Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики — с. 420
1473. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = cos (3x/2);
2) y = 2 sin 0,6x.
1) y = cos (3x/2);
2) y = 2 sin 0,6x.
Функции cos kx и sin kx имеют наименьший положительный период 2π/|k|.
1) k = 3/2: T = 2π : 3/2 = 4π/3.
2) k = 0,6: T = 2π/0,6 = 10π/3.
Ответ: 1) 4π/3; 2) 10π/3.
1) k = 3/2: T = 2π : 3/2 = 4π/3.
2) k = 0,6: T = 2π/0,6 = 10π/3.
Ответ: 1) 4π/3; 2) 10π/3.
1474. Найти наименьший положительный период функции:
1) y = cos 3x;
2) y = sin (x/5);
3) y = sin x + tg x.
1) y = cos 3x;
2) y = sin (x/5);
3) y = sin x + tg x.
1) T = 2π/3.
2) T = 2π : (1/5) = 10π.
3) У sin x наименьший период 2π, у tg x — π. Число 2π является периодом суммы: sin(x + 2π) + tg(x + 2π) = sin x + tg x. Меньшего периода нет: период T суммы должен сохранять множество точек разрыва тангенса x = π/2 + πn, откуда T кратен π, то есть T = π (в промежутке (0; 2π) других вариантов нет). Но при T = π: sin(x + π) + tg(x + π) = −sin x + tg x ≠ sin x + tg x (например, при x = π/4 слева −√2/2 + 1, справа √2/2 + 1). Значит, наименьший положительный период 2π.
Ответ: 1) 2π/3; 2) 10π; 3) 2π.
2) T = 2π : (1/5) = 10π.
3) У sin x наименьший период 2π, у tg x — π. Число 2π является периодом суммы: sin(x + 2π) + tg(x + 2π) = sin x + tg x. Меньшего периода нет: период T суммы должен сохранять множество точек разрыва тангенса x = π/2 + πn, откуда T кратен π, то есть T = π (в промежутке (0; 2π) других вариантов нет). Но при T = π: sin(x + π) + tg(x + π) = −sin x + tg x ≠ sin x + tg x (например, при x = π/4 слева −√2/2 + 1, справа √2/2 + 1). Значит, наименьший положительный период 2π.
Ответ: 1) 2π/3; 2) 10π; 3) 2π.
1475. Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график:
1) y = −x⁴ + 4x² − 5;
2) y = x³ − 4x.
1) y = −x⁴ + 4x² − 5;
2) y = x³ − 4x.
1) D = R. f(−x) = −x⁴ + 4x² − 5 = f(x) — функция чётная, график симметричен относительно оси Oy. Производная y′ = −4x³ + 8x = −4x(x² − 2): нули x = 0, ±√2. При x < −√2 и 0 < x < √2 производная положительна (возрастает), при −√2 < x < 0 и x > √2 отрицательна (убывает). Максимумы: y(±√2) = −4 + 8 − 5 = −1; минимум y(0) = −5. Корней нет (при t = x²: −t² + 4t − 5 = 0 имеет D = 16 − 20 < 0), график целиком лежит ниже оси Ox. Дополнительные точки: y(±1) = −2, y(±2) = −5. График — «двугорбая» кривая с вершинами (±√2; −1), провалом в (0; −5), ветви уходят вниз.
2) D = R. f(−x) = −x³ + 4x = −f(x) — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. Нули: x(x² − 4) = 0, x = 0, ±2. Производная y′ = 3x² − 4 = 0 при x = ±2/√3 ≈ ±1,15. Максимум y(−2/√3) = 16/(3√3) ≈ 3,08, минимум y(2/√3) ≈ −3,08. Функция возрастает при x < −2/√3 и x > 2/√3, убывает между ними. Точки: (−2; 0), (0; 0), (2; 0), (1; −3), (−1; 3), (3; 15). График — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
2) D = R. f(−x) = −x³ + 4x = −f(x) — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат. Нули: x(x² − 4) = 0, x = 0, ±2. Производная y′ = 3x² − 4 = 0 при x = ±2/√3 ≈ ±1,15. Максимум y(−2/√3) = 16/(3√3) ≈ 3,08, минимум y(2/√3) ≈ −3,08. Функция возрастает при x < −2/√3 и x > 2/√3, убывает между ними. Точки: (−2; 0), (0; 0), (2; 0), (1; −3), (−1; 3), (3; 15). График — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
1476. Найти наибольшее или наименьшее значение функции y = ax² + bx − 4, если y(1) = 0 и y(4) = 0.
