Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 406
1287. ((3∛b)/(∛(b⁴) − 9∛b) + 1/(√b − 9/√b))^(−2) − (b² + 18b + 81)^0,5.
Область: b > 0, b ≠ 9. Пусть c = ∛b, тогда ∛(b⁴) = c⁴, и c⁴ − 9c = c(c³ − 9) = c(b − 9). Первая дробь: 3c/(c(b − 9)) = 3/(b − 9). Вторая: 1/(√b − 9/√b) = √b/(b − 9). Сумма: (3 + √b)/(b − 9) = (3 + √b)/((√b − 3)(√b + 3)) = 1/(√b − 3).
В степени −2: (√b − 3)² = b − 6√b + 9.
Второе слагаемое: (b² + 18b + 81)^0,5 = √((b + 9)²) = b + 9 (так как b > 0).
Разность: b − 6√b + 9 − b − 9 = −6√b.
Ответ: −6√b.
В степени −2: (√b − 3)² = b − 6√b + 9.
Второе слагаемое: (b² + 18b + 81)^0,5 = √((b + 9)²) = b + 9 (так как b > 0).
Разность: b − 6√b + 9 − b − 9 = −6√b.
Ответ: −6√b.
1288.
1. (1 + tg² α)/(1 + ctg² α);
2) (1 + tg α)(1 + ctg α) − 1/(sin α cos α).
2) (1 + tg α)(1 + ctg α) − 1/(sin α cos α).
1) 1 + tg² α = 1/cos² α, 1 + ctg² α = 1/sin² α. Отношение: sin² α/cos² α = tg² α.
2) (1 + tg α)(1 + ctg α) = 1 + ctg α + tg α + tg α · ctg α = 2 + tg α + ctg α. Здесь tg α + ctg α = (sin² α + cos² α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α). Значит, выражение равно 2 + 1/(sin α cos α) − 1/(sin α cos α) = 2.
Ответ: 1) tg² α; 2) 2.
2) (1 + tg α)(1 + ctg α) = 1 + ctg α + tg α + tg α · ctg α = 2 + tg α + ctg α. Здесь tg α + ctg α = (sin² α + cos² α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α). Значит, выражение равно 2 + 1/(sin α cos α) − 1/(sin α cos α) = 2.
Ответ: 1) tg² α; 2) 2.
1289. Доказать тождество (1 − (sin α + cos α)²)/(sin α cos α − ctg α) = 2 tg² α.
Числитель: 1 − (sin² α + 2 sin α cos α + cos² α) = −2 sin α cos α.
Знаменатель: sin α cos α − cos α/sin α = cos α (sin² α − 1)/sin α = −cos³ α/sin α.
Дробь: (−2 sin α cos α) · (−sin α/cos³ α) = 2 sin² α/cos² α = 2 tg² α. Тождество доказано.
Знаменатель: sin α cos α − cos α/sin α = cos α (sin² α − 1)/sin α = −cos³ α/sin α.
Дробь: (−2 sin α cos α) · (−sin α/cos³ α) = 2 sin² α/cos² α = 2 tg² α. Тождество доказано.
Упростить выражение (1290—1291).
1290. 1) sin² (α + 8π) + cos² (α + 10π);
2) cos² (α + 6π) + cos² (α − 4π).
1290. 1) sin² (α + 8π) + cos² (α + 10π);
2) cos² (α + 6π) + cos² (α − 4π).
Период синуса и косинуса равен 2π, поэтому слагаемые 8π, 10π, 6π, 4π можно отбросить.
1) sin² α + cos² α = 1.
2) cos² α + cos² α = 2 cos² α.
Ответ: 1) 1; 2) 2 cos² α.
1) sin² α + cos² α = 1.
2) cos² α + cos² α = 2 cos² α.
Ответ: 1) 1; 2) 2 cos² α.
1291. sin 2α/(2(1 − 2 cos² α)) + sin α cos (π − α)/(1 − 2 sin² α).
1 − 2 cos² α = −cos 2α; 1 − 2 sin² α = cos 2α; cos (π − α) = −cos α.
Первая дробь: sin 2α/(−2 cos 2α) = −(1/2) tg 2α. Вторая: −sin α cos α/cos 2α = −(sin 2α)/(2 cos 2α) = −(1/2) tg 2α.
Сумма: −tg 2α.
Ответ: −tg 2α.
Первая дробь: sin 2α/(−2 cos 2α) = −(1/2) tg 2α. Вторая: −sin α cos α/cos 2α = −(sin 2α)/(2 cos 2α) = −(1/2) tg 2α.
Сумма: −tg 2α.
Ответ: −tg 2α.
1292. Доказать тождество cos² x/(1 + sin x) − sin² x/(1 − cos x) = −sin x − cos x.
Область: sin x ≠ −1, cos x ≠ 1.
cos² x/(1 + sin x) = (1 − sin² x)/(1 + sin x) = 1 − sin x.
sin² x/(1 − cos x) = (1 − cos² x)/(1 − cos x) = 1 + cos x.
Разность: 1 − sin x − 1 − cos x = −sin x − cos x. Тождество доказано.
cos² x/(1 + sin x) = (1 − sin² x)/(1 + sin x) = 1 − sin x.
sin² x/(1 − cos x) = (1 − cos² x)/(1 − cos x) = 1 + cos x.
Разность: 1 − sin x − 1 − cos x = −sin x − cos x. Тождество доказано.
