Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи — с. 416
1434. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира?
Пусть длина эскалатора равна 1. Скорость пассажира по неподвижному эскалатору 1/180 (в 1/с), так как 3 мин = 180 с. По движущемуся он идёт со скоростью 1/45, то есть скорость эскалатора равна 1/45 − 1/180 = 4/180 − 1/180 = 3/180 = 1/60. Неподвижно стоящего пассажира эскалатор поднимает за 1 : (1/60) = 60 с = 1 мин.
Ответ: за 1 мин.
Ответ: за 1 мин.
1435. Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч.
Пусть собственная скорость теплохода v км/ч. Расстояние одно и то же: 7(v + 2) = 9(v − 2), 7v + 14 = 9v − 18, 2v = 32, v = 16. Расстояние равно 7 · (16 + 2) = 126 км.
Ответ: 126 км.
Ответ: 126 км.
1436. Теплоход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошёл намеченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был пройти теплоход?
Пусть расстояние равно S км. По плану на путь отводилось 2,25 · 24 = 54 ч, на деле потребовалось 2 · 24 = 48 ч. Скорость по плану S/54, фактическая S/48. По условию S/48 − S/54 = 2,5. Приводим к общему знаменателю: S(54 − 48)/(48 · 54) = 2,5, S · 6/2592 = 2,5, S = 2,5 · 432 = 1080.
Ответ: 1080 км.
Ответ: 1080 км.
1437. Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, другой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие будут работать вместе?
Примем всю работу за 1. Производительности рабочих 1/24 и 1/48 работы в день. Вместе они делают 1/24 + 1/48 = 3/48 = 1/16 работы в день, значит, всю работу выполнят за 16 дней.
Ответ: за 16 дней.
Ответ: за 16 дней.
1438. При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы с общей площади 174 га, причём на целинных землях собрано по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц. Сколько гектаров целинных земель было освоено?
Пусть на целинных землях x га, тогда на остальной площади (174 − x) га. Урожай: 30x + 22(174 − x) = 4556, 30x + 3828 − 22x = 4556, 8x = 728, x = 91.
Ответ: 91 га.
Ответ: 91 га.
1439. Разность двух чисел относится к их произведению как 1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.
Пусть a и b — числа, a − b ≠ 0. Условия: (a − b)/(ab) = 1/24 и a + b = 5(a − b). Из второго a + b = 5a − 5b, 6b = 4a, a = 1,5b. Тогда a − b = 0,5b, ab = 1,5b², и (0,5b)/(1,5b²) = 1/(3b) = 1/24, откуда b = 8, a = 12. Проверка: разность 4, произведение 96, 4 : 96 = 1 : 24; сумма 20 = 5 · 4.
Ответ: 12 и 8.
Ответ: 12 и 8.
1440. Сумма трёх чисел равна 1. Разность первого и второго чисел равна третьему числу. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа. Найти эти числа.
Пусть числа x, y, z. Тогда x + y + z = 1, x − y = z, x + y = 5z. Подставим третье в первое: 5z + z = 1, z = 1/6. Тогда x + y = 5/6, x − y = 1/6, откуда x = 1/2, y = 1/3.
Ответ: 1/2, 1/3, 1/6.
Ответ: 1/2, 1/3, 1/6.
1441. Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?
Пусть дневная норма n деталей, тогда срок d = 360/n дней. Фактически бригада делает n + 9 деталей в день и за (d − 1) дней изготовила 360 · 1,05 = 378 деталей: (n + 9)(360/n − 1) = 378.
Раскроем скобки: 360 − n + 3240/n − 9 = 378, −n + 3240/n − 27 = 0, n² + 27n − 3240 = 0. D = 729 + 12960 = 13689 = 117², n = (−27 + 117)/2 = 45 (отрицательный корень не подходит). Срок d = 360/45 = 8 дней. К сроку бригада при той же производительности (54 детали в день) изготовит 54 · 8 = 432 детали.
Ответ: 432 детали.
