Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения — с. 410
1350.
1. (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0;
2) (log₃ x)² + 5 = 2 log₃ x³.
2) (log₃ x)² + 5 = 2 log₃ x³.
ОДЗ: x > 0.
1) Пусть y = log₂ x: y² − 3y + 2 = 0; y = 1 или y = 2; x = 2 или x = 4.
2) log₃ x³ = 3 log₃ x. Пусть y = log₃ x: y² + 5 = 6y; y² − 6y + 5 = 0; y = 1 или y = 5; x = 3 или x = 243.
Ответ: 1) 2; 4; 2) 3; 243.
1) Пусть y = log₂ x: y² − 3y + 2 = 0; y = 1 или y = 2; x = 2 или x = 4.
2) log₃ x³ = 3 log₃ x. Пусть y = log₃ x: y² + 5 = 6y; y² − 6y + 5 = 0; y = 1 или y = 5; x = 3 или x = 243.
Ответ: 1) 2; 4; 2) 3; 243.
1351. 1) ln (2/(x + 1)) = ln (x + 2);
2) log₃ √(3x − 6) − log₃ √(x − 3) = 1.
2) log₃ √(3x − 6) − log₃ √(x − 3) = 1.
1) ОДЗ: 2/(x + 1) > 0 и x + 2 > 0, то есть x > −1. Тогда 2/(x + 1) = x + 2; 2 = (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2; x² + 3x = 0; x = 0 или x = −3. Корень −3 не входит в ОДЗ.
2) ОДЗ: 3x − 6 > 0 и x − 3 > 0, то есть x > 3. Уравнение: log₃ √((3x − 6)/(x − 3)) = 1; √((3x − 6)/(x − 3)) = 3; 3x − 6 = 9(x − 3); 21 = 6x; x = 3,5 (входит в ОДЗ).
Ответ: 1) 0; 2) 3,5.
2) ОДЗ: 3x − 6 > 0 и x − 3 > 0, то есть x > 3. Уравнение: log₃ √((3x − 6)/(x − 3)) = 1; √((3x − 6)/(x − 3)) = 3; 3x − 6 = 9(x − 3); 21 = 6x; x = 3,5 (входит в ОДЗ).
Ответ: 1) 0; 2) 3,5.
1352. 1) lg (1/2 + x) = lg (1/2) − lg x;
2) 2 lg x = −lg (1/(6 − x²)).
2) 2 lg x = −lg (1/(6 − x²)).
1) ОДЗ: x > 0. Правая часть: lg (1/(2x)). Тогда 1/2 + x = 1/(2x); x + 2x² = 1; 2x² + x − 1 = 0; x = 1/2 или x = −1 (не входит в ОДЗ).
2) ОДЗ: x > 0, 6 − x² > 0. Правая часть: −lg (1/(6 − x²)) = lg (6 − x²). Тогда lg x² = lg (6 − x²); x² = 6 − x²; x² = 3; x = √3 (x = −√3 не входит в ОДЗ).
Ответ: 1) 1/2; 2) √3.
2) ОДЗ: x > 0, 6 − x² > 0. Правая часть: −lg (1/(6 − x²)) = lg (6 − x²). Тогда lg x² = lg (6 − x²); x² = 6 − x²; x² = 3; x = √3 (x = −√3 не входит в ОДЗ).
Ответ: 1) 1/2; 2) √3.
1353. 1) log₂ (2x − 18) + log₂ (x − 9) = 5;
2) lg (x² + 19) − lg (x + 1) = 1.
2) lg (x² + 19) − lg (x + 1) = 1.
1) ОДЗ: x > 9. log₂ ((2x − 18)(x − 9)) = 5; 2(x − 9)² = 32; (x − 9)² = 16; x − 9 = ±4; x = 13 (x = 5 не входит в ОДЗ).
2) ОДЗ: x > −1. lg ((x² + 19)/(x + 1)) = 1; x² + 19 = 10x + 10; x² − 10x + 9 = 0; x = 1 или x = 9. Оба в ОДЗ.
