Упражнения 1329–1349 — Упражнения для итогового повторения курса…

1) ОДЗ: x ≠ ±1. x(x − 1) + x(x + 1) = 0; 2x² = 0; x = 0.
2) ОДЗ: x ≠ −1/3. 3x² − 2(3x + 1) = 2x + 1; 3x² − 8x − 3 = 0; D = 64 + 36 = 100; x = (8 ± 10)/6: x = 3 или x = −1/3. Корень −1/3 не входит в ОДЗ.
Ответ: 1) 0; 2) 3.

1) ОДЗ: x ≠ ±2. Левая часть: (3x − 8)/(x + 2). Умножим обе части на x² − 4 = (x − 2)(x + 2): (3x − 8)(x − 2) = 7x² − 28 − 18(x + 2). Слева 3x² − 14x + 16, справа 7x² − 18x − 64. Получаем 4x² − 4x − 80 = 0; x² − x − 20 = 0; x = 5 или x = −4. Оба значения входят в ОДЗ.
2) ОДЗ: x ≠ ±3. Умножим на x² − 9: (x + 1)(x − 3) − 12 = −(2x − 1)(x + 3). Слева x² − 2x − 15, справа −2x² − 5x + 3. Тогда 3x² + 3x − 18 = 0; x² + x − 6 = 0; x = 2 или x = −3. Корень −3 не входит в ОДЗ.
Ответ: 1) 5; −4; 2) 2.

x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1); ОДЗ: x ≠ −1. Умножим на x³ + 1: 2(x + 1) − (x² − x + 1) = 2x − 1; −x² + 3x + 1 = 2x − 1; x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1. Корень −1 не входит в ОДЗ.
Ответ: 2.

1) ОДЗ: x ≠ 0. x² − 4x + 1 = 0; D/4 = 4 − 1 = 3; x = 2 ± √3.
2) ОДЗ: x ≠ −2. 4x² − 10 + 4(x + 2) = 0; 4x² + 4x − 2 = 0; 2x² + 2x − 1 = 0; D/4 = 1 + 2 = 3; x = (−1 ± √3)/2. Оба значения не равны −2.
Ответ: 1) 2 ± √3; 2. (−1 ± √3)/2.

Биквадратные уравнения, t = x² ≥ 0.
1) t² − 11t + 30 = 0; t = 5 или t = 6; x = ±√5, x = ±√6.
2) 2t² − 5t + 2 = 0; D = 25 − 16 = 9; t = (5 ± 3)/4: t = 2 или t = 1/2; x = ±√2, x = ±√2/2 (так как √(1/2) = √2/2).
Ответ: 1) ±√5; ±√6; 2) ±√2; ±√2/2.

1) ОДЗ: x ≠ 0. Пусть y = 1/x: 2y² + 4y + 3 = 0; D/4 = 4 − 6 < 0. Корней нет.
2) Пусть u = x² − x: u² − 8u + 12 = 0; u = 2 или u = 6.
x² − x = 2: x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1.
x² − x = 6: x² − x − 6 = 0; x = 3 или x = −2.
Ответ: 1) корней нет; 2) −2; −1; 2; 3.

1) Выделим квадрат: x² + ax + a²/4 = b²; (x + a/2)² = b²; x + a/2 = ±b; x = −a/2 ± b.
2) ОДЗ: 2x ≠ ±a. Умножим на 4x² − a² = (2x − a)(2x + a): 2x(2x + a) − x(2x − a) = 5a²; 4x² + 2ax − 2x² + ax = 5a²; 2x² + 3ax − 5a² = 0. D = 9a² + 40a² = 49a²; x = (−3a ± 7a)/4: x = a или x = −5a/2 = −2,5a.
При a ≠ 0 оба корня подходят (знаменатели 2x − a и 2x + a не обращаются в нуль: при x = a они равны a и 3a, при x = −2,5a равны −6a и −4a). При a = 0 уравнение принимает вид 1 − 1/2 = 0 при x ≠ 0 — корней нет.
Ответ: 1) x = −a/2 ± b; 2) x = a, x = −2,5a (при a ≠ 0); при a = 0 корней нет.

