns + 20n − 400s − 8000 = 70000, 20n − 400s = 8000, n = 400 + 20s. Подставим: (400 + 20s)s = 70000, s² + 20s − 3500 = 0, D = 400 + 14000 = 14400 = 120², s = (−20 + 120)/2 = 50. Тогда n = 70000/50 = 1400.
Ответ: 1400 шагов.
1447. Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.
Пусть числа b, bq, bq², bq³. Тогда bq² − b = 9, bq − bq³ = 18, то есть b(q² − 1) = 9 и bq(1 − q²) = 18. Разделим второе равенство на первое: −q = 2, q = −2. Тогда b · 3 = 9, b = 3. Числа: 3, −6, 12, −24. Проверка: 12 − 3 = 9, −6 − (−24) = 18.
Ответ: 3, −6, 12, −24.
1448. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.
S₃ = 3a₁ + 3d = 0, откуда a₁ = −d. S₄ = 4a₁ + 6d = 1, откуда −4d + 6d = 1, d = 1/2, a₁ = −1/2. Тогда S₁₂ = (2a₁ + 11d) · 12/2 = (−1 + 5,5) · 6 = 27.
Ответ: 27.
1449. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12.
Пусть числа a, b, c, d. Условия: b² = ac (геометрическая), 2c = b + d (арифметическая), a + d = 16, b + c = 12. Выразим b = 12 − c, d = 16 − a. Из 2c = b + d: 2c = 12 − c + 16 − a, a = 28 − 3c. Из b² = ac: (12 − c)² = (28 − 3c)c, 144 − 24c + c² = 28c − 3c², 4c² − 52c + 144 = 0, c² − 13c + 36 = 0, c = 4 или c = 9.
Если c = 9: b = 3, a = 1, d = 15 — числа 1, 3, 9, 15 (1, 3, 9 — геометрическая прогрессия, 3, 9, 15 — арифметическая).
Если c = 4: b = 8, a = 16, d = 0 — числа 16, 8, 4, 0 (16, 8, 4 — геометрическая, 8, 4, 0 — арифметическая).
Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.
1450. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.
Пусть b₁ — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии; b₅, b₈, b₁₁ — первый, второй и десятый члены арифметической прогрессии с разностью d = b₈ − b₅. Десятый член равен второму плюс 8d: b₁₁ − b₈ = 8(b₈ − b₅), то есть b₁q¹⁰ − b₁q⁷ = 8(b₁q⁷ − b₁q⁴). Разделим на b₁q⁴ ≠ 0: q⁶ − q³ = 8q³ − 8, (q³ − 1)(q³ − 8) = 0. Значит, q = 1 или q = 2.
Если q = 2: S₅ = b₁(2⁵ − 1) = 31b₁ = 62, b₁ = 2.
Если q = 1: S₅ = 5b₁ = 62, b₁ = 62/5 = 12,4 (арифметическая прогрессия постоянная, условие выполнено).
Ответ: 2 или 12 2/5.
1451. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
Пусть a — первый член, d — разность, t = d/a (a > 0). Условие: (a + 4d)(a + 5d) = 33a(a + d), то есть (1 + 4t)(1 + 5t) = 33(1 + t), 20t² + 9t + 1 = 33 + 33t, 5t² − 6t − 8 = 0, D = 36 + 160 = 196, t = (6 ± 14)/10: t = 2 или t = −0,4. При t = −0,4 пятый член a(1 + 4t) = −0,6a < 0, что противоречит условию. Значит, t = 2 и a₅/a₂ = (a + 4d)/(a + d) = (1 + 8)/(1 + 2) = 3.
Ответ: в 3 раза.
1452. В треугольнике, площадь которого равна 12 см², середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.
Треугольник из средних линий подобен исходному с коэффициентом 1/2, поэтому его площадь в 4 раза меньше. Площади образуют геометрическую прогрессию 12, 3, 3/4, … с первым членом 12 и знаменателем q = 1/4. Так как |q| < 1, сумма бесконечно убывающей прогрессии S = 12/(1 − 1/4) = 16 см².
Ответ: 16 см² (с учётом исходного треугольника).
Оговорка: исходный треугольник входит в сумму, как следует из ответа учебника (16 см²); без него сумма была бы 4 см².