Ответ: 1) 13; 2) 1; 9.
2) ОДЗ: x > −1. lg ((x² + 19)/(x + 1)) = 1; x² + 19 = 10x + 10; x² − 10x + 9 = 0; x = 1 или x = 9. Оба в ОДЗ.
Ответ: 1) 13; 2) 1; 9.
1354. 1) 5^(log₃ x²) − 6 · 5^(log₃ x) + 5 = 0;
2) 25^(log₃ x) − 4 · 5^(log₃ x + 1) = 125.
2) 25^(log₃ x) − 4 · 5^(log₃ x + 1) = 125.
ОДЗ: x > 0. Пусть t = 5^(log₃ x) > 0.
1) log₃ x² = 2 log₃ x, поэтому 5^(log₃ x²) = t². Уравнение t² − 6t + 5 = 0; t = 1 или t = 5. t = 1: log₃ x = 0, x = 1. t = 5: log₃ x = 1, x = 3.
2) 25^(log₃ x) = t², 5^(log₃ x + 1) = 5t. t² − 20t − 125 = 0; t = 25 или t = −5 (не подходит). 5^(log₃ x) = 25; log₃ x = 2; x = 9.
Ответ: 1) 1; 3; 2) 9.
1) log₃ x² = 2 log₃ x, поэтому 5^(log₃ x²) = t². Уравнение t² − 6t + 5 = 0; t = 1 или t = 5. t = 1: log₃ x = 0, x = 1. t = 5: log₃ x = 1, x = 3.
2) 25^(log₃ x) = t², 5^(log₃ x + 1) = 5t. t² − 20t − 125 = 0; t = 25 или t = −5 (не подходит). 5^(log₃ x) = 25; log₃ x = 2; x = 9.
Ответ: 1) 1; 3; 2) 9.
1355. 1) x^(lg x) = 10;
2) x^(log₃ x) = 9x;
3) x^(lg x) − 1 = 10(1 − x^(−lg x));
4) x^(√x) = √(x^x).
2) x^(log₃ x) = 9x;
3) x^(lg x) − 1 = 10(1 − x^(−lg x));
4) x^(√x) = √(x^x).
ОДЗ: x > 0.
1) Логарифмируем по основанию 10: lg² x = 1; lg x = ±1; x = 10 или x = 1/10.
2) Логарифмируем по основанию 3: log₃² x = 2 + log₃ x. Пусть y = log₃ x: y² − y − 2 = 0; y = 2 или y = −1; x = 9 или x = 1/3.
3) Пусть t = x^(lg x) > 0. t − 1 = 10(1 − 1/t) = 10(t − 1)/t; (t − 1)(1 − 10/t) = 0; t = 1 или t = 10. t = 1: lg² x = 0, x = 1. t = 10: по п. 1 x = 10 или x = 1/10.
4) √(x^x) = x^(x/2). Уравнение x^(√x) = x^(x/2). Если x = 1, равенство верно. Если x ≠ 1: √x = x/2; √x (2 − √x) = 0; √x = 2; x = 4.
Ответ: 1) 10; 1/10; 2) 9; 1/3; 3) 1; 10; 1/10; 4) 1; 4.
1) Логарифмируем по основанию 10: lg² x = 1; lg x = ±1; x = 10 или x = 1/10.
2) Логарифмируем по основанию 3: log₃² x = 2 + log₃ x. Пусть y = log₃ x: y² − y − 2 = 0; y = 2 или y = −1; x = 9 или x = 1/3.
3) Пусть t = x^(lg x) > 0. t − 1 = 10(1 − 1/t) = 10(t − 1)/t; (t − 1)(1 − 10/t) = 0; t = 1 или t = 10. t = 1: lg² x = 0, x = 1. t = 10: по п. 1 x = 10 или x = 1/10.
4) √(x^x) = x^(x/2). Уравнение x^(√x) = x^(x/2). Если x = 1, равенство верно. Если x ≠ 1: √x = x/2; √x (2 − √x) = 0; √x = 2; x = 4.