Из y(1) = 0: a + b − 4 = 0. Из y(4) = 0: 16a + 4b − 4 = 0, то есть 4a + b = 1. Вычтем: 3a = −3, a = −1, b = 5. Функция y = −x² + 5x − 4, ветви параболы вниз, поэтому есть наибольшее значение в вершине x = 5/2: y = −25/4 + 25/2 − 4 = 9/4.
Ответ: наибольшее значение 2,25 (при x = 2,5).
Ответ: наибольшее значение 2,25 (при x = 2,5).
1477. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) y = sin 2x − √3 cos 2x;
2) y = 2 cos 2x + sin² x.
1) y = sin 2x − √3 cos 2x;
2) y = 2 cos 2x + sin² x.
1) sin 2x − √3 cos 2x = 2((1/2) sin 2x − (√3/2) cos 2x) = 2 sin (2x − π/3). Значения лежат в [−2; 2] и достигаются.
2) sin² x = (1 − cos 2x)/2, поэтому y = 2 cos 2x + 1/2 − (1/2) cos 2x = (3/2) cos 2x + 1/2. При cos 2x = 1: y = 2; при cos 2x = −1: y = −1.
Ответ: 1) наибольшее 2, наименьшее −2; 2) наибольшее 2, наименьшее −1.
2) sin² x = (1 − cos 2x)/2, поэтому y = 2 cos 2x + 1/2 − (1/2) cos 2x = (3/2) cos 2x + 1/2. При cos 2x = 1: y = 2; при cos 2x = −1: y = −1.
Ответ: 1) наибольшее 2, наименьшее −2; 2) наибольшее 2, наименьшее −1.
1478. Найти точки пересечения графика квадратичной функции с осями координат:
1) y = 2x² − 5x + 6;
2) y = 2x² − 5x + 2.
1) y = 2x² − 5x + 6;
2) y = 2x² − 5x + 2.
С осью Oy: x = 0, y = c. С осью Ox: решаем y = 0.
1) Пересечение с Oy: (0; 6). Уравнение 2x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 48 < 0, корней нет — с осью Ox график не пересекается.
2) Пересечение с Oy: (0; 2). Уравнение 2x² − 5x + 2 = 0: D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/4, x = 2 или x = 1/2. Точки (2; 0) и (1/2; 0).
Ответ: 1) только (0; 6); 2. (0; 2), (2; 0), (0,5; 0).
1) Пересечение с Oy: (0; 6). Уравнение 2x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 48 < 0, корней нет — с осью Ox график не пересекается.
2) Пересечение с Oy: (0; 2). Уравнение 2x² − 5x + 2 = 0: D = 25 − 16 = 9, x = (5 ± 3)/4, x = 2 или x = 1/2. Точки (2; 0) и (1/2; 0).
Ответ: 1) только (0; 6); 2. (0; 2), (2; 0), (0,5; 0).
1479. Построить график функции y = ax² + bx + c, если y(−2) = 15, y(3) = 0, y(0) = −3.
Из y(0) = −3 получаем c = −3. Из y(3) = 0: 9a + 3b − 3 = 0, то есть 3a + b = 1. Из y(−2) = 15: 4a − 2b − 3 = 15, то есть 2a − b = 9. Сложим: 5a = 10, a = 2, b = −5. Функция y = 2x² − 5x − 3.
