Упражнения 1413–1424 — Упражнения для итогового повторения курса…

ОДЗ в обоих пунктах: x > 0.
1) log_(0,5) x > 0 при 0 < x < 1 и log_(0,5) x < 0 при x > 1. Произведение положительно, если множители одного знака. При 0 < x < 1: x² − 4 < 0, произведение отрицательно. При x > 1: log < 0, нужно x² − 4 < 0, то есть x < 2. Ответ: 1 < x < 2.
2) log₂ x > 0 при x > 1, log₂ x < 0 при 0 < x < 1. Оба множителя положительны: x > 1 и x > 1/3, откуда x > 1. Оба отрицательны: 0 < x < 1 и x < 1/3, откуда 0 < x < 1/3.
Ответ: 1) 1 < x < 2; 2) 0 < x < 1/3, x > 1.

1) ОДЗ: x > 0. 0,1^(−2) = 100. Логарифмируем по основанию 10 и обозначаем t = lg x: (1 + t)t < 2, t² + t − 2 < 0, −2 < t < 1, то есть 1/100 < x < 10.
2) ОДЗ: x > 0. Левая часть равна x^(2 lg x). Логарифмируем: 2t² < 1 + t при t = lg x, 2t² − t − 1 < 0, (2t + 1)(t − 1) < 0, −1/2 < t < 1, то есть 1/√10 < x < 10.
3) Функция log₃ возрастает, 26 + 3^x > 0. Неравенство равносильно 3^(x + 3) > 26 + 3^x, 26 · 3^x > 26, 3^x > 1, x > 0.
4) Неравенство 3 − x < log₅ (20 + 5^x) равносильно 5^(3 − x) < 20 + 5^x. Пусть t = 5^x > 0: 125/t < 20 + t, t² + 20t − 125 > 0, (t + 25)(t − 5) > 0, t > 5, то есть x > 1.
Ответ: 1) 0,01 < x < 10; 2) 1/√10 < x < 10; 3) x > 0; 4) x > 1.

1) cos (−3x) = cos 3x ≥ √3/2. Значит, −π/6 + 2πn ≤ 3x ≤ π/6 + 2πn, откуда −π/18 + 2πn/3 ≤ x ≤ π/18 + 2πn/3, n ∈ Z.
2) cos t < −1/2 при 2π/3 + 2πn < t < 4π/3 + 2πn. Здесь t = 2x − π/3: 2π/3 + 2πn < 2x − π/3 < 4π/3 + 2πn, π + 2πn < 2x < 5π/3 + 2πn, π/2 + πn < x < 5π/6 + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) −π/18 + 2πn/3 ≤ x ≤ π/18 + 2πn/3; 2) π/2 + πn < x < 5π/6 + πn, n ∈ Z.

Строим график функции и горизонтальную прямую, находим абсциссы точек пересечения и выбираем часть графика, лежащую ниже (выше) прямой.
1) Прямая y = 1/4 пересекает синусоиду на [0; 2π] в точках x = arcsin(1/4) и x = π − arcsin(1/4). График ниже прямой при x ∈ [0; arcsin(1/4)) и (π − arcsin(1/4); 2π]. С учётом периода: −π − arcsin(1/4) + 2πn < x < arcsin(1/4) + 2πn, n ∈ Z.
2) Прямая y = −1/4 пересекает синусоиду в точках π + arcsin(1/4) и 2π − arcsin(1/4). График выше прямой при x от −arcsin(1/4) до π + arcsin(1/4): −arcsin(1/4) + 2πn < x < π + arcsin(1/4) + 2πn, n ∈ Z.
3) tg x ≤ 3. На промежутке (−π/2; π/2) тангенс возрастает и равен 3 при x = arctg 3. Решение: −π/2 + πn < x ≤ arctg 3 + πn, n ∈ Z.
4) Прямая y = 1/3 пересекает косинусоиду на [−π; π] в точках ±arccos(1/3). График выше прямой между ними: −arccos(1/3) + 2πn < x < arccos(1/3) + 2πn, n ∈ Z.