Ответ: 1) 10; 1/10; 2) 9; 1/3; 3) 1; 10; 1/10; 4) 1; 4.
1356. 1) 7 · 4^(x²) − 9 · 14^(x²) + 2 · 49^(x²) = 0;
2) 5^(x + 4) + 3 · 4^(x + 3) = 4^(x + 4) + 4 · 5^(x + 3).
2) 5^(x + 4) + 3 · 4^(x + 3) = 4^(x + 4) + 4 · 5^(x + 3).
1) Разделим на 4^(x²) > 0: 7 − 9 (7/2)^(x²) + 2 (49/4)^(x²) = 0. Пусть t = (7/2)^(x²) ≥ 1; (49/4)^(x²) = t². 2t² − 9t + 7 = 0; D = 81 − 56 = 25; t = (9 ± 5)/4: t = 7/2 или t = 1. t = 1: x² = 0, x = 0. t = 7/2: x² = 1, x = ±1.
2) Перенесём: 5^(x + 4) − 4 · 5^(x + 3) = 4^(x + 4) − 3 · 4^(x + 3); 5^(x + 3)(5 − 4) = 4^(x + 3)(4 − 3); 5^(x + 3) = 4^(x + 3); (5/4)^(x + 3) = 1; x + 3 = 0; x = −3.
Ответ: 1) 0; ±1; 2) −3.
2) Перенесём: 5^(x + 4) − 4 · 5^(x + 3) = 4^(x + 4) − 3 · 4^(x + 3); 5^(x + 3)(5 − 4) = 4^(x + 3)(4 − 3); 5^(x + 3) = 4^(x + 3); (5/4)^(x + 3) = 1; x + 3 = 0; x = −3.
Ответ: 1) 0; ±1; 2) −3.
1357. 1) log₄ (2 + √(x + 3)) = 1;
2) log_(1/3) √(x² − 2x) = −1/2;
3) (1/2) log₃ (x + 1) = log₃ √(x + 4) − 2 log₃ √2.
2) log_(1/3) √(x² − 2x) = −1/2;
3) (1/2) log₃ (x + 1) = log₃ √(x + 4) − 2 log₃ √2.
1) ОДЗ: x ≥ −3. 2 + √(x + 3) = 4; √(x + 3) = 2; x + 3 = 4; x = 1.
2) ОДЗ: x² − 2x > 0. √(x² − 2x) = (1/3)^(−1/2) = √3; x² − 2x = 3; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Оба удовлетворяют ОДЗ (9 − 6 = 3 > 0; 1 + 2 = 3 > 0).
3) ОДЗ: x > −1. Левая часть: log₃ √(x + 1). 2 log₃ √2 = log₃ 2. Правая: log₃ (√(x + 4)/2). √(x + 1) = √(x + 4)/2; 4(x + 1) = x + 4; 3x = 0; x = 0.
Ответ: 1) 1; 2) 3; −1; 3) 0.
2) ОДЗ: x² − 2x > 0. √(x² − 2x) = (1/3)^(−1/2) = √3; x² − 2x = 3; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1. Оба удовлетворяют ОДЗ (9 − 6 = 3 > 0; 1 + 2 = 3 > 0).
3) ОДЗ: x > −1. Левая часть: log₃ √(x + 1). 2 log₃ √2 = log₃ 2. Правая: log₃ (√(x + 4)/2). √(x + 1) = √(x + 4)/2; 4(x + 1) = x + 4; 3x = 0; x = 0.
Ответ: 1) 1; 2) 3; −1; 3) 0.
1358. 1) x^(1 + lg x) = 10x;
2) x^(lg x) = 100x;
3) log₂ (17 − 2^x) + log₂ (2^x + 15) = 8;
4) log₂ (3 + 2^x) + log₂ (5 − 2^x) = 4.
2) x^(lg x) = 100x;
3) log₂ (17 − 2^x) + log₂ (2^x + 15) = 8;
4) log₂ (3 + 2^x) + log₂ (5 − 2^x) = 4.
