Упражнения 1278–1286, стр. 405 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1278–1286 — Упражнения для итогового повторения курса…

Страница 405 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 405

1278. 1) a/(a² − 1) + (a² + a − 1)/(a³ − a² + a − 1) + (a² − a − 1)/(a³ + a² + a + 1) − 2a³/(a⁴ − 1);
2) 1/(a² + 5a + 6) + 2a/(a² + 4a + 3) + 1/((a + 1)² + a + 1) − 2/(a + 3).
1) Разложим знаменатели: a³ − a² + a − 1 = (a − 1)(a² + 1); a³ + a² + a + 1 = (a + 1)(a² + 1); a⁴ − 1 = (a − 1)(a + 1)(a² + 1). Общий знаменатель a⁴ − 1. Числитель: a(a² + 1) + (a² + a − 1)(a + 1) + (a² − a − 1)(a − 1) − 2a³ = (a³ + a) + (a³ + 2a² − 1) + (a³ − 2a² + 1) − 2a³ = a³ + a. Итог: (a³ + a)/(a⁴ − 1) = a(a² + 1)/((a² − 1)(a² + 1)) = a/(a² − 1).
2) a² + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3); a² + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3); (a + 1)² + a + 1 = (a + 1)(a + 2). Общий знаменатель (a + 1)(a + 2)(a + 3). Числитель: (a + 1) + 2a(a + 2) + (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2) = a + 1 + 2a² + 4a + a + 3 − 2a² − 6a − 4 = 0. Итог: 0.
Ответ: 1) a/(a² − 1); 2) 0.
Ограничения: a ≠ ±1 в п. 1; a ≠ −1, −2, −3 в п. 2.
1279. 1) 1/(4 + 4√a) − 1/(2 − 2a) + 1/(4 − 4√a);
2) (a√2 + a − √2 − 1)/(a√2 − 2 − √2 + 2a).
1) Область: a ≥ 0, a ≠ 1. Сумма первой и третьей дробей: 1/(4(1 + √a)) + 1/(4(1 − √a)) = (1 − √a + 1 + √a)/(4(1 − a)) = 2/(4(1 − a)) = 1/(2(1 − a)). Вторая дробь: 1/(2 − 2a) = 1/(2(1 − a)). Разность равна 0.
2) Числитель: a(√2 + 1) − (√2 + 1) = (√2 + 1)(a − 1). Знаменатель: a(√2 + 2) − (2 + √2) = (√2 + 2)(a − 1). Дробь равна (√2 + 1)/(√2 + 2) = (√2 + 1)/(√2(1 + √2)) = 1/√2 = √2/2 (a ≠ 1).
Ответ: 1) 0; 2) √2/2.
1280. Упростить выражение и найти его значение:
1) (1 + √((a − x)/(a + x))) · (1 − √((a − x)/(a + x))) при a = 5, x = 4;
2) (a + √(a² − x²))/(a − √(a² − x²)) − (a − √(a² − x²))/(a + √(a² − x²)) при a = 3, x = √5.
1) По формуле разности квадратов: 1 − (a − x)/(a + x) = (a + x − a + x)/(a + x) = 2x/(a + x). При a = 5, x = 4: 8/9.
2) Пусть s = √(a² − x²). Выражение (a + s)/(a − s) − (a − s)/(a + s) = ((a + s)² − (a − s)²)/(a² − s²) = 4as/x² (так как a² − s² = x²). При a = 3, x = √5: s = √(9 − 5) = 2, значение: 4 · 3 · 2/5 = 24/5 = 4,8.
Ответ: 1) 2x/(a + x) = 8/9; 2) 4a√(a² − x²)/x² = 4,8.
Упростить выражение (1281—1288).
1281. 1) x^(1/2)/(1 + x^(1/2)) · (x^(1/2)/(1 − x^(1/2)) − 1/(x^(1/2) − x));
2) (m + 2m^(1/2) + 1)/(2m^(1/2)) · (2m^(1/2)/(m^(1/2) − 1) − 4m^(1/2)/(m − 1)).
1) Пусть t = x^(1/2), x > 0, x ≠ 1. Выражение: t/(1 + t) · (t/(1 − t) − 1/(t − t²)). Так как t − t² = t(1 − t), разность равна (t² − 1)/(t(1 − t)) = −(1 − t)(1 + t)/(t(1 − t)) = −(1 + t)/t. Произведение: t/(1 + t) · (−(1 + t)/t) = −1.
2) Пусть t = m^(1/2), m > 0, m ≠ 1. m + 2m^(1/2) + 1 = (t + 1)². Разность в скобках: 2t/(t − 1) − 4t/((t − 1)(t + 1)) = (2t(t + 1) − 4t)/((t − 1)(t + 1)) = 2t(t − 1)/((t − 1)(t + 1)) = 2t/(t + 1). Произведение: (t + 1)²/(2t) · 2t/(t + 1) = t + 1 = m^(1/2) + 1.
Ответ: 1) −1; 2) 1 + √m.
1282. 1) 6n · √(m/(2n)) · √(18mn);
2) (a − 1)/(a^(3/4) + a^(1/2)) · (a^(1/2) + a^(1/4))/(a^(1/2) + 1) · a^(1/4).
