Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики — с. 418
1453. График линейной функции y = −(5/2)x + b проходит через точку (−2; 3). Найти b.
Подставим x = −2, y = 3: 3 = −(5/2) · (−2) + b = 5 + b, откуда b = −2.
Ответ: b = −2.
Ответ: b = −2.
1454. График линейной функции y = kx + 3 проходит через точку (−1; 4). Найти k.
Подставим x = −1, y = 4: 4 = −k + 3, откуда k = −1.
Ответ: k = −1.
Ответ: k = −1.
1455. Найти коэффициенты k и b линейной функции y = kx + b, если её график проходит через точки A и B:
1) A(−1; −2), B(3; 2);
2) A(2; 1), B(1; 2);
3) A(4; 2), B(−4; −3);
4) A(−2; −2), B(3; −2).
1) A(−1; −2), B(3; 2);
2) A(2; 1), B(1; 2);
3) A(4; 2), B(−4; −3);
4) A(−2; −2), B(3; −2).
Угловой коэффициент k = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), затем b = y_A − kx_A.
1) k = (2 + 2)/(3 + 1) = 1, b = −2 − 1 · (−1) = −1.
2) k = (2 − 1)/(1 − 2) = −1, b = 1 + 2 = 3.
3) k = (−3 − 2)/(−4 − 4) = 5/8, b = 2 − (5/8) · 4 = −1/2.
4) Ординаты равны, k = 0, b = −2.
Ответ: 1) k = 1, b = −1; 2) k = −1, b = 3; 3) k = 5/8, b = −1/2; 4) k = 0, b = −2.
1) k = (2 + 2)/(3 + 1) = 1, b = −2 − 1 · (−1) = −1.
2) k = (2 − 1)/(1 − 2) = −1, b = 1 + 2 = 3.
3) k = (−3 − 2)/(−4 − 4) = 5/8, b = 2 − (5/8) · 4 = −1/2.
4) Ординаты равны, k = 0, b = −2.
Ответ: 1) k = 1, b = −1; 2) k = −1, b = 3; 3) k = 5/8, b = −1/2; 4) k = 0, b = −2.
1456. Через точку A(−3; 2) проходит прямая, параллельная прямой, проходящей через точки B(−2; 2) и C(3; 0). Записать формулы, задающие линейные функции, графиками которых являются данные прямые.
Прямая BC: k = (0 − 2)/(3 + 2) = −2/5; y = −(2/5)(x + 2) + 2 = −(2/5)x + 6/5. Проверка точки C: −6/5 + 6/5 = 0.
Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент: y = −(2/5)x + b, и 2 = −(2/5)(−3) + b = 6/5 + b, b = 4/5.
Ответ: y = −(2/5)x + 6/5 (прямая BC) и y = −(2/5)x + 4/5 (прямая через A).
Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент: y = −(2/5)x + b, и 2 = −(2/5)(−3) + b = 6/5 + b, b = 4/5.
Ответ: y = −(2/5)x + 6/5 (прямая BC) и y = −(2/5)x + 4/5 (прямая через A).
1457. Выяснить, принадлежит ли прямой x + y/2 = 1 точка A:
1) A(−1; 4);
2) A(0; 3);
3) A(1; 0);
4) A(3/2; −1).
1) A(−1; 4);
2) A(0; 3);
3) A(1; 0);
4) A(3/2; −1).
Подставляем координаты в левую часть и сравниваем с 1.
1) −1 + 4/2 = 1 — принадлежит.
2) 0 + 3/2 = 1,5 ≠ 1 — не принадлежит.
3) 1 + 0 = 1 — принадлежит.
4) 3/2 + (−1)/2 = 1 — принадлежит.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да.
1) −1 + 4/2 = 1 — принадлежит.
2) 0 + 3/2 = 1,5 ≠ 1 — не принадлежит.
3) 1 + 0 = 1 — принадлежит.
4) 3/2 + (−1)/2 = 1 — принадлежит.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да.
1458. Линейная функция задана формулой y = −(3/4)x + 2. Найти:
1) точки A и B пересечения её графика с осями координат;
2) длину отрезка AB;
3) расстояние от начала координат до прямой y = −(3/4)x + 2.
1) точки A и B пересечения её графика с осями координат;
2) длину отрезка AB;
3) расстояние от начала координат до прямой y = −(3/4)x + 2.
1) С осью Ox (y = 0): −(3/4)x + 2 = 0, x = 8/3, A(8/3; 0). С осью Oy (x = 0): y = 2, B(0; 2).