1) ОДЗ: x > 0. Логарифмируем по основанию 10: (1 + lg x) lg x = 1 + lg x; (1 + lg x)(lg x − 1) = 0; lg x = −1 или lg x = 1; x = 1/10 или x = 10.
2) lg² x = 2 + lg x; пусть y = lg x: y² − y − 2 = 0; y = 2 или y = −1; x = 100 или x = 1/10.
3) Пусть t = 2^x > 0, 0 < t < 17. (17 − t)(t + 15) = 256; −t² + 2t + 255 = 256; t² − 2t + 1 = 0; t = 1; 2^x = 1; x = 0. Проверка: log₂ 16 + log₂ 16 = 8.
4) Пусть t = 2^x, 0 < t < 5. (3 + t)(5 − t) = 16; −t² + 2t + 15 = 16; t² − 2t + 1 = 0; t = 1; x = 0. Проверка: log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
Ответ: 1) 1/10; 10; 2) 100; 1/10; 3) 0; 4) 0.
2) lg² x = 2 + lg x; пусть y = lg x: y² − y − 2 = 0; y = 2 или y = −1; x = 100 или x = 1/10.
3) Пусть t = 2^x > 0, 0 < t < 17. (17 − t)(t + 15) = 256; −t² + 2t + 255 = 256; t² − 2t + 1 = 0; t = 1; 2^x = 1; x = 0. Проверка: log₂ 16 + log₂ 16 = 8.
4) Пусть t = 2^x, 0 < t < 5. (3 + t)(5 − t) = 16; −t² + 2t + 15 = 16; t² − 2t + 1 = 0; t = 1; x = 0. Проверка: log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
Ответ: 1) 1/10; 10; 2) 100; 1/10; 3) 0; 4) 0.
1359. Могут ли корни уравнения (x − m)(x − n) = k² быть чисто мнимыми, если m, n и k — действительные числа?
Приведём уравнение к виду x² − (m + n)x + mn − k² = 0. Дискриминант D = (m + n)² − 4(mn − k²) = (m − n)² + 4k² ≥ 0 при любых действительных m, n, k. Значит корни всегда действительные (при D = 0 — совпадающие), и чисто мнимыми быть не могут.
Ответ: нет.
Ответ: нет.
1360. Решить уравнение (z — комплексное число):
1) z² + 4z + 19 = 0;
2) z² − 2z + 3 = 0.
1) z² + 4z + 19 = 0;
2) z² − 2z + 3 = 0.
1) D/4 = 4 − 19 = −15 < 0. z = −2 ± √(−15) = −2 ± i√15.
2) D/4 = 1 − 3 = −2 < 0. z = 1 ± √(−2) = 1 ± i√2.
Ответ: 1) −2 ± i√15; 2) 1 ± i√2.
2) D/4 = 1 − 3 = −2 < 0. z = 1 ± √(−2) = 1 ± i√2.
Ответ: 1) −2 ± i√15; 2) 1 ± i√2.
1361. Решить графически уравнение:
1) 0,5^x = 2x + 1;
2) 2^x = 3 − x²;
3) log₃ x = 4 − x;
4) log_(1/2) x = 4x²;
5) 2^x = log_(0,5) x;
6) (1/3)^x = log₃ x.
1) 0,5^x = 2x + 1;
2) 2^x = 3 − x²;
3) log₃ x = 4 − x;
4) log_(1/2) x = 4x²;
5) 2^x = log_(0,5) x;
6) (1/3)^x = log₃ x.
В каждом случае строим в одной системе координат графики левой и правой частей; абсциссы точек пересечения — корни уравнения. Найденные значения проверяем подстановкой.
1) y = 0,5^x убывает, y = 2x + 1 возрастает, поэтому графики пересекаются не более чем в одной точке. Это точка (0; 1): 0,5⁰ = 1 = 2 · 0 + 1. Корень x = 0.
