Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 407
1300. 1) tg² α/(1 + ctg² α);
2) (1 + ctg² α)/ctg² α;
3) (tg α − tg β)/(ctg α + ctg β);
4) (tg α + ctg α)² − (tg α − ctg α)².
2) (1 + ctg² α)/ctg² α;
3) (tg α − tg β)/(ctg α + ctg β);
4) (tg α + ctg α)² − (tg α − ctg α)².
1) 1 + ctg² α = 1/sin² α, поэтому выражение равно tg² α sin² α = sin⁴ α/cos² α.
2) (1/sin² α)/(cos² α/sin² α) = 1/cos² α.
3) ctg α + ctg β = (tg α + tg β)/(tg α tg β). Дробь: tg α tg β (tg α − tg β)/(tg α + tg β). Другая форма: (tg α − tg β)/(ctg α + ctg β) = (sin (α − β)/(cos α cos β)) : (sin (α + β)/(sin α sin β)) = tg α tg β sin (α − β)/sin (α + β).
4) По формуле разности квадратов: 4 tg α ctg α = 4.
Ответ: 1) sin⁴ α/cos² α; 2) 1/cos² α; 3) tg α tg β (tg α − tg β)/(tg α + tg β); 4) 4.
2) (1/sin² α)/(cos² α/sin² α) = 1/cos² α.
3) ctg α + ctg β = (tg α + tg β)/(tg α tg β). Дробь: tg α tg β (tg α − tg β)/(tg α + tg β). Другая форма: (tg α − tg β)/(ctg α + ctg β) = (sin (α − β)/(cos α cos β)) : (sin (α + β)/(sin α sin β)) = tg α tg β sin (α − β)/sin (α + β).
4) По формуле разности квадратов: 4 tg α ctg α = 4.
Ответ: 1) sin⁴ α/cos² α; 2) 1/cos² α; 3) tg α tg β (tg α − tg β)/(tg α + tg β); 4) 4.
1301.
1. (1 + cos 2α)/(2 cos α);
2) (tg α − sin α)/(tg α + sin α);
3) (sin α + sin 3α + sin 5α)/(cos α + cos 3α + cos 5α);
4) (2 sin 2α + sin 4α)/(2 sin 2α − sin 4α).
2) (tg α − sin α)/(tg α + sin α);
3) (sin α + sin 3α + sin 5α)/(cos α + cos 3α + cos 5α);
4) (2 sin 2α + sin 4α)/(2 sin 2α − sin 4α).
1) 1 + cos 2α = 2 cos² α; выражение равно cos α.
2) Разделим числитель и знаменатель на sin α: (1/cos α − 1)/(1/cos α + 1) = (1 − cos α)/(1 + cos α) = tg² (α/2).
3) sin 5α + sin α = 2 sin 3α cos 2α; cos 5α + cos α = 2 cos 3α cos 2α. Дробь: sin 3α (2 cos 2α + 1)/(cos 3α (2 cos 2α + 1)) = tg 3α.
4) sin 4α = 2 sin 2α cos 2α. Дробь: sin 2α (2 + 2 cos 2α)/(sin 2α (2 − 2 cos 2α)) = (1 + cos 2α)/(1 − cos 2α) = 2 cos² α/(2 sin² α) = ctg² α.
Ответ: 1) cos α; 2) tg² (α/2); 3) tg 3α; 4) ctg² α.
2) Разделим числитель и знаменатель на sin α: (1/cos α − 1)/(1/cos α + 1) = (1 − cos α)/(1 + cos α) = tg² (α/2).
3) sin 5α + sin α = 2 sin 3α cos 2α; cos 5α + cos α = 2 cos 3α cos 2α. Дробь: sin 3α (2 cos 2α + 1)/(cos 3α (2 cos 2α + 1)) = tg 3α.
4) sin 4α = 2 sin 2α cos 2α. Дробь: sin 2α (2 + 2 cos 2α)/(sin 2α (2 − 2 cos 2α)) = (1 + cos 2α)/(1 − cos 2α) = 2 cos² α/(2 sin² α) = ctg² α.
Ответ: 1) cos α; 2) tg² (α/2); 3) tg 3α; 4) ctg² α.
1302.
1. (sin 2α + cos 2α + 2 sin² α)/(sin (−α) − sin (2,5π + α));
2) (cos 2α − sin 2α − 2 cos² α)/(cos (−α) − cos (2,5π + α)).