Трёхчлен является квадратом двучлена (px + q)² = p²x² + 2pqx + q² (p, q — действительные), когда существуют такие p, q, что a = p², b = 2pq, c = q². Тогда a > 0, и b² − 4ac = 4p²q² − 4p²q² = 0.
Обратно: пусть a > 0 и b² = 4ac. Тогда c = b²/(4a) ≥ 0 и ax² + bx + c = a (x + b/(2a))² = (√a x + b/(2√a))².
Ответ: a > 0 и b² = 4ac (дискриминант равен нулю).

По теореме Виета для уравнения ax² + bx + a = 0 (a ≠ 0) произведение корней x₁x₂ = a/a = 1. Корни не равны нулю, и x₂ = 1/x₁, то есть корни — взаимно обратные числа. Что и требовалось доказать.

1) 2x − 3 = 7 или 2x − 3 = −7: x = 5 или x = −2.
2) Необходимо 2x ≥ 0, x ≥ 0. Тогда x + 6 > 0, и x + 6 = 2x, x = 6 (подходит). Случай x + 6 = −2x даёт x = −2 < 0, не подходит.
3) Необходимо 2x − 7 ≥ 0, x ≥ 3,5. Если x ≥ 4: x − 4 = 2x − 7, x = 3 — не подходит (x < 4). Если 3,5 ≤ x < 4: 4 − x = 2x − 7, x = 11/3 = 3 2/3 (подходит, так как 3,5 < 11/3 < 4).
Ответ: 1) 5; −2; 2) 6; 3) 11/3.

1) Необходимо 3x + 1 ≥ 0, x ≥ −1/3. 6 − 2x = 3x + 1: x = 1 (подходит). 6 − 2x = −3x − 1: x = −7 (не подходит, x < −1/3).
2) Правая часть: |x| − 1 ≥ 0, значит |x| ≥ 1. Раскроем модули по промежуткам.
x ≥ 2: 2(x − 2) = x − 1; x = 3 (подходит).
0 ≤ x < 2: 2(2 − x) = x − 1; 4 − 2x = x − 1; x = 5/3 (подходит: 1 ≤ 5/3 < 2).
x < 0: 2(2 − x) = −x − 1; 4 − 2x = −x − 1; x = 5 (не подходит, x < 0).
Проверка x = 5/3: 2 · 1/3 = 2/3, |5/3| − 1 = 2/3. Верно.
Ответ: 1) 1; 2) 3; 5/3.

Необходимо x ≥ 0. Случай x² − 3x − 6 = 2x: x² − 5x − 6 = 0; x = 6 или x = −1 (не подходит). Случай x² − 3x − 6 = −2x: x² − x − 6 = 0; x = 3 или x = −2 (не подходит).
Проверка: x = 6: |36 − 18 − 6| = 12 = 2 · 6; x = 3: |9 − 9 − 6| = 6 = 2 · 3. Корни: 3 и 6, наименьший — 3.
Ответ: 3.

Необходимо x ≥ 0. Случай x² − 8x + 5 = 2x: x² − 10x + 5 = 0; x = 5 ± 2√5 — оба положительные, иррациональные. Случай x² − 8x + 5 = −2x: x² − 6x + 5 = 0; x = 1 или x = 5 (оба неотрицательные).
Проверка: x = 1: |1 − 8 + 5| = 2 = 2 · 1; x = 5: |25 − 40 + 5| = 10 = 2 · 5.
Рациональные корни: 1 и 5. Наибольший — 5.
Ответ: 5.

