Упражнения 1314–1328, стр. 408 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1314–1328 — Упражнения для итогового повторения курса…

Страница 408 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 408

1314. 1) sin (α + π/3) − sin (α − π/3) = √3 cos α;
2) cos (π/6 + α) + cos (π/6 − α) = √3 cos α.
1) sin (α + π/3) − sin (α − π/3) = 2 cos α sin (π/3) = 2 · (√3/2) cos α = √3 cos α.
2) cos (π/6 + α) + cos (π/6 − α) = 2 cos (π/6) cos α = 2 · (√3/2) cos α = √3 cos α.
Тождества доказаны.
1315. 1) 2/(tg (α/2) + ctg (α/2)) = sin α;
2) (ctg α − tg α)/(ctg α + tg α) = cos 2α.
1) tg (α/2) + ctg (α/2) = (sin² (α/2) + cos² (α/2))/(sin (α/2) cos (α/2)) = 1/(sin (α/2) cos (α/2)) = 2/sin α. Тогда 2/(2/sin α) = sin α.
2) Умножим числитель и знаменатель на sin α cos α: (cos² α − sin² α)/(cos² α + sin² α) = cos 2α/1 = cos 2α.
Тождества доказаны.
1316. (1 + cos α) tg (α/2) = sin α.
1 + cos α = 2 cos² (α/2). Левая часть: 2 cos² (α/2) · sin (α/2)/cos (α/2) = 2 sin (α/2) cos (α/2) = sin α. Тождество доказано.
1317. 1) 1 − tg² α = cos 2α/cos² α;
2) 1 − ctg² α = −cos 2α/sin² α.
1) 1 − tg² α = (cos² α − sin² α)/cos² α = cos 2α/cos² α.
2) 1 − ctg² α = (sin² α − cos² α)/sin² α = −cos 2α/sin² α.
Тождества доказаны.
1318. 1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos (π/6 + α/2) cos (π/6 − α/2).
Левая часть: (1 + cos 2α) + cos α = 2 cos² α + cos α = cos α (2 cos α + 1) = 2 cos α (cos α + 1/2) = 2 cos α (cos α + cos (π/3)).
cos α + cos (π/3) = 2 cos ((α + π/3)/2) cos ((α − π/3)/2) = 2 cos (α/2 + π/6) cos (α/2 − π/6) = 2 cos (π/6 + α/2) cos (π/6 − α/2) (косинус чётный).
Итого: 4 cos α cos (π/6 + α/2) cos (π/6 − α/2). Тождество доказано.
1319. 1. (1 − 2 sin² α)/(1 + sin 2α) = (1 − tg α)/(1 + tg α);
2) 1/(4 sin² α cos² α) = 1 + (1 − tg² α)²/(4 tg² α);
3) tg (π/4 + α) = (1 + sin 2α)/cos 2α;
4) (1 − sin 2α)/(1 + sin 2α) = ctg² (π/4 + α).
1) 1 − 2 sin² α = cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α), 1 + sin 2α = (cos α + sin α)². Дробь: (cos α − sin α)/(cos α + sin α) = (1 − tg α)/(1 + tg α) (деление на cos α).
2) Правая часть: (4 tg² α + (1 − tg² α)²)/(4 tg² α) = (1 + tg² α)²/(4 tg² α) = (1/cos⁴ α)/(4 sin² α/cos² α) = 1/(4 sin² α cos² α).
3) tg (π/4 + α) = (1 + tg α)/(1 − tg α) = (cos α + sin α)/(cos α − sin α). Умножим числитель и знаменатель на (cos α + sin α): (1 + sin 2α)/cos 2α.
4) По п. 1: (1 − sin 2α)/(1 + sin 2α) = (cos α − sin α)²/(cos α + sin α)² = ((1 − tg α)/(1 + tg α))² = (1/tg (π/4 + α))² = ctg² (π/4 + α).
Тождества доказаны.
1320. 1) 4 sin x sin (π/3 − x) sin (π/3 + x) = sin 3x;
2) cos 3x cos 6x cos 12x = sin 24x/(8 sin 3x).
1) sin (π/3 − x) sin (π/3 + x) = (cos 2x − cos (2π/3))/2 = (cos 2x + 1/2)/2. Левая часть: 4 sin x (cos 2x + 1/2)/2 = 2 sin x cos 2x + sin x = (sin 3x − sin x) + sin x = sin 3x.
2) При sin 3x ≠ 0: умножим левую часть на 8 sin 3x: 8 sin 3x cos 3x cos 6x cos 12x = 4 sin 6x cos 6x cos 12x = 2 sin 12x cos 12x = sin 24x. Значит, cos 3x cos 6x cos 12x = sin 24x/(8 sin 3x).