2) (cos 2α − sin 2α − 2 cos² α)/(cos (−α) − cos (2,5π + α)).
sin (2,5π + α) = sin (π/2 + α) = cos α; cos (2,5π + α) = cos (π/2 + α) = −sin α.
1) Числитель: sin 2α + (cos 2α + 2 sin² α) = sin 2α + 1 = (sin α + cos α)². Знаменатель: −sin α − cos α = −(sin α + cos α). Дробь: −(sin α + cos α).
2) Числитель: (cos 2α − 2 cos² α) − sin 2α = −1 − sin 2α = −(sin α + cos α)². Знаменатель: cos α + sin α. Дробь: −(sin α + cos α).
Ответ: 1) −sin α − cos α; 2) −sin α − cos α.
1) Числитель: sin 2α + (cos 2α + 2 sin² α) = sin 2α + 1 = (sin α + cos α)². Знаменатель: −sin α − cos α = −(sin α + cos α). Дробь: −(sin α + cos α).
2) Числитель: (cos 2α − 2 cos² α) − sin 2α = −1 − sin 2α = −(sin α + cos α)². Знаменатель: cos α + sin α. Дробь: −(sin α + cos α).
Ответ: 1) −sin α − cos α; 2) −sin α − cos α.
1303. Доказать тождество:
1) (1 − cos (2π − 2α))/(1 − cos² (α + π)) = 2;
2) sin² (α + 90°)/(1 + sin (−α)) = 1 + cos (α − 90°).
1) (1 − cos (2π − 2α))/(1 − cos² (α + π)) = 2;
2) sin² (α + 90°)/(1 + sin (−α)) = 1 + cos (α − 90°).
1) cos (2π − 2α) = cos 2α; cos (α + π) = −cos α, cos² (α + π) = cos² α. Дробь: (1 − cos 2α)/(1 − cos² α) = 2 sin² α/sin² α = 2.
2) sin (α + 90°) = cos α, sin (−α) = −sin α, cos (α − 90°) = sin α. Левая часть: cos² α/(1 − sin α) = (1 − sin α)(1 + sin α)/(1 − sin α) = 1 + sin α. Правая часть: 1 + sin α. Тождество доказано.
2) sin (α + 90°) = cos α, sin (−α) = −sin α, cos (α − 90°) = sin α. Левая часть: cos² α/(1 − sin α) = (1 − sin α)(1 + sin α)/(1 − sin α) = 1 + sin α. Правая часть: 1 + sin α. Тождество доказано.
Упростить выражение (1304—1309).
1304. (5 cos x − 3 sin x)/(sin (π/2 − x) + sin (−x)) − (sin 2x − 8 sin² x)/cos 2x.
1304. (5 cos x − 3 sin x)/(sin (π/2 − x) + sin (−x)) − (sin 2x − 8 sin² x)/cos 2x.
sin (π/2 − x) = cos x, sin (−x) = −sin x. Первая дробь: (5 cos x − 3 sin x)/(cos x − sin x) = (5 cos x − 3 sin x)(cos x + sin x)/cos 2x = (5 cos² x + 2 sin x cos x − 3 sin² x)/cos 2x.
Вторая: (2 sin x cos x − 8 sin² x)/cos 2x.
Разность: (5 cos² x + 2 sin x cos x − 3 sin² x − 2 sin x cos x + 8 sin² x)/cos 2x = 5 (cos² x + sin² x)/cos 2x = 5/cos 2x.
Ответ: 5/cos 2x.
Вторая: (2 sin x cos x − 8 sin² x)/cos 2x.
Разность: (5 cos² x + 2 sin x cos x − 3 sin² x − 2 sin x cos x + 8 sin² x)/cos 2x = 5 (cos² x + sin² x)/cos 2x = 5/cos 2x.
Ответ: 5/cos 2x.
1305. sin (x − 2π) cos (3π/2 − x) + tg (π − x) tg (3π/2 + x).
sin (x − 2π) = sin x; cos (3π/2 − x) = −sin x; tg (π − x) = −tg x; tg (3π/2 + x) = −ctg x.
Выражение: sin x · (−sin x) + (−tg x)(−ctg x) = −sin² x + 1 = cos² x.
Ответ: cos² x.
Выражение: sin x · (−sin x) + (−tg x)(−ctg x) = −sin² x + 1 = cos² x.
Ответ: cos² x.
