Упражнения 1399–1412 — Упражнения для итогового повторения курса…

Знаменатель −7 − x² < 0 при всех x (так как x² ≥ 0), поэтому дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель отрицателен: x² − x − 6 < 0.
Корни x² − x − 6 = 0: x = −2 и x = 3, откуда (x + 2)(x − 3) < 0, то есть −2 < x < 3.
Наименьшее целое значение x в этом промежутке равно −1.
Ответ: −1.

1) Неравенство равносильно системе −x < 2x − 3 < x (при этом x > 0): из 2x − 3 < x получаем x < 3, из 2x − 3 > −x получаем x > 1. Ответ: 1 < x < 3.
2) При x < 0 неравенство верно, так как |4 − x| > 0 > x. При x ≥ 0: либо 4 − x > x, то есть x < 2, либо 4 − x < −x (невозможно). Значит, 0 ≤ x < 2. Объединяя, получаем x < 2. Ответ: (−∞; 2).
3) −6 ≤ x² − 7x + 12 ≤ 6. Левое неравенство x² − 7x + 18 ≥ 0 верно всегда (D = 49 − 72 < 0). Правое: x² − 7x + 6 ≤ 0, откуда 1 ≤ x ≤ 6. Ответ: [1; 6].
4) Либо x² − 3x − 4 > 6, то есть x² − 3x − 10 > 0, (x − 5)(x + 2) > 0, x < −2 или x > 5; либо x² − 3x − 4 < −6, то есть x² − 3x + 2 < 0, 1 < x < 2. Ответ: x < −2, 1 < x < 2, x > 5.
5) Либо 2x² − x − 1 ≥ 5, то есть 2x² − x − 6 ≥ 0, (2x + 3)(x − 2) ≥ 0, x ≤ −1,5 или x ≥ 2; либо 2x² − x − 1 ≤ −5, то есть 2x² − x + 4 ≤ 0 — решений нет (D = 1 − 32 < 0). Ответ: x ≤ −1,5, x ≥ 2.
6) −2 < 3x² − x − 4 < 2. Левое: 3x² − x − 2 > 0, (3x + 2)(x − 1) > 0, x < −2/3 или x > 1. Правое: 3x² − x − 6 < 0, корни (1 ± √73)/6, значит (1 − √73)/6 < x < (1 + √73)/6. Пересечение: (1 − √73)/6 < x < −2/3 и 1 < x < (1 + √73)/6.
Ответ: (1 − √73)/6 < x < −2/3, 1 < x < (1 + √73)/6.

1) Основание 2,5 > 1, знак сохраняется: 1 − x > −3x, 2x > −1, x > −0,5.
2) Основание 0,13 < 1, знак меняется: x − 4 ≤ 2 − x, 2x ≤ 6, x ≤ 3.
3) (3/4)^(x − 1) = (4/3)^(1 − x). Основание 4/3 > 1: 2x ≤ 1 − x, 3x ≤ 1, x ≤ 1/3.
4) √3 = 3^(1/2). Основание 3 > 1: −4x > 1/2, x < −1/8.
Ответ: 1) x > −0,5; 2) x ≤ 3; 3) x ≤ 1/3; 4) x < −1/8.

1) 1/4 = 2^(−2); основание 2 > 1: −x + 5 < −2, откуда x > 7.
2) 1/27 = (1/3)³; основание 1/3 < 1, знак меняется: |x − 2| < 3, откуда −3 < x − 2 < 3, то есть −1 < x < 5.
Ответ: 1) x > 7; 2) −1 < x < 5.

1) 5√5 = 5^(3/2). Основание 5 > 1: x² + 3x + 3/2 < 3/2, x² + 3x < 0, x(x + 3) < 0, −3 < x < 0.
2) 1 = 0,2⁰; основание меньше 1: x² − 6x + 7 ≤ 0. Корни x = 3 ± √2. Значит, 3 − √2 ≤ x ≤ 3 + √2.
Ответ: 1) −3 < x < 0; 2) 3 − √2 ≤ x ≤ 3 + √2.

1) 9^(x − 1/2) = 3^(2x − 1), поэтому левая часть равна 3^(x + 1 + 2x − 1) = 3^(3x); ∛3 = 3^(1/3). Основание 3 > 1: 3x ≥ 1/3, x ≥ 1/9.
2) Вынесем 3^(x − 1): 3^(x − 1)(9 + 1) < 10, откуда 3^(x − 1) < 1 = 3⁰, x − 1 < 0, x < 1.
Ответ: 1) x ≥ 1/9; 2) x < 1.

1) 4^(x − 1) = 2^(2x − 2); 8^((2/3)x) = 2^(2x). Получаем 2^(2x)(1 − 1/4 + 1/16) > 52, то есть 2^(2x) · 13/16 > 52, 2^(2x) > 64 = 2⁶, 2x > 6, x > 3.
2) Перенесём слагаемые: 5^(x − 2) − 5^(x + 1) > 2^(x + 4) + 2^(x + 3) − 2^(x + 2). Слева 5^(x − 2)(1 − 125) = −124 · 5^(x − 2) < 0, справа 2^(x + 2)(4 + 2 − 1) = 5 · 2^(x + 2) > 0. Отрицательное число не может быть больше положительного, решений нет.
Ответ: 1) x > 3; 2) решений нет.