1) Необходимо x + 2 ≥ 0. Возведём в квадрат: 2x + 7 = x² + 4x + 4; x² + 2x − 3 = 0; x = 1 или x = −3. Условию x ≥ −2 удовлетворяет только x = 1. Проверка: √9 = 3 = 1 + 2.
2) Запишем √(2x − 5) = 2 − x. Необходимо 2 − x ≥ 0, то есть x ≤ 2, и 2x − 5 ≥ 0, то есть x ≥ 2,5. Эти условия несовместны. Корней нет.
Ответ: 1) 1; 2) корней нет.

1) 81 = 3⁴; x − 7 = 4; x = 11.
2) √2 = 2^(1/2); x² − 5x + 6,5 = 0,5; x² − 5x + 6 = 0; x = 2 или x = 3.
3) (1/4) · 4^x = 4^(x − 1) = 2^(2x − 2); левая часть 2^((2x − 2)x). Уравнение: 2x² − 2x = 2x + 6; x² − 2x − 3 = 0; x = 3 или x = −1.
Ответ: 1) 11; 2) 2; 3; 3) 3; −1.

1) 9^(5x − 1) (9 − 1) = 8; 9^(5x − 1) = 1; 5x − 1 = 0; x = 1/5.
2) 2^x (16 − 1) = 120; 2^x = 8; x = 3.
Ответ: 1) 1/5; 2) 3.

1) Так как 35 = 5 · 7, правая часть равна 5^((5x + 6)/2) · 7^((5x + 6)/2). Показатели при одинаковых основаниях совпадут, если 2x + 5 = (5x + 6)/2 и 3x + 1 = (5x + 6)/2. Из первого: 4x + 10 = 5x + 6, x = 4. Из второго: 6x + 2 = 5x + 6, x = 4. Значение x = 4 удовлетворяет обоим. Разделим обе части на 35^((5x + 6)/2): получим 5^((4 − x)/2) · 7^((x − 4)/2) = (7/5)^((x − 4)/2) = 1, откуда (x − 4)/2 = 0, x = 4 — единственный корень. Проверка: левая часть 5^13 · 7^13 = 35^13, правая 35^(26/2) = 35^13.
2) 0,2 = 5^(−1), (1/5)^6 = 5^(−6). Уравнение: 5^(−x²) · 5^(2x + 2) = 5^(−6); −x² + 2x + 2 = −6; x² − 2x − 8 = 0; x = 4 или x = −2.
Ответ: 1) 4; 2) 4; −2.
Оговорка: показатель степени 35 в п. 1 прочитан как (5x + 6)/2.

1) Основания равны: 3 − 2x = 3x − 2; x = 1.
2) (3/5)^(x − 2) = (5/3)^(2 − x); x = 2 − x; x = 1.
3) 1/√8 = 2^(−3/2), (1/16)^(−x) = 16^x = 2^(4x). Тогда 4x = −3/2; x = −3/8.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) −3/8.

1) 4/9 = (2/3)², 27/8 = (3/2)³ = (2/3)^(−3). Левая часть: (2/3)^(2x) · (2/3)^(−3(x − 1)) = (2/3)^(2x − 3x + 3) = (2/3)^(3 − x). Уравнение: 3 − x = 1; x = 2.
2) ∛(2^x) · ∛(3^x) = ∛(6^x) = 6^(x/3) = 216 = 6³; x/3 = 3; x = 9.
Ответ: 1) 2; 2) 9.

1) 5^(x − 1) (25 + 5 + 1) = 155; 5^(x − 1) = 5; x − 1 = 1; x = 2.
2) 3^(2x − 2) (9 − 2 · 3 − 2) = 1; 3^(2x − 2) · 1 = 1; 2x − 2 = 0; x = 1.
3) 7^(x − 1) (7 − 1) = 6; 7^(x − 1) = 1; x = 1.
4) 3^x (9 + 1) = 10; 3^x = 1; x = 0.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 1; 4) 0.

1) Пусть t = 3^x > 0: t² − t − 72 = 0; t = 9 или t = −8 (не подходит). 3^x = 9; x = 2.
2) Пусть t = 2^x > 0: t² − 2t − 48 = 0; t = 8 или t = −6 (не подходит). 2^x = 8; x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 3.