1306. 1) cos² (α + 2β) + sin² (α − 2β) − 1;
2) sin² (α + 2β) + sin² (α − 2β) − 1.
2) sin² (α + 2β) + sin² (α − 2β) − 1.
1) cos² (α + 2β) − 1 = −sin² (α + 2β). Выражение: sin² (α − 2β) − sin² (α + 2β) = sin ((α − 2β) + (α + 2β)) sin ((α − 2β) − (α + 2β)) = sin 2α sin (−4β) = −sin 2α sin 4β.
2) По формуле sin² t = (1 − cos 2t)/2: (1 − cos (2α + 4β))/2 + (1 − cos (2α − 4β))/2 − 1 = −(cos (2α + 4β) + cos (2α − 4β))/2 = −cos 2α cos 4β.
Ответ: 1) −sin 2α sin 4β; 2) −cos 2α cos 4β.
2) По формуле sin² t = (1 − cos 2t)/2: (1 − cos (2α + 4β))/2 + (1 − cos (2α − 4β))/2 − 1 = −(cos (2α + 4β) + cos (2α − 4β))/2 = −cos 2α cos 4β.
Ответ: 1) −sin 2α sin 4β; 2) −cos 2α cos 4β.
1307.
1. (cos 4α − cos 2α)/(sin 3α sin α);
2) (1 + cos α + cos 2α + cos 3α)/(cos α + 2 cos² α − 1).
2) (1 + cos α + cos 2α + cos 3α)/(cos α + 2 cos² α − 1).
1) cos 4α − cos 2α = −2 sin 3α sin α. Дробь равна −2.
2) Числитель: (1 + cos 2α) + (cos α + cos 3α) = 2 cos² α + 2 cos 2α cos α = 2 cos α (cos α + cos 2α). Знаменатель: cos α + (2 cos² α − 1) = cos α + cos 2α. Дробь: 2 cos α.
Ответ: 1) −2; 2) 2 cos α.
2) Числитель: (1 + cos 2α) + (cos α + cos 3α) = 2 cos² α + 2 cos 2α cos α = 2 cos α (cos α + cos 2α). Знаменатель: cos α + (2 cos² α − 1) = cos α + cos 2α. Дробь: 2 cos α.
Ответ: 1) −2; 2) 2 cos α.
1308.
1. (4 sin² α − sin² 2α)/(4 − 4 sin² α − sin² 2α);
2) (tg² 2α tg² α − 1)/(tg² α − tg² 2α).
2) (tg² 2α tg² α − 1)/(tg² α − tg² 2α).
1) sin² 2α = 4 sin² α cos² α. Числитель: 4 sin² α (1 − cos² α) = 4 sin⁴ α. Знаменатель: 4 cos² α − 4 sin² α cos² α = 4 cos² α (1 − sin² α) = 4 cos⁴ α. Дробь: tg⁴ α.
2) Умножим числитель и знаменатель на −1: (1 − tg² 2α tg² α)/(tg² 2α − tg² α) = ((1 − tg 2α tg α)(1 + tg 2α tg α))/((tg 2α − tg α)(tg 2α + tg α)). Так как tg 3α = (tg 2α + tg α)/(1 − tg 2α tg α) и tg α = (tg 2α − tg α)/(1 + tg 2α tg α), то дробь равна 1/(tg 3α tg α) = ctg α ctg 3α.
Ответ: 1) tg⁴ α; 2) ctg α ctg 3α.
2) Умножим числитель и знаменатель на −1: (1 − tg² 2α tg² α)/(tg² 2α − tg² α) = ((1 − tg 2α tg α)(1 + tg 2α tg α))/((tg 2α − tg α)(tg 2α + tg α)). Так как tg 3α = (tg 2α + tg α)/(1 − tg 2α tg α) и tg α = (tg 2α − tg α)/(1 + tg 2α tg α), то дробь равна 1/(tg 3α tg α) = ctg α ctg 3α.
Ответ: 1) tg⁴ α; 2) ctg α ctg 3α.
1309.
1. (√2 − cos x − sin x)/(sin x − cos x);
2) (1 + cos x + sin x + tg x)/(sin x + cos x).
2) (1 + cos x + sin x + tg x)/(sin x + cos x).
1) cos x + sin x = √2 sin (x + π/4) = √2 cos (x − π/4), sin x − cos x = √2 sin (x − π/4). Пусть u = x − π/4. Тогда числитель √2 (1 − cos u) = 2√2 sin² (u/2), знаменатель √2 sin u = 2√2 sin (u/2) cos (u/2). Дробь равна tg (u/2) = tg (x/2 − π/8).