1) При m > 0, n > 0: √(m/(2n)) · √(18mn) = √(18m²n/(2n)) = √(9m²) = 3m. Выражение: 6n · 3m = 18mn.
2) Пусть s = a^(1/4), a > 0. Тогда a − 1 = s⁴ − 1 = (s² − 1)(s² + 1); a^(3/4) + a^(1/2) = s³ + s² = s²(s + 1); a^(1/2) + a^(1/4) = s² + s = s(s + 1); a^(1/2) + 1 = s² + 1. Выражение: (s² − 1)(s² + 1)/(s²(s + 1)) · s(s + 1)/(s² + 1) · s = (s² − 1) · s²/s² = s² − 1 = √a − 1.
Ответ: 1) 18mn; 2) √a − 1.
1283. 1. ((a√a − 1)/(√a − 1) + √a) : (a − 1)/(√a − 1);
2) ((1 + b√b)/(1 + √b) − √b) · (1 + √b)/(1 − b).
1) Пусть t = √a, a ≥ 0, a ≠ 1. (t³ − 1)/(t − 1) = t² + t + 1; прибавим t: t² + 2t + 1 = (t + 1)². Делитель: (t² − 1)/(t − 1) = t + 1. Частное: (t + 1)²/(t + 1) = t + 1 = √a + 1.
2) Пусть s = √b, b ≥ 0, b ≠ 1. (1 + s³)/(1 + s) = 1 − s + s²; вычтем s: 1 − 2s + s² = (1 − s)². Умножаем на (1 + s)/(1 − s²) = 1/(1 − s): (1 − s)²/(1 − s) = 1 − s = 1 − √b.
Ответ: 1) √a + 1; 2) 1 − √b.
1284. (a^(−1) b^(−2) − a^(−2) b^(−1))/(a^(−5/3) b^(−2) − b^(−5/3) a^(−2)) − a^(1/3) b^(1/3).
Пусть a = u³, b = v³ (u > 0, v > 0, u ≠ v). Тогда a^(−1) b^(−2) = u^(−3) v^(−6), a^(−2) b^(−1) = u^(−6) v^(−3), a^(−5/3) b^(−2) = u^(−5) v^(−6), b^(−5/3) a^(−2) = v^(−5) u^(−6).
Числитель: u^(−6) v^(−6) (u³ − v³). Знаменатель: u^(−6) v^(−6) (u − v).
Дробь равна (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v². Вычитаем a^(1/3) b^(1/3) = uv: остаётся u² + v² = a^(2/3) + b^(2/3).
Ответ: a^(2/3) + b^(2/3).
1285. 1. ((a + √(ab))/√(a² + ab) − √(ab + b²)/(√(ab) + b))^(−2) − (√(a³b) + √(ab³))/(2ab);
2) (√a + √b)^(−2) · (1/a + 1/b) + 2(a^(−1/2) + b^(−1/2))/(√a + √b)³.
Считаем a > 0, b > 0.
1) (a + √(ab))/√(a(a + b)) = √a(√a + √b)/(√a · √(a + b)) = (√a + √b)/√(a + b). √(ab + b²)/(√(ab) + b) = √b · √(a + b)/(√b(√a + √b)) = √(a + b)/(√a + √b). Разность: ((√a + √b)² − (a + b))/(√(a + b)(√a + √b)) = 2√(ab)/(√(a + b)(√a + √b)). В степени −2: (a + b)(√a + √b)²/(4ab). Далее √(a³b) + √(ab³) = (a + b)√(ab), и вычитаемое равно (a + b)√(ab)/(2ab). Итого: (a + b)/(4ab) · ((√a + √b)² − 2√(ab)) = (a + b)/(4ab) · (a + b) = (a + b)²/(4ab).
2) 1/a + 1/b = (a + b)/(ab); a^(−1/2) + b^(−1/2) = (√a + √b)/√(ab). Второе слагаемое: 2(√a + √b)/(√(ab)(√a + √b)³) = 2/(√(ab)(√a + √b)²). Сумма: ((a + b)/(ab) + 2/√(ab))/(√a + √b)² = ((a + b + 2√(ab))/(ab))/(√a + √b)² = 1/(ab).
Ответ: 1. (a + b)²/(4ab); 2) 1/(ab).
1286. ((9a − 25a^(−1))/(3a^(1/2) − 5a^(−1/2)) − (a + 7 + 10a^(−1))/(a^(1/2) + 2a^(−1/2)))^4.
Область: a > 0, a ≠ 5/3. Первая дробь: числитель (9a² − 25)/a = (3a − 5)(3a + 5)/a, знаменатель (3a − 5)/√a; дробь равна (3a + 5)/√a.
Вторая дробь: числитель (a² + 7a + 10)/a = (a + 2)(a + 5)/a, знаменатель (a + 2)/√a; дробь равна (a + 5)/√a.
Разность: (3a + 5 − a − 5)/√a = 2a/√a = 2√a. В четвёртой степени: (2√a)⁴ = 16a².
Ответ: 16a².