Построение: ветви вверх; вершина x₀ = 5/4, y₀ = 2 · 25/16 − 25/4 − 3 = −49/8 = −6,125; нули 2x² − 5x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4: x = 3 и x = −1/2; пересечение с Oy: (0; −3); контрольная точка (−2; 15). Через эти точки проводим параболу.
Построение: ветви вверх; вершина x₀ = 5/4, y₀ = 2 · 25/16 − 25/4 − 3 = −49/8 = −6,125; нули 2x² − 5x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4: x = 3 и x = −1/2; пересечение с Oy: (0; −3); контрольная точка (−2; 15). Через эти точки проводим параболу.
1480. Построить график функции y = √(25 − x²). Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Oy.
Область определения: 25 − x² ≥ 0, −5 ≤ x ≤ 5. Для y ≥ 0 равенство y = √(25 − x²) равносильно x² + y² = 25, y ≥ 0. Значит, график — верхняя полуокружность с центром в начале координат радиуса 5 (концы (−5; 0), (5; 0), высшая точка (0; 5)).
По графику: функция возрастает на [−5; 0] и убывает на [0; 5].
Симметрия: область определения [−5; 5] симметрична относительно нуля, и f(−x) = √(25 − (−x)²) = √(25 − x²) = f(x). Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси Oy: если точка (x; y) принадлежит графику, то и точка (−x; y) тоже.
По графику: функция возрастает на [−5; 0] и убывает на [0; 5].
Симметрия: область определения [−5; 5] симметрична относительно нуля, и f(−x) = √(25 − (−x)²) = √(25 − x²) = f(x). Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси Oy: если точка (x; y) принадлежит графику, то и точка (−x; y) тоже.
1481. Построить график функции y = 5/(x − 2). Доказать, что функция убывает на промежутках (−∞; 2) и (2; +∞). В какой точке график функции пересекает ось ординат?
Область определения x ≠ 2. График — гипербола y = 5/x, сдвинутая на 2 вправо: асимптоты x = 2 и y = 0, ветви в 1-й и 3-й «четвертях» относительно точки (2; 0). Точки: (3; 5), (7; 1), (1; −5), (−3; −1), (0; −5/2).
Убывание. Пусть x₁ < x₂ лежат на одном промежутке ((−∞; 2) или (2; +∞)). Тогда f(x₂) − f(x₁) = 5/(x₂ − 2) − 5/(x₁ − 2) = 5(x₁ − x₂)/((x₂ − 2)(x₁ − 2)). Числитель отрицателен, а знаменатель положителен, так как x₁ − 2 и x₂ − 2 одного знака. Значит, f(x₂) < f(x₁): функция убывает на каждом из промежутков.
С осью ординат: x = 0, y = 5/(0 − 2) = −5/2.
Ответ: (0; −5/2).
Убывание. Пусть x₁ < x₂ лежат на одном промежутке ((−∞; 2) или (2; +∞)). Тогда f(x₂) − f(x₁) = 5/(x₂ − 2) − 5/(x₁ − 2) = 5(x₁ − x₂)/((x₂ − 2)(x₁ − 2)). Числитель отрицателен, а знаменатель положителен, так как x₁ − 2 и x₂ − 2 одного знака. Значит, f(x₂) < f(x₁): функция убывает на каждом из промежутков.
С осью ординат: x = 0, y = 5/(0 − 2) = −5/2.
Ответ: (0; −5/2).
1482. Выяснить основные свойства функции и построить её график:
1) y = 3^x + 1;
2) y = log₂ (x + 1);
3) y = log_(1/3) (x − 1).
1) y = 3^x + 1;
2) y = log₂ (x + 1);
3) y = log_(1/3) (x − 1).
1) График получается сдвигом графика y = 3^x на 1 вверх. D(y) = R; E(y) = (1; +∞); функция возрастает на R; нулей нет (3^x + 1 > 1), y > 0 при всех x; ни чётная, ни нечётная; асимптота y = 1 при x → −∞. Контрольные точки: (−1; 4/3), (0; 2), (1; 4).