1) cos x < √3/2 при π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn. Выбираем n, при которых промежуток пересекает [−3π; π]: n = 0: (π/6; π]; n = −1: (−11π/6; −π/6); n = −2: (−23π/6; −13π/6), в [−3π; π] попадает часть [−3π; −13π/6).
Ответ: [−3π; −13π/6) ∪ (−11π/6; −π/6) ∪ (π/6; π].
2) sin x ≥ −√2/2 при −π/4 + 2πn ≤ x ≤ 5π/4 + 2πn. n = 0: [−π/4; 5π/4], в промежутке [−π/4; π]; n = −1: [−9π/4; −3π/4]; n = −2: [−17π/4; −11π/4], в промежутке [−3π; −11π/4].
Ответ: [−3π; −11π/4] ∪ [−9π/4; −3π/4] ∪ [−π/4; π].
3) tg x ≤ −√3 при −π/2 + πn < x ≤ −π/3 + πn. n = 1: (π/2; 2π/3]; n = 0: (−π/2; −π/3]; n = −1: (−3π/2; −4π/3]; n = −2: (−5π/2; −7π/3]; при n = −3 промежуток (−7π/2; −10π/3] левее −3π.
Ответ: (−5π/2; −7π/3] ∪ (−3π/2; −4π/3] ∪ (−π/2; −π/3] ∪ (π/2; 2π/3].
4) tg x > 2/3 при arctg(2/3) + πn < x < π/2 + πn. n = 0: (arctg(2/3); π/2); n = −1: (arctg(2/3) − π; −π/2); n = −2: (arctg(2/3) − 2π; −3π/2); n = −3: (arctg(2/3) − 3π; −5π/2), левый конец больше −3π; при n = 1 левый конец больше π.
Ответ: (arctg(2/3) − 3π; −5π/2) ∪ (arctg(2/3) − 2π; −3π/2) ∪ (arctg(2/3) − π; −π/2) ∪ (arctg(2/3); π/2).

1) (a² + b²)/2 − ab = (a − b)²/2 ≥ 0, значит ab ≤ (a² + b²)/2; равенство при a = b.
2) Умножим обе части на 8 > 0: нужно доказать 4(a³ + b³) > (a + b)³. Разность 4(a³ + b³) − (a + b)³ = (a + b)(4a² − 4ab + 4b²) − (a + b)(a² + 2ab + b²) = (a + b)(3a² − 6ab + 3b²) = 3(a + b)(a − b)². При a > 0, b > 0, a ≠ b это положительно. Неравенство доказано.

1) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел a + b ≥ 2√(ab) и ab + 1 ≥ 2√(ab). Перемножая (обе части положительны), получаем (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab. Равенство при a = b = 1.
2) a⁴ + 6a²b² + b⁴ − 4ab(a² + b²) = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴ = (a − b)⁴. При a ≠ b это число положительно. Неравенство доказано.

1) Три положительных числа a/b, b/c, c/a имеют произведение (a/b)(b/c)(c/a) = 1. По неравенству о средних (a/b + b/c + c/a)/3 ≥ ∛((a/b)(b/c)(c/a)) = 1, откуда сумма ≥ 3.
2) 2a² + b² + c² − 2ab − 2ac = (a² − 2ab + b²) + (a² − 2ac + c²) = (a − b)² + (a − c)² ≥ 0. Неравенство доказано; равенство при a = b = c.

1) Умножим первое уравнение на 5, второе на 7: 25x − 35y = 15; 42x + 35y = 119. Сложим: 67x = 134, x = 2. Тогда 5y = 17 − 12 = 5, y = 1.
2) Из второго уравнения x = −1 − 2y. Подставим в первое: 2(−1 − 2y) − y − 13 = 0, −5y = 15, y = −3, x = −1 + 6 = 5.
Ответ: 1. (2; 1); 2. (5; −3).

1) Умножим первое уравнение на 10: 2(x − y) − 5(x + y) = 100, то есть −3x − 7y = 100. Второе умножим на 10: 2x + 5y = 100. Из второго x = (100 − 5y)/2; подставим: −3(100 − 5y)/2 − 7y = 100, −300 + 15y − 14y = 200, y = 500, x = (100 − 2500)/2 = −1200.
2) Сложим уравнения: (x + y)/2 + (x + y)/4 = 6, откуда 3(x + y)/4 = 6, x + y = 8. Из второго: 8/4 = (x − y)/3, x − y = 6. Значит, x = 7, y = 1.
Ответ: 1. (−1200; 500); 2. (7; 1).

1) Подставим x² = y + 5 во второе уравнение: y + 5 + y² = 25, y² + y − 20 = 0, y = 4 или y = −5. При y = 4: x² = 9, x = ±3. При y = −5: x² = 0, x = 0.
2) Из второго x = 4y (y ≠ 0). Тогда 4y² = 16, y = ±2, x = ±8 (знаки одинаковые).
3) Подставим x = 2y: 4y² + 2y² = 96, y² = 16, y = ±4, x = ±8.
Ответ: 1. (3; 4), (−3; 4), (0; −5); 2. (8; 2), (−8; −2); 3. (8; 4), (−8; −4).

1) x² − y² = (x − y)(x + y) = 13 и x − y = 1, поэтому x + y = 13. Отсюда x = 7, y = 6.
2) Сложим уравнения: x² + 7x = 18, x² + 7x − 18 = 0, x = 2 или x = −9. При x = 2: 3y = 23 − 14 = 9, y = 3. При x = −9: 3y = 23 + 63 = 86, y = 86/3 = 28 2/3.
Ответ: 1. (7; 6); 2. (2; 3), (−9; 28 2/3).