Упражнения 1425–1433 — Упражнения для итогового повторения курса…

1) Пусть t = x/y (x ≠ 0, y ≠ 0). Тогда t − 1/t = 3/2, 2t² − 3t − 2 = 0, t = 2 или t = −1/2. При t = 2: x = 2y, 5y² = 20, y = ±2, получаем (4; 2), (−4; −2). При t = −1/2: y = −2x, 5x² = 20, x = ±2, получаем (2; −4), (−2; 4).
2) Пусть t = x/y. Тогда 1/t + t = 10/3, 3t² − 10t + 3 = 0, t = 3 или t = 1/3. При t = 3: x = 3y, 8y² = 8, y = ±1, получаем (3; 1), (−3; −1). При t = 1/3: y = 3x, x² − 9x² = 8 — решений нет.
3) Вычтем второе уравнение из первого: x² − y² = 9x − 9y, (x − y)(x + y − 9) = 0. Если y = x: x² = 17x, x = 0 или x = 17: (0; 0), (17; 17). Если y = 9 − x: x² = 13x + 36 − 4x, x² − 9x − 36 = 0, x = 12 или x = −3: (12; −3), (−3; 12).
4) Вычтем: x² − 7x = −12, x² − 7x + 12 = 0, x = 3 или x = 4. При x = 3: y² = 40 − 27 + 12 = 25, y = ±5. При x = 4: y² = 40 − 48 + 16 = 8, y = ±2√2.
Ответ: 1. (4; 2), (−4; −2), (2; −4), (−2; 4); 2. (3; 1), (−3; −1); 3. (0; 0), (17; 17), (12; −3), (−3; 12); 4. (3; 5), (3; −5), (4; 2√2), (4; −2√2).

1) x + y = 5 и 3y − x = 3. Сложим: 4y = 8, y = 2, x = 3.
2) Пусть u = 3^(x/2) > 0, v = 2^y > 0. Тогда u² − v² = 77, u − v = 7. Делим: u + v = 11, значит u = 9, v = 2. Отсюда 3^(x/2) = 9, x = 4; 2^y = 2, y = 1.
3) Из второго уравнения y − x = (√2)⁴ = 4, y = x + 4. Тогда 3^x · 2^(x + 4) = 576, 16 · 6^x = 576, 6^x = 36, x = 2, y = 6.
4) ОДЗ: x > 0, y > 0. Пусть a = lg x, b = lg y. Тогда a + b = 4, ab = 3 (так как x^(lg y) = 1000 даёт lg y · lg x = 3). По теореме Виета a, b — корни t² − 4t + 3 = 0: 1 и 3. Значит, (x; y) = (10; 1000) или (1000; 10).
Ответ: 1. (3; 2); 2. (4; 1); 3. (2; 6); 4. (10; 1000), (1000; 10).

1) ОДЗ: x > 0, y > 0. log₄ x = (1/2) log₂ x, поэтому (1/2) log₂ x = log₂ y, y = √x. Подставим: x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Получаем (1; 1) и (4; 2).
2) ОДЗ: x > 0, y > 0. Второе уравнение: log₂ (x y²) = 3, x y² = 8. Пусть s = y² > 0: x² + s² = 16, xs = 8. Тогда (x − s)² = 16 − 16 = 0, x = s, x² = 8, x = √8 = 2√2, y² = √8, y = ⁴√8 (корень 4-й степени из 8).
Ответ: 1. (1; 1), (4; 2); 2. (√8; ⁴√8).

1) Сложим: 2√x = 18, √x = 9, x = 81; вычтем: 2√y = 14, √y = 7, y = 49.
2) Сложим: 2√x = 20, √x = 10, x = 100; вычтем: 2√y = 18, √y = 9, y = 81.
Ответ: 1. (81; 49); 2. (100; 81).