Тождества доказаны.
1321. Решить уравнение:
1) (3x − 16)/12 + 1 = (x + 6)/4 − (x + 3)/6;
2) (5/3)(x − 7) − 3x − 6(x − 8)/7 = −(x + 43/3).
1) Умножим обе части на 12: 3x − 16 + 12 = 3(x + 6) − 2(x + 3); 3x − 4 = 3x + 18 − 2x − 6 = x + 12; 2x = 16; x = 8.
2) Умножим обе части на 21: 35(x − 7) − 63x − 18(x − 8) = −21x − 301. Левая часть: 35x − 245 − 63x − 18x + 144 = −46x − 101. Уравнение: −46x − 101 = −21x − 301; −25x = −200; x = 8.
Ответ: 1) 8; 2) 8.
1322. При каком значении a уравнение a(x − 3) + 8 = 13(x + 2) имеет корень, равный 0?
Подставим x = 0: a(−3) + 8 = 13 · 2; −3a + 8 = 26; −3a = 18; a = −6.
Ответ: a = −6.
1323. При каком значении b уравнение 1 − b(x + 4) = 2(x − 8) имеет корень, равный 1?
Подставим x = 1: 1 − 5b = 2 · (−7) = −14; −5b = −15; b = 3.
Ответ: b = 3.
Решить уравнение (1324—1335).
1324. 1) x(x + 1) − (x + 2)(x + 3) + 9 = x(x + 4) − (x + 5)(x + 2);
2) 2(x + 3)(x + 1) + 8 = (2x + 1)(x + 5).
1) Левая часть: x² + x − (x² + 5x + 6) + 9 = −4x + 3. Правая: x² + 4x − (x² + 7x + 10) = −3x − 10. Уравнение −4x + 3 = −3x − 10 даёт x = 13.
2) Левая часть: 2(x² + 4x + 3) + 8 = 2x² + 8x + 14. Правая: 2x² + 10x + x + 5 = 2x² + 11x + 5. Уравнение 8x + 14 = 11x + 5 даёт 3x = 9, x = 3.
Ответ: 1) 13; 2) 3.
1325. 1) 3/(x + 3) − 2/(x − 3) = 4/(x² − 9);
2) 5/(x − 2) + 2/(x − 4) = 11/(x² − 6x + 8).
1) ОДЗ: x ≠ ±3. Умножим на x² − 9: 3(x − 3) − 2(x + 3) = 4; x − 15 = 4; x = 19 (входит в ОДЗ).
2) x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4), ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ 4. 5(x − 4) + 2(x − 2) = 11; 7x − 24 = 11; x = 5 (входит в ОДЗ).
Ответ: 1) 19; 2) 5.
1326. 1. (a − b)x = a² + (a + b)x;
2) a²x = a + b + b²x.
Решаем относительно x, a и b — параметры.
1) Перенесём: (a − b)x − (a + b)x = a², то есть −2bx = a².
Если b ≠ 0: x = −a²/(2b).
Если b = 0 и a ≠ 0: 0 · x = a² ≠ 0, корней нет.
Если a = b = 0: 0 · x = 0, x — любое число.
2) Перенесём: (a² − b²)x = a + b, то есть (a − b)(a + b)x = a + b.
Если a ≠ b и a ≠ −b: x = 1/(a − b).
Если a = −b: 0 · x = 0, x — любое число.
Если a = b ≠ 0: 0 · x = 2a ≠ 0, корней нет.
Ответ: 1) при b ≠ 0 x = −a²/(2b); при b = 0, a ≠ 0 корней нет; при a = b = 0 любое x. 2) при a ≠ ±b x = 1/(a − b); при a = −b любое x; при a = b ≠ 0 корней нет.
1327. 1) x² − 2x − 15 = 0;
2) 3x² + 4x − 4 = 0.
1) D/4 = 1 + 15 = 16, x = 1 ± 4: x₁ = 5, x₂ = −3.
2) D/4 = 4 + 12 = 16, x = (−2 ± 4)/3: x₁ = 2/3, x₂ = −2.
Ответ: 1) 5; −3; 2) 2/3; −2.
1328. 1. (x − 3)(x − 2) = 6(x − 3);
2) x² − 11x/6 + 1/2 = 0.
1) (x − 3)(x − 2) − 6(x − 3) = 0; (x − 3)(x − 8) = 0; x = 3 или x = 8.
2) Умножим на 6: 6x² − 11x + 3 = 0; D = 121 − 72 = 49; x = (11 ± 7)/12: x₁ = 3/2, x₂ = 1/3.
Ответ: 1) 3; 8; 2) 3/2; 1/3.