2) y = 2^x возрастает, y = 3 − x² — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 3). Графики пересекаются в двух точках. Одна из них (1; 2): 2¹ = 2 = 3 − 1. Вторая имеет абсциссу x ≈ −1,64 (приближённо).
3) y = log₃ x возрастает, y = 4 − x убывает: одна точка пересечения (3; 1): log₃ 3 = 1 = 4 − 3. Корень x = 3.
4) y = log_(1/2) x убывает при x > 0, y = 4x² при x > 0 возрастает: одна точка пересечения (0,5; 1): log_(1/2) (1/2) = 1 = 4 · (1/4). Корень x = 0,5.
5) y = 2^x возрастает, y = log_(0,5) x убывает: одна точка пересечения, x ≈ 0,4 (при x = 0,4: 2^0,4 ≈ 1,32 и log_(0,5) 0,4 ≈ 1,32).
6) y = (1/3)^x убывает, y = log₃ x возрастает: одна точка пересечения, x ≈ 1,3 (при x = 1,3 оба значения примерно равны 0,24).
Ответ: 1) 0; 2) −1,64 (приближённо) и 1; 3) 3; 4) 0,5; 5) ≈ 0,4; 6) ≈ 1,3.
Оговорка: где корень не является «красивым» числом, он найден приближённо по графику и уточнён вычислением.
1) y = 0,5^x убывает, y = 2x + 1 возрастает, поэтому графики пересекаются не более чем в одной точке. Это точка (0; 1): 0,5⁰ = 1 = 2 · 0 + 1. Корень x = 0.
2) y = 2^x возрастает, y = 3 − x² — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 3). Графики пересекаются в двух точках. Одна из них (1; 2): 2¹ = 2 = 3 − 1. Вторая имеет абсциссу x ≈ −1,64 (приближённо).
3) y = log₃ x возрастает, y = 4 − x убывает: одна точка пересечения (3; 1): log₃ 3 = 1 = 4 − 3. Корень x = 3.
4) y = log_(1/2) x убывает при x > 0, y = 4x² при x > 0 возрастает: одна точка пересечения (0,5; 1): log_(1/2) (1/2) = 1 = 4 · (1/4). Корень x = 0,5.
5) y = 2^x возрастает, y = log_(0,5) x убывает: одна точка пересечения, x ≈ 0,4 (при x = 0,4: 2^0,4 ≈ 1,32 и log_(0,5) 0,4 ≈ 1,32).
6) y = (1/3)^x убывает, y = log₃ x возрастает: одна точка пересечения, x ≈ 1,3 (при x = 1,3 оба значения примерно равны 0,24).
Ответ: 1) 0; 2) −1,64 (приближённо) и 1; 3) 3; 4) 0,5; 5) ≈ 0,4; 6) ≈ 1,3.
Оговорка: где корень не является «красивым» числом, он найден приближённо по графику и уточнён вычислением.
1362. Используя графики синуса или косинуса, найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку [−π; 3π]:
1) cos x = −1/2;
2) sin x = −√3/2.
1) cos x = −1/2;
2) sin x = −√3/2.
Строим график и прямую y = −1/2 (или y = −√3/2) на промежутке [−π; 3π] (длина 4π, то есть две полные волны) и читаем абсциссы точек пересечения.
1) cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn. Из этой серии на [−π; 3π]: n = 0: x = −2π/3, x = 2π/3; n = 1: x = 4π/3 (−2π/3 + 2π), x = 8π/3 (2π/3 + 2π). При n = 2 получаем 10π/3 > 3π, поэтому не подходит.
2) sin x = −√3/2: x = −π/3 + 2πn и x = 4π/3 + 2πn. На [−π; 3π]: из первой серии n = 0 даёт −π/3, n = 1 даёт 5π/3; из второй n = −1 даёт −2π/3, n = 0 даёт 4π/3. Значения при остальных n (например, 10π/3 и −7π/3) вне промежутка.
Ответ: 1) −2π/3, 2π/3, 4π/3, 8π/3; 2) −2π/3, −π/3, 4π/3, 5π/3.
1) cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn. Из этой серии на [−π; 3π]: n = 0: x = −2π/3, x = 2π/3; n = 1: x = 4π/3 (−2π/3 + 2π), x = 8π/3 (2π/3 + 2π). При n = 2 получаем 10π/3 > 3π, поэтому не подходит.
2) sin x = −√3/2: x = −π/3 + 2πn и x = 4π/3 + 2πn. На [−π; 3π]: из первой серии n = 0 даёт −π/3, n = 1 даёт 5π/3; из второй n = −1 даёт −2π/3, n = 0 даёт 4π/3. Значения при остальных n (например, 10π/3 и −7π/3) вне промежутка.
Ответ: 1) −2π/3, 2π/3, 4π/3, 8π/3; 2) −2π/3, −π/3, 4π/3, 5π/3.
Решить уравнение (1363—1385).
1363. 1) sin 2x = 1/2;
2) cos 3x = −√2/2;
3) 2 tg x + 5 = 0.
1363. 1) sin 2x = 1/2;
2) cos 3x = −√2/2;
3) 2 tg x + 5 = 0.
1) 2x = (−1)^k · π/6 + πk, x = (−1)^k · π/12 + πk/2, k ∈ Z.
2) 3x = ±3π/4 + 2πn (arccos (−√2/2) = 3π/4), x = ±π/4 + 2πn/3, n ∈ Z.
3) tg x = −5/2, x = −arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1. (−1)^k π/12 + πk/2; 2) ±π/4 + 2πn/3; 3) −arctg 2,5 + πn; k, n ∈ Z.
2) 3x = ±3π/4 + 2πn (arccos (−√2/2) = 3π/4), x = ±π/4 + 2πn/3, n ∈ Z.
3) tg x = −5/2, x = −arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1. (−1)^k π/12 + πk/2; 2) ±π/4 + 2πn/3; 3) −arctg 2,5 + πn; k, n ∈ Z.
1364. 1) 3 cos² x − 5 cos x − 12 = 0;
2) 3 tg² x − 4 tg x + 5 = 0.
2) 3 tg² x − 4 tg x + 5 = 0.
1) Пусть t = cos x, |t| ≤ 1: 3t² − 5t − 12 = 0; D = 25 + 144 = 169; t = (5 ± 13)/6: t = 3 или t = −4/3. Оба значения по модулю больше 1, поэтому cos x им не равен. Корней нет.
2) Пусть t = tg x: 3t² − 4t + 5 = 0; D = 16 − 60 < 0. Действительных корней нет.
Ответ: 1) корней нет; 2) корней нет.
2) Пусть t = tg x: 3t² − 4t + 5 = 0; D = 16 − 60 < 0. Действительных корней нет.
Ответ: 1) корней нет; 2) корней нет.
1365.
1. (3 − 4 sin x)(3 + 4 cos x) = 0;
2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0.
2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0.
1) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
3 − 4 sin x = 0: sin x = 3/4, x = (−1)^k arcsin (3/4) + πk.
3 + 4 cos x = 0: cos x = −3/4, x = ±(π − arccos (3/4)) + 2πn = ±arccos (−3/4) + 2πn.
2) tg x = −3: x = −arctg 3 + πn; tg x = −1: x = −π/4 + πn.
Ответ: 1. (−1)^k arcsin (3/4) + πk; ±arccos (−3/4) + 2πn; 2) −arctg 3 + πn; −π/4 + πn; k, n ∈ Z.
3 − 4 sin x = 0: sin x = 3/4, x = (−1)^k arcsin (3/4) + πk.
3 + 4 cos x = 0: cos x = −3/4, x = ±(π − arccos (3/4)) + 2πn = ±arccos (−3/4) + 2πn.
2) tg x = −3: x = −arctg 3 + πn; tg x = −1: x = −π/4 + πn.
Ответ: 1. (−1)^k arcsin (3/4) + πk; ±arccos (−3/4) + 2πn; 2) −arctg 3 + πn; −π/4 + πn; k, n ∈ Z.