1) Из первого уравнения x + y − 1 = 1, x = 2 − y. Второе уравнение при 2y − 2 ≥ 0, то есть y ≥ 1: x − y + 2 = (2y − 2)², 4 − 2y = 4y² − 8y + 4, 4y² − 6y = 0, y = 0 или y = 3/2. Условию y ≥ 1 удовлетворяет y = 3/2, тогда x = 1/2. Проверка: √(1/2 − 3/2 + 2) = 1 = 2 · 3/2 − 2.
2) Из первого x + 3y + 1 = 4, x = 3 − 3y. Второе при 7y − 6 ≥ 0: 2x − y + 2 = 8 − 7y = (7y − 6)², 49y² − 84y + 36 = 8 − 7y, 49y² − 77y + 28 = 0, 7y² − 11y + 4 = 0, y = 1 или y = 4/7. Условию y ≥ 6/7 удовлетворяет y = 1, x = 0. Проверка: √(2·0 − 1 + 2) = 1 = 7 − 6.
Ответ: 1. (1/2; 3/2); 2. (0; 1).

1) Пусть a = sin x, b = cos y. Тогда a + b = 1, a² + 2ab = 3/4. Подставим b = 1 − a: a² + 2a − 2a² = 3/4, a² − 2a + 3/4 = 0, a = 1/2 или a = 3/2. Второй корень не подходит (|sin x| ≤ 1). Значит, sin x = 1/2, cos y = 1/2.
Ответ: x = (−1)^k π/6 + πk, y = ±π/3 + 2πn, k ∈ Z, n ∈ Z.
2) Пусть a = sin x, b = sin y. Тогда a + b = 1/2 и (1 − a²) + 2ab + 4(1 − b²) = 4, то есть a² − 2ab + 4b² = 1. Подставим a = 1/2 − b: 1/4 − b + b² − b + 2b² + 4b² = 1, 7b² − 2b − 3/4 = 0, 28b² − 8b − 3 = 0, b = 1/2 или b = −3/14.
Если b = 1/2, то a = 0: sin x = 0, sin y = 1/2. Если b = −3/14, то a = 5/7: sin x = 5/7, sin y = −3/14.
Ответ: (πn; (−1)^m π/6 + πm) и ((−1)^n arcsin(5/7) + πn; (−1)^(m + 1) arcsin(3/14) + πm), где n ∈ Z, m ∈ Z.

1) Из первого уравнения cos y ≠ 0 и sin x ≠ 0. Второе уравнение (sin x cos y)/(cos x sin y) = 1 (cos x ≠ 0, sin y ≠ 0) равносильно sin x cos y = cos x sin y = −1/2. Тогда sin(x + y) = −1/2 − 1/2 = −1, sin(x − y) = −1/2 + 1/2 = 0. Отсюда x + y = −π/2 + 2πk, x − y = πn. Все тождества обратимы, и условия на область определения выполнены, так как sin x cos y и cos x sin y отличны от нуля.
Ответ: x = −π/4 + πk + πn/2, y = −π/4 + πk − πn/2, k ∈ Z, n ∈ Z.
2) Второе уравнение 3 sin x / cos x = cos y / sin y даёт 3 sin x sin y = cos x cos y, откуда cos x cos y = 3/4 (cos x ≠ 0, sin y ≠ 0). Тогда cos(x − y) = 3/4 + 1/4 = 1, cos(x + y) = 3/4 − 1/4 = 1/2. Значит, x − y = 2πn, x + y = ±π/3 + 2πk.
Ответ: x = ±π/6 + π(k + n), y = ±π/6 + π(k − n), где знаки в обеих формулах одинаковы, k ∈ Z, n ∈ Z.

Первое неравенство умножим на 6: 3(2x − 3) − 2(3x + 5) − x < 18 − 3(x + 4), −x − 19 < 6 − 3x, 2x < 25, x < 12,5.
Второе умножим на 6: 6 − 2(2x − 8) + 3(4 − 3x) < 12x − 2(x + 2), 34 − 13x < 10x − 4, 38 < 23x, x > 38/23 ≈ 1,65.
Итак 38/23 < x < 12,5. Наименьшее целое решение 2, наибольшее 12.
Ответ: 2 и 12.

Первое неравенство умножим на 60: 12(x + 1) − 15(x + 2) < 20(x − 3) + 30(x − 4), −3x − 18 < 50x − 180, 162 < 53x, x > 162/53 ≈ 3,06.
Второе умножим на 15: 5(x − 2) > 15 + x − 5, 4x > 20, x > 5.
Оба условия выполняются при x > 5.
Ответ: x > 5.