Упражнения 1385–1398 — Упражнения для итогового повторения курса…

1) ОДЗ: cos x ≠ 0, cos 2x ≠ 0. Пусть t = tg x: 2t/(1 − t²) = 3t; t (2 − 3(1 − t²)) = 0; t = 0 или t² = 1/3. tg x = 0: x = πn. tg x = ±1/√3: x = ±π/6 + πn. Все значения входят в ОДЗ.
2) ОДЗ: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0 (sin 2x ≠ 0). (cos² x − sin² x)/(2 sin x cos x) = 2 cos x/sin x; cos² x − sin² x = 4 cos² x; −sin² x = 3 cos² x. Левая часть ≤ 0, правая ≥ 0, равенство возможно только при sin x = cos x = 0, что невозможно. Корней нет.
3) tg (x − π/4) = −ctg (x + π/4) (так как углы отличаются на π/2). Пусть u = tg (x + π/4): u − 1/u = 2; u² − 2u − 1 = 0; u = 1 ± √2. tg (3π/8) = 1 + √2, tg (−π/8) = 1 − √2. Тогда x + π/4 = 3π/8 + πn, x = π/8 + πn; либо x + π/4 = −π/8 + πn, x = −3π/8 + πn. Эти две серии объединяются: x = π/8 + πn/2.
4) ОДЗ: cos (2x + 1) ≠ 0, sin (x + 1) ≠ 0. Равенство tg (2x + 1) ctg (x + 1) = 1 в ОДЗ равносильно sin (2x + 1) cos (x + 1) = cos (2x + 1) sin (x + 1) (при cos (x + 1) = 0 левая часть равнялась бы 0 ≠ 1, так что такие x не решения). Отсюда sin ((2x + 1) − (x + 1)) = sin x = 0; x = πn. Проверка ОДЗ: cos (2πn + 1) = cos 1 ≠ 0, sin (πn + 1) = ±sin 1 ≠ 0. Подходят все x = πn.
Ответ: 1) πn; ±π/6 + πn; 2) корней нет; 3) π/8 + πn/2; 4) πn; n ∈ Z.

Строим в одной системе координат графики левой и правой частей и находим абсциссы точек пересечения (приближённо, затем уточняем вычислением).
1) y = cos x на [−1; 2] и прямая y = 3x − 1 (проходит через (0; −1) и (1; 2)). Прямая возрастает, косинус при x > 0 убывает — одна точка пересечения. x ≈ 0,61.
2) y = sin x и y = 0,5x³ (кубическая парабола). Обе функции нечётные, поэтому корни расположены симметрично относительно нуля. x = 0 — корень (sin 0 = 0 = 0,5 · 0). Кроме того, графики пересекаются в точках x ≈ −1,24 и x ≈ 1,24.
3) y = cos x и y = √x (x ≥ 0). Функция √x возрастает, cos x при x ≥ 0 убывает от 1 — одна точка пересечения. x ≈ 0,64.
4) y = cos x и y = x². Обе функции чётные, поэтому корни симметричны: x ≈ −0,82 и x ≈ 0,82.
Ответ: 1) ≈ 0,61; 2) ≈ −1,24; 0; ≈ 1,24; 3) ≈ 0,64; 4) ≈ ±0,82.
Оговорка: значения корней приближённые.

1) x + 3x > 4 − 8; 4x > −4; x > −1.
2) 3x + 1 − 6 − 2x < 4x + 1; x − 5 < 4x + 1; −6 < 3x; x > −2.
Ответ: 1) x > −1; 2) x > −2.

1) Умножим на 24: 3(4 − 3x) − 2(5 − 2x) < 48; 12 − 9x − 10 + 4x < 48; 2 − 5x < 48; −5x < 46; x > −9,2.
2) Умножим на 42: 7(5x − 7) − 6(x + 2) ≥ 84; 35x − 49 − 6x − 12 ≥ 84; 29x ≥ 145; x ≥ 5.
Ответ: 1) x > −9,2; 2) x ≥ 5.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака; решаем методом интервалов.
1) Нули: x = 4/5, x = −5/7. Знаки: «+» при x > 4/5, «−» на (−5/7; 4/5), «+» при x < −5/7. Решение: x < −5/7 или x > 4/5.
2) (3x + 10)/(40 − x) > 0 ⇔ (3x + 10)/(x − 40) < 0. Нули −10/3 и 40. Решение: −10/3 < x < 40.
3) (x + 2)/(5 − 4x) > 0 ⇔ (x + 2)/(4x − 5) < 0. Нули −2 и 5/4. Решение: −2 < x < 5/4.
4) (8 − x)/(6 + 3x) > 0 ⇔ (x − 8)/(x + 2) < 0. Решение: −2 < x < 8.
Ответ: 1) x < −5/7, x > 4/5; 2) −10/3 < x < 40; 3) −2 < x < 5/4; 4) −2 < x < 8.