2) 1 + cos x + sin x + sin x/cos x = (1 + cos x) + sin x (cos x + 1)/cos x = (1 + cos x)(cos x + sin x)/cos x. Деление на (sin x + cos x) даёт (1 + cos x)/cos x = 1 + 1/cos x.
Ответ: 1) tg (x/2 − π/8); 2) 1 + 1/cos x.
2) 1 + cos x + sin x + sin x/cos x = (1 + cos x) + sin x (cos x + 1)/cos x = (1 + cos x)(cos x + sin x)/cos x. Деление на (sin x + cos x) даёт (1 + cos x)/cos x = 1 + 1/cos x.
Ответ: 1) tg (x/2 − π/8); 2) 1 + 1/cos x.
1310. Вычислить (sin α cos α)/(sin² α − cos² α), если ctg α = 3/4.
Разделим числитель и знаменатель на sin² α: ctg α/(1 − ctg² α) = (3/4)/(1 − 9/16) = (3/4)/(7/16) = (3/4)(16/7) = 12/7.
Ответ: 12/7.
Ответ: 12/7.
1311. Упростить выражение и найти его числовое значение при данном значении α: (2 − 3 sin² α)/cos 2α − (sin α + 2 cos α)/(sin α + cos α), α = −π/8.
Общий знаменатель: cos 2α = (cos α − sin α)(cos α + sin α). Второе слагаемое приводим: (sin α + 2 cos α)(cos α − sin α) = sin α cos α − sin² α + 2 cos² α − 2 sin α cos α = 2 cos² α − sin² α − sin α cos α.
Числитель разности: 2 − 3 sin² α − 2 cos² α + sin² α + sin α cos α = 2 − 2 sin² α − 2 cos² α + sin α cos α = sin α cos α.
Выражение равно sin α cos α/cos 2α = (1/2) tg 2α. При α = −π/8: (1/2) tg (−π/4) = −1/2.
Ответ: (1/2) tg 2α; значение −1/2.
Числитель разности: 2 − 3 sin² α − 2 cos² α + sin² α + sin α cos α = 2 − 2 sin² α − 2 cos² α + sin α cos α = sin α cos α.
Выражение равно sin α cos α/cos 2α = (1/2) tg 2α. При α = −π/8: (1/2) tg (−π/4) = −1/2.
Ответ: (1/2) tg 2α; значение −1/2.
Доказать тождество (1312—1320).
1312. (tg (α − β) + tg β)/(tg (α + β) − tg β) = cos (α + β)/cos (α − β).
1312. (tg (α − β) + tg β)/(tg (α + β) − tg β) = cos (α + β)/cos (α − β).
Используем tg x + tg y = sin (x + y)/(cos x cos y) и tg x − tg y = sin (x − y)/(cos x cos y).
Числитель: tg (α − β) + tg β = sin α/(cos (α − β) cos β).
Знаменатель: tg (α + β) − tg β = sin α/(cos (α + β) cos β).
Отношение: (sin α/(cos (α − β) cos β)) · (cos (α + β) cos β/sin α) = cos (α + β)/cos (α − β). Тождество доказано.
Числитель: tg (α − β) + tg β = sin α/(cos (α − β) cos β).
Знаменатель: tg (α + β) − tg β = sin α/(cos (α + β) cos β).
Отношение: (sin α/(cos (α − β) cos β)) · (cos (α + β) cos β/sin α) = cos (α + β)/cos (α − β). Тождество доказано.
1313. 1) 1 + sin α = 2 cos² (π/4 − α/2);
2) 1 − sin α = 2 sin² (π/4 − α/2).
2) 1 − sin α = 2 sin² (π/4 − α/2).
Используем 1 + cos 2t = 2 cos² t и 1 − cos 2t = 2 sin² t при t = π/4 − α/2, 2t = π/2 − α, cos (π/2 − α) = sin α.
1) 2 cos² (π/4 − α/2) = 1 + cos (π/2 − α) = 1 + sin α.
2) 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − cos (π/2 − α) = 1 − sin α.
Тождества доказаны.
1) 2 cos² (π/4 − α/2) = 1 + cos (π/2 − α) = 1 + sin α.
2) 2 sin² (π/4 − α/2) = 1 − cos (π/2 − α) = 1 − sin α.
Тождества доказаны.