2) График y = log₂ x сдвинут на 1 влево. D(y): x + 1 > 0, x > −1; E(y) = R; возрастает на (−1; +∞); нуль: log₂ (x + 1) = 0, x = 0; y < 0 при −1 < x < 0, y > 0 при x > 0; вертикальная асимптота x = −1. Контрольные точки: (−1/2; −1), (0; 0), (1; 1), (3; 2), (7; 3).
3) График y = log_(1/3) x сдвинут на 1 вправо. D(y): x − 1 > 0, x > 1; E(y) = R; убывает на (1; +∞); нуль: x − 1 = 1, x = 2; y > 0 при 1 < x < 2, y < 0 при x > 2; вертикальная асимптота x = 1. Контрольные точки: (4/3; 1), (2; 0), (4; −1), (10; −2).
2) График y = log₂ x сдвинут на 1 влево. D(y): x + 1 > 0, x > −1; E(y) = R; возрастает на (−1; +∞); нуль: log₂ (x + 1) = 0, x = 0; y < 0 при −1 < x < 0, y > 0 при x > 0; вертикальная асимптота x = −1. Контрольные точки: (−1/2; −1), (0; 0), (1; 1), (3; 2), (7; 3).
3) График y = log_(1/3) x сдвинут на 1 вправо. D(y): x − 1 > 0, x > 1; E(y) = R; убывает на (1; +∞); нуль: x − 1 = 1, x = 2; y > 0 при 1 < x < 2, y < 0 при x > 2; вертикальная асимптота x = 1. Контрольные точки: (4/3; 1), (2; 0), (4; −1), (10; −2).
1483. Построить график функции:
1) y = 2^(x − 1) − 3;
2) y = log₂ (x + 2) + 3.
1) y = 2^(x − 1) − 3;
2) y = log₂ (x + 2) + 3.
1) График y = 2^x сдвигаем на 1 вправо и на 3 вниз. Асимптота y = −3. Точки: x = 0: y = 1/2 − 3 = −2,5; x = 1: y = −2; x = 2: y = −1; x = 3: y = 1; пересечение с Ox: 2^(x − 1) = 3, x = 1 + log₂ 3 ≈ 2,58. Функция возрастает, E(y) = (−3; +∞).
2) График y = log₂ x сдвигаем на 2 влево и на 3 вверх. Асимптота x = −2. Точки: x = −1: y = 3; x = 0: y = 4; x = 2: y = 5; пересечение с Ox: log₂ (x + 2) = −3, x = −2 + 1/8 = −1,875. Функция возрастает, D(y) = (−2; +∞), E(y) = R.
2) График y = log₂ x сдвигаем на 2 влево и на 3 вверх. Асимптота x = −2. Точки: x = −1: y = 3; x = 0: y = 4; x = 2: y = 5; пересечение с Ox: log₂ (x + 2) = −3, x = −2 + 1/8 = −1,875. Функция возрастает, D(y) = (−2; +∞), E(y) = R.
1484. Найти область определения функции:
1) y = 2^x + lg (6 − 3x);
2) y = 3^(−x) − 2 ln (2x + 4);
3) y = tg (x/4).
1) y = 2^x + lg (6 − 3x);
2) y = 3^(−x) − 2 ln (2x + 4);
3) y = tg (x/4).
1) Показательная функция определена всюду, логарифм требует 6 − 3x > 0, x < 2.
2) 2x + 4 > 0, x > −2.
3) tg t определён при t ≠ π/2 + πn. Здесь x/4 ≠ π/2 + πn, x ≠ 2π + 4πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) x < 2; 2) x > −2; 3) x ≠ 2π + 4πn, n ∈ Z.
2) 2x + 4 > 0, x > −2.
3) tg t определён при t ≠ π/2 + πn. Здесь x/4 ≠ π/2 + πn, x ≠ 2π + 4πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) x < 2; 2) x > −2; 3) x ≠ 2π + 4πn, n ∈ Z.
1485. Найти область определения функции:
1) y = √((x − 3)/(x + 3));
2) y = √(log₃ ((2x + 1)/(x − 6))).