1293. Разложить на множители:
1) 1 + cos α + sin α;
2) 1 − cos α − sin α;
3) 3 − 4 sin² α;
4) 1 − 4 cos² α.
1) 1 + cos α + sin α;
2) 1 − cos α − sin α;
3) 3 − 4 sin² α;
4) 1 − 4 cos² α.
1) 1 + cos α = 2 cos² (α/2), sin α = 2 sin (α/2) cos (α/2). Сумма: 2 cos (α/2) (cos (α/2) + sin (α/2)) = 2√2 cos (α/2) sin (α/2 + π/4).
2) 1 − cos α = 2 sin² (α/2). Выражение: 2 sin² (α/2) − 2 sin (α/2) cos (α/2) = 2 sin (α/2) (sin (α/2) − cos (α/2)) = 2√2 sin (α/2) sin (α/2 − π/4).
3) 3 − 4 sin² α = 4 (sin² (π/3) − sin² α) = 4 sin (π/3 + α) sin (π/3 − α) (по формуле sin² A − sin² B = sin (A + B) sin (A − B)). Можно и так: (√3 − 2 sin α)(√3 + 2 sin α).
4) 1 − 4 cos² α = 4 (cos² (π/3) − cos² α) = 4 sin (α + π/3) sin (α − π/3) (так как cos² A − cos² B = −sin (A + B) sin (A − B)). Можно и так: (1 − 2 cos α)(1 + 2 cos α).
Ответ: 1) 2 cos (α/2)(cos (α/2) + sin (α/2)); 2) 2 sin (α/2)(sin (α/2) − cos (α/2)); 3. (√3 − 2 sin α)(√3 + 2 sin α) = 4 sin (π/3 + α) sin (π/3 − α); 4. (1 − 2 cos α)(1 + 2 cos α) = 4 sin (α + π/3) sin (α − π/3).
2) 1 − cos α = 2 sin² (α/2). Выражение: 2 sin² (α/2) − 2 sin (α/2) cos (α/2) = 2 sin (α/2) (sin (α/2) − cos (α/2)) = 2√2 sin (α/2) sin (α/2 − π/4).
3) 3 − 4 sin² α = 4 (sin² (π/3) − sin² α) = 4 sin (π/3 + α) sin (π/3 − α) (по формуле sin² A − sin² B = sin (A + B) sin (A − B)). Можно и так: (√3 − 2 sin α)(√3 + 2 sin α).
4) 1 − 4 cos² α = 4 (cos² (π/3) − cos² α) = 4 sin (α + π/3) sin (α − π/3) (так как cos² A − cos² B = −sin (A + B) sin (A − B)). Можно и так: (1 − 2 cos α)(1 + 2 cos α).
Ответ: 1) 2 cos (α/2)(cos (α/2) + sin (α/2)); 2) 2 sin (α/2)(sin (α/2) − cos (α/2)); 3. (√3 − 2 sin α)(√3 + 2 sin α) = 4 sin (π/3 + α) sin (π/3 − α); 4. (1 − 2 cos α)(1 + 2 cos α) = 4 sin (α + π/3) sin (α − π/3).
1294. Доказать, что если α + β + γ = π, то:
1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin (α/2) sin (β/2) cos (γ/2);
2) sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 4 sin α sin β sin γ.
1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin (α/2) sin (β/2) cos (γ/2);
2) sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 4 sin α sin β sin γ.
Так как α + β = π − γ, то sin (α + β) = sin γ, cos (α + β) = −cos γ, (α + β)/2 = π/2 − γ/2.
1) sin α + sin β = 2 sin ((α + β)/2) cos ((α − β)/2) = 2 cos (γ/2) cos ((α − β)/2). sin γ = 2 sin (γ/2) cos (γ/2). Тогда левая часть: 2 cos (γ/2) (cos ((α − β)/2) − sin (γ/2)). Но sin (γ/2) = cos ((α + β)/2), и cos ((α − β)/2) − cos ((α + β)/2) = 2 sin (α/2) sin (β/2). Получаем 4 sin (α/2) sin (β/2) cos (γ/2).
2) sin 2α + sin 2β = 2 sin (α + β) cos (α − β) = 2 sin γ cos (α − β). sin 2γ = 2 sin γ cos γ = −2 sin γ cos (α + β). Сумма: 2 sin γ (cos (α − β) − cos (α + β)) = 2 sin γ · 2 sin α sin β = 4 sin α sin β sin γ.
Тождества доказаны.
1) sin α + sin β = 2 sin ((α + β)/2) cos ((α − β)/2) = 2 cos (γ/2) cos ((α − β)/2). sin γ = 2 sin (γ/2) cos (γ/2). Тогда левая часть: 2 cos (γ/2) (cos ((α − β)/2) − sin (γ/2)). Но sin (γ/2) = cos ((α + β)/2), и cos ((α − β)/2) − cos ((α + β)/2) = 2 sin (α/2) sin (β/2). Получаем 4 sin (α/2) sin (β/2) cos (γ/2).
2) sin 2α + sin 2β = 2 sin (α + β) cos (α − β) = 2 sin γ cos (α − β). sin 2γ = 2 sin γ cos γ = −2 sin γ cos (α + β). Сумма: 2 sin γ (cos (α − β) − cos (α + β)) = 2 sin γ · 2 sin α sin β = 4 sin α sin β sin γ.
Тождества доказаны.
1295. Известно, что tg α = 2