1) 1 = 3,3⁰, основание больше 1: x² + 6x < 0, −6 < x < 0.
2) 1/2 = (1/4)^(1/2); основание меньше 1: x − x² < 1/2, x² − x + 1/2 > 0. Дискриминант 1 − 2 < 0, поэтому неравенство верно при всех x. Ответ: x ∈ R.
3) Основание 8,4 > 1: (x − 3)/(x² + 6x + 11) < 0. Знаменатель положителен (D = 36 − 44 < 0), значит x − 3 < 0, x < 3.
4) Пусть t = 4^x > 0. Тогда 2^(2x + 1) = 2t, (1/2)^(2x + 3) = 1/(8t). Неравенство: 2t − 21/(8t) + 2 ≥ 0. Умножим на 8t > 0: 16t² + 16t − 21 ≥ 0, корни t = 3/4 и t = −7/4, откуда t ≥ 3/4. Итак 4^x ≥ 3/4, x ≥ log₄ (3/4) = log₄ 3 − 1.
5) Пусть t = 3^(3x) > 0. Тогда 3^(4 − 3x) = 81/t, (1/3)^(2 − 3x) = 3^(3x − 2) = t/9. Неравенство: 81/t − 35t/9 + 6 ≥ 0. Умножим на 9t: 729 − 35t² + 54t ≥ 0, то есть 35t² − 54t − 729 ≤ 0; корни t = 27/5 и t = −27/7, значит 0 < t ≤ 27/5. Тогда 3^(3x) ≤ 27/5, 3x ≤ 3 − log₃ 5, x ≤ 1 − (1/3) log₃ 5.
Ответ: 1) −6 < x < 0; 2) x ∈ R; 3) x < 3; 4) x ≥ log₄ 3 − 1; 5) x ≤ 1 − (1/3) log₃ 5.

1) 1/9 = 3^(−2); основание 3 > 1, поэтому log₂ ((x − 1)/(x + 2)) < −2 при условии (x − 1)/(x + 2) > 0, то есть x < −2 или x > 1. Тогда 0 < (x − 1)/(x + 2) < 1/4. При x > 1 знаменатель положителен: 4x − 4 < x + 2, x < 2. При x < −2 знаменатель отрицателен: 4(x − 1) > x + 2, x > 2 — противоречие. Ответ: 1 < x < 2.
2) 1/5 = 5^(−1); основание 5 > 1: log₂ (x² − 4x + 3,5) > −1, x² − 4x + 3,5 > 1/2 (это условие включает и положительность аргумента). Отсюда x² − 4x + 3 > 0, (x − 1)(x − 3) > 0, x < 1 или x > 3.
Ответ: 1) 1 < x < 2; 2) x < 1, x > 3.

1) Основание 6 > 1: система 2 − x > 0, 2x + 5 > 0, 2 − x < 2x + 5. Из неё x < 2, x > −2,5, x > −1. Ответ: −1 < x < 2.
2) −1 = log_(1/3) 3; основание меньше 1: 0 < x² − 2 ≤ 3, то есть 2 < x² ≤ 5. Значит, √2 < |x| ≤ √5.
Ответ: 1) −1 < x < 2; 2) −√5 ≤ x < −√2, √2 < x ≤ √5.

1) ОДЗ: lg x ≥ 0, то есть x ≥ 1. Возведём в квадрат: lg x < 1/4, x < 10^(1/4). Ответ: 1 ≤ x < ⁴√10 (корень 4-й степени из 10).
2) ОДЗ: x > 0 и 2x + 6 > 0, то есть x > 0. 2 = log_(1/2) (1/4), поэтому правая часть равна log_(1/2) ((2x + 6)/4). Основание меньше 1: x > (2x + 6)/4, 4x > 2x + 6, x > 3. Это удовлетворяет ОДЗ. Ответ: x > 3.

1) −1 = log_(0,5) 2; основание меньше 1: 0 < 1 + 2x < 2, откуда −1/2 < x < 1/2.
2) −1 = log₃ (1/3); основание больше 1: 0 < 1 − 2x < 1/3, откуда 1/3 < x < 1/2.
Ответ: 1) −0,5 < x < 0,5; 2) 1/3 < x < 1/2.

1) Основание меньше 1: 0 < x² − 5x + 6 < 2. Условие x² − 5x + 6 > 0 даёт x < 2 или x > 3. Условие x² − 5x + 4 < 0 даёт 1 < x < 4. Пересечение: 1 < x < 2 или 3 < x < 4.
2) Основание больше 1: 0 < x² − 4x + 3 ≤ 8. Условие x² − 4x + 3 > 0 даёт x < 1 или x > 3. Условие x² − 4x − 5 ≤ 0 даёт −1 ≤ x ≤ 5. Пересечение: −1 ≤ x < 1 или 3 < x ≤ 5.
Ответ: 1) 1 < x < 2, 3 < x < 4; 2) −1 ≤ x < 1, 3 < x ≤ 5.

1) Пусть u = log_(1/2) ((3x + 1)/(x − 1)). Нужно: u > 0 и log_(1/2) u ≤ 0, то есть u ≥ 1. Значит, log_(1/2) ((3x + 1)/(x − 1)) ≥ 1, откуда 0 < (3x + 1)/(x − 1) ≤ 1/2.
Условие (3x + 1)/(x − 1) > 0: x < −1/3 или x > 1.
Условие (3x + 1)/(x − 1) − 1/2 ≤ 0: (5x + 3)/(2(x − 1)) ≤ 0, −3/5 ≤ x < 1.
Пересечение: −3/5 ≤ x < −1/3.
2) Основание 1/3 < 1: 0 < log₄ (x² − 5) < 1, то есть 1 < x² − 5 < 4, 6 < x² < 9. Значит, √6 < |x| < 3.
Ответ: 1) −3/5 ≤ x < −1/3; 2) −3 < x < −√6, √6 < x < 3.