1) (3 − 2x)/(3x − 2) < 0 ⇔ (2x − 3)/(3x − 2) > 0. Нули 3/2 и 2/3. Решение: x < 2/3 или x > 3/2.
2) (10 − 4x)/(9x + 2) < 0 ⇔ (4x − 10)/(9x + 2) > 0. Нули 5/2 и −2/9. Решение: x < −2/9 или x > 5/2.
3) Знаменатель −4x² − 1 < 0 при всех x. Дробь отрицательна, когда числитель положителен: 18 − 7x > 0; x < 18/7 = 2 4/7.
Ответ: 1) x < 2/3, x > 3/2; 2) x < −2/9, x > 5/2; 3) x < 18/7.

1) (5x + 4)/(x − 3) − 4 < 0; (5x + 4 − 4x + 12)/(x − 3) < 0; (x + 16)/(x − 3) < 0; −16 < x < 3.
2) 2/(x − 4) − 1 < 0; (2 − x + 4)/(x − 4) < 0; (6 − x)/(x − 4) < 0; (x − 6)/(x − 4) > 0; x < 4 или x > 6.
3) 2/(x + 3) − 4 ≤ 0; (2 − 4x − 12)/(x + 3) ≤ 0; (−4x − 10)/(x + 3) ≤ 0; (2x + 5)/(x + 3) ≥ 0. Нули −5/2 (закрытый) и −3 (открытый). Решение: x < −3 или x ≥ −2,5.
Ответ: 1) −16 < x < 3; 2) x < 4, x > 6; 3) x < −3, x ≥ −2,5.

1) 8x² − 2x − 1 = 0: D/4 = 1 + 8 = 9; x = (1 ± 3)/8: x = 1/2 или x = −1/4. Ветви параболы вверх, значит < 0 между корнями: −1/4 < x < 1/2.
2) x(5x + 7) ≤ 0; корни 0 и −7/5. Решение: −7/5 ≤ x ≤ 0, то есть −1,4 ≤ x ≤ 0.
Ответ: 1) −1/4 < x < 1/2; 2) −1,4 ≤ x ≤ 0.

1) Нули числителя ±3, знаменателя ±2 (оба не входят). Методом интервалов (знаки справа налево: «+», «−», «+», «−», «+» по точкам 3, 2, −2, −3): дробь отрицательна на (−3; −2) и (2; 3). Равносильно: 4 < x² < 9.
2) 2x² + 3 > 0 при всех x; неравенство равносильно (x + 4)³ > 0, то есть x + 4 > 0; x > −4.
Ответ: 1) −3 < x < −2, 2 < x < 3; 2) x > −4.

1) x² + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2); 3(x − 5)/((x + 7)(x − 2)) ≥ 0. Точки: −7, 2 (выколоты), 5 (закрыта). Знаки: при x > 5 «+», на (2; 5. «−», на (−7; 2. «+», при x < −7 «−». Решение: −7 < x < 2 или x ≥ 5.
2) x² + 4x + 2 = 0: x = −2 ± √2. Точки: −2 − √2 ≈ −3,41, −2 + √2 ≈ −0,59, 1 (все выколоты). Знаки: при x > 1 «+», на (−2 + √2; 1. «−», на (−2 − √2; −2 + √2) «+», при x < −2 − √2 «−». Решение: x < −2 − √2 или −2 + √2 < x < 1.
3) (x + 4)(x − 2)/((x − 3)(x + 1)) > 0. Точки: −4, −1, 2, 3 (выколоты). Знаки: при x > 3 «+», на (2; 3. «−», на (−1; 2. «+», на (−4; −1) «−», при x < −4 «+». Решение: x < −4, −1 < x < 2, x > 3.
Ответ: 1) −7 < x < 2, x ≥ 5; 2) x < −2 − √2, −2 + √2 < x < 1; 3) x < −4, −1 < x < 2, x > 3.

Логарифм не имеет смысла, когда выражение под знаком логарифма неположительно: x² + 8x + 15 ≤ 0. Корни: x = −3 и x = −5 (так как (x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15). Парабола ветвями вверх, поэтому −5 ≤ x ≤ −3.
Ответ: −5 ≤ x ≤ −3.

Нужно: m − 1 ≠ 0 (уравнение квадратное) и D > 0. D/4 = (m + 1)² − (m − 1)(m − 3) = m² + 2m + 1 − m² + 4m − 3 = 6m − 2. 6m − 2 > 0 при m > 1/3. Значит, m > 1/3 и m ≠ 1. Наименьшее целое такое m: m = 1 исключено (уравнение становится линейным −4x − 2 = 0 и имеет один корень), следующее целое — 2.
Проверка при m = 2: x² − 6x − 1 = 0, D/4 = 9 + 1 = 10 > 0.
Ответ: m = 2.

Если m = 7, уравнение принимает вид 3 = 0 и не имеет решений (оно не является квадратным).
Если m ≠ 7, нет корней при D < 0: D/4 = (m − 7)² − 3(m − 7) = (m − 7)(m − 10) < 0; 7 < m < 10. Целые значения: m = 8, m = 9.
Ответ: m = 8, m = 9 (и формально m = 7, при котором уравнение вырождается в 3 = 0).
Оговорка: если требуется именно квадратное уравнение, то ответ m = 8, m = 9.

Числитель (1/2)x² + 3 > 0 при всех x. Дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен: x² − 9x + 14 < 0; (x − 2)(x − 7) < 0; 2 < x < 7. Наибольшее целое x в этом промежутке равно 6.
Ответ: x = 6.