Раскроем скобки: 360 − n + 3240/n − 9 = 378, −n + 3240/n − 27 = 0, n² + 27n − 3240 = 0. D = 729 + 12960 = 13689 = 117², n = (−27 + 117)/2 = 45 (отрицательный корень не подходит). Срок d = 360/45 = 8 дней. К сроку бригада при той же производительности (54 детали в день) изготовит 54 · 8 = 432 детали.
Ответ: 432 детали.
1442. Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.
Пусть v — собственная скорость катера, c — скорость течения (и плота), км/ч.
Первый случай: плот прошёл 36 км за время, на 10 ч большее, чем катер: 36/c = 10 + 36/(v + c), откуда 36/c − 36/(v + c) = 10, 36v/(c(v + c)) = 10, 18v = 5c(v + c).
Второй случай: плот прошёл 10 км за 10/c ч; катер за это время прошёл 30 км по течению и 20 км против течения: 30/(v + c) + 20/(v − c) = 10/c, то есть 3/(v + c) + 2/(v − c) = 1/c. Умножим на c(v + c)(v − c): 3c(v − c) + 2c(v + c) = v² − c², 5cv − c² = v² − c², v² = 5cv, v = 5c.
Подставим в первое: 90c = 5c · 6c, c = 3, v = 15.
Проверка: по течению катер идёт 18 км/ч, 36 км за 2 ч; плот за 12 ч проходит 36 км. Во втором случае 30/18 + 20/12 = 10/3 ч, плот за это время проходит 3 · 10/3 = 10 км.
Ответ: 15 км/ч.
Оговорка: в ответах учебника указано 18 км/ч; это скорость катера по течению (15 + 3). Собственная скорость, как показывает проверка, равна 15 км/ч.
Первый случай: плот прошёл 36 км за время, на 10 ч большее, чем катер: 36/c = 10 + 36/(v + c), откуда 36/c − 36/(v + c) = 10, 36v/(c(v + c)) = 10, 18v = 5c(v + c).
Второй случай: плот прошёл 10 км за 10/c ч; катер за это время прошёл 30 км по течению и 20 км против течения: 30/(v + c) + 20/(v − c) = 10/c, то есть 3/(v + c) + 2/(v − c) = 1/c. Умножим на c(v + c)(v − c): 3c(v − c) + 2c(v + c) = v² − c², 5cv − c² = v² − c², v² = 5cv, v = 5c.
Подставим в первое: 90c = 5c · 6c, c = 3, v = 15.
Проверка: по течению катер идёт 18 км/ч, 36 км за 2 ч; плот за 12 ч проходит 36 км. Во втором случае 30/18 + 20/12 = 10/3 ч, плот за это время проходит 3 · 10/3 = 10 км.
Ответ: 15 км/ч.
Оговорка: в ответах учебника указано 18 км/ч; это скорость катера по течению (15 + 3). Собственная скорость, как показывает проверка, равна 15 км/ч.
1443. Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?
Пусть первая организация купила n билетов по цене 3000/n р. Вторая купила (n − 5) билетов по цене (3000/n − 30) р. и заплатила 1800 р.: (n − 5)(3000/n − 30) = 1800. Раскроем скобки: 3000 − 30n − 15000/n + 150 = 1800, −30n + 1350 − 15000/n = 0. Умножим на −n/30: n² − 45n + 500 = 0, D = 2025 − 2000 = 25, n = (45 ± 5)/2, n = 25 или n = 20.
Если n = 25, вторая купила 20 билетов (цена 120 − 30 = 90 р., 20 · 90 = 1800). Если n = 20, вторая купила 15 билетов (цена 150 − 30 = 120 р., 15 · 120 = 1800).
Ответ: 25 и 20 билетов или 20 и 15 билетов.
Если n = 25, вторая купила 20 билетов (цена 120 − 30 = 90 р., 20 · 90 = 1800). Если n = 20, вторая купила 15 билетов (цена 150 − 30 = 120 р., 15 · 120 = 1800).
Ответ: 25 и 20 билетов или 20 и 15 билетов.