1) y = √((x − 3)/(x + 3));
2) y = √(log₃ ((2x + 1)/(x − 6))).
1) (x − 3)/(x + 3) ≥ 0: нули числителя и знаменателя 3 и −3; метод интервалов: x < −3 или x ≥ 3.
2) Подкоренное выражение log₃ ((2x + 1)/(x − 6)) ≥ 0 равносильно (2x + 1)/(x − 6) ≥ 1 (это условие уже включает положительность аргумента логарифма). Тогда (2x + 1)/(x − 6) − 1 = (x + 7)/(x − 6) ≥ 0, причём x ≠ 6. Решение: x ≤ −7 или x > 6.
Ответ: 1. (−∞; −3) ∪ [3; +∞); 2. (−∞; −7] ∪ (6; +∞).
2) Подкоренное выражение log₃ ((2x + 1)/(x − 6)) ≥ 0 равносильно (2x + 1)/(x − 6) ≥ 1 (это условие уже включает положительность аргумента логарифма). Тогда (2x + 1)/(x − 6) − 1 = (x + 7)/(x − 6) ≥ 0, причём x ≠ 6. Решение: x ≤ −7 или x > 6.
Ответ: 1. (−∞; −3) ∪ [3; +∞); 2. (−∞; −7] ∪ (6; +∞).
1486. Найти область определения функции:
1) y = √((x² − 6x − 16)/(x² − 12x + 11));
2) y = √(log_(1/2) (x − 3) − 1).
1) y = √((x² − 6x − 16)/(x² − 12x + 11));
2) y = √(log_(1/2) (x − 3) − 1).
1) Нужно (x² − 6x − 16)/(x² − 12x + 11) ≥ 0. Разложим: x² − 6x − 16 = (x − 8)(x + 2), x² − 12x + 11 = (x − 1)(x − 11). Метод интервалов с точками −2, 1, 8, 11 (−2 и 8 — закрашены, 1 и 11 — выколоты): знак «+» при x < −2, «−» на (−2; 1), «+» на (1; 8), «−» на (8; 11), «+» при x > 11. Решение: x ≤ −2, 1 < x ≤ 8, x > 11.
2) log_(1/2) (x − 3) ≥ 1 при 0 < x − 3 ≤ 1/2 (основание меньше 1), то есть 3 < x ≤ 3,5.
Ответ: 1. (−∞; −2] ∪ (1; 8] ∪ (11; +∞); 2. (3; 3,5].
2) log_(1/2) (x − 3) ≥ 1 при 0 < x − 3 ≤ 1/2 (основание меньше 1), то есть 3 < x ≤ 3,5.
Ответ: 1. (−∞; −2] ∪ (1; 8] ∪ (11; +∞); 2. (3; 3,5].
1487. Найти область определения функции:
1) y = √(log_(0,8) (x² − 5x + 7));
2) y = √(log_(0,5) (x² − 9)).
1) y = √(log_(0,8) (x² − 5x + 7));
2) y = √(log_(0,5) (x² − 9)).
1) log_(0,8) (x² − 5x + 7) ≥ 0 при 0 < x² − 5x + 7 ≤ 1 (основание меньше 1). Условие x² − 5x + 7 > 0 выполнено всегда (D = 25 − 28 < 0). Остаётся x² − 5x + 6 ≤ 0, откуда 2 ≤ x ≤ 3.
2) log_(0,5) (x² − 9) ≥ 0 при 0 < x² − 9 ≤ 1, то есть 9 < x² ≤ 10, то есть 3 < |x| ≤ √10.
Ответ: 1) [2; 3]; 2) [−√10; −3) ∪ (3; √10].
2) log_(0,5) (x² − 9) ≥ 0 при 0 < x² − 9 ≤ 1, то есть 9 < x² ≤ 10, то есть 3 < |x| ≤ √10.
Ответ: 1) [2; 3]; 2) [−√10; −3) ∪ (3; √10].