2) AB = √((8/3)² + 2²) = √(64/9 + 36/9) = √(100/9) = 10/3.
3) Расстояние от O до прямой — высота OH прямоугольного треугольника AOB, проведённая к гипотенузе: OH = OA · OB/AB = (8/3 · 2)/(10/3) = 16/10 = 1,6. (Проверка по формуле: прямая 3x + 4y − 8 = 0, d = 8/√(9 + 16) = 1,6.)
Ответ: 1. A(8/3; 0), B(0; 2); 2) 10/3; 3) 1,6.
2) AB = √((8/3)² + 2²) = √(64/9 + 36/9) = √(100/9) = 10/3.
3) Расстояние от O до прямой — высота OH прямоугольного треугольника AOB, проведённая к гипотенузе: OH = OA · OB/AB = (8/3 · 2)/(10/3) = 16/10 = 1,6. (Проверка по формуле: прямая 3x + 4y − 8 = 0, d = 8/√(9 + 16) = 1,6.)
Ответ: 1. A(8/3; 0), B(0; 2); 2) 10/3; 3) 1,6.
1459. Найти значения x, при которых график функции y = 3x − 1 расположен:
1) выше оси Ox;
2) ниже оси Ox.
1) выше оси Ox;
2) ниже оси Ox.
1) График выше оси Ox, если y > 0: 3x − 1 > 0, x > 1/3.
2) Ниже оси Ox, если y < 0: 3x − 1 < 0, x < 1/3.
Ответ: 1) x > 1/3; 2) x < 1/3.
2) Ниже оси Ox, если y < 0: 3x − 1 < 0, x < 1/3.
Ответ: 1) x > 1/3; 2) x < 1/3.
1460. Найти значения x, при которых значения функции y = −2x + 1:
1) положительны;
2) отрицательны.
1) положительны;
2) отрицательны.
1) −2x + 1 > 0, x < 1/2.
2) −2x + 1 < 0, x > 1/2.
Ответ: 1) x < 0,5; 2) x > 0,5.
2) −2x + 1 < 0, x > 1/2.
Ответ: 1) x < 0,5; 2) x > 0,5.
1461. Найти значения x, при которых график функции y = 2x − 1 лежит ниже графика функции y = 3x − 2.
Нужно 2x − 1 < 3x − 2, откуда 1 < x.
Ответ: x > 1.
Ответ: x > 1.
1462. Найти значения x, при которых график функции y = (√3 − 2)x − √3 лежит выше графика функции y = (1 + √3)x + 2√3.
Нужно (√3 − 2)x − √3 > (1 + √3)x + 2√3. Перенесём: (√3 − 2 − 1 − √3)x > 3√3, −3x > 3√3, x < −√3.
Ответ: x < −√3.
Ответ: x < −√3.
1463. Доказать, что функция y = 2x − 3 возрастает.
Пусть x₁ < x₂ — любые числа. Тогда y(x₂) − y(x₁) = (2x₂ − 3) − (2x₁ − 3) = 2(x₂ − x₁) > 0, то есть y(x₂) > y(x₁). По определению функция возрастает на всей числовой прямой.
1464. Доказать, что функция y = −√3 x − 3 убывает.
Пусть x₁ < x₂. Тогда y(x₂) − y(x₁) = −√3 x₂ − 3 + √3 x₁ + 3 = −√3(x₂ − x₁) < 0, так как √3 > 0 и x₂ − x₁ > 0. Значит, y(x₂) < y(x₁), функция убывает на R.
1465. Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) y = 3x − 2 и y = 3x + 1;
2) y = 3x − 2 и y = 5x + 1.
1) y = 3x − 2 и y = 3x + 1;
2) y = 3x − 2 и y = 5x + 1.
1) Угловые коэффициенты равны (3 = 3), а свободные члены различны (−2 ≠ 1): прямые параллельны и не совпадают, общих точек нет. Или уравнение 3x − 2 = 3x + 1 даёт −2 = 1 — решений нет.
2) Угловые коэффициенты различны (3 ≠ 5), прямые пересекаются: 3x − 2 = 5x + 1, x = −3/2, y = −13/2.
Ответ: 1) нет; 2) да, в точке (−3/2; −13/2).
2) Угловые коэффициенты различны (3 ≠ 5), прямые пересекаются: 3x − 2 = 5x + 1, x = −3/2, y = −13/2.
Ответ: 1) нет; 2) да, в точке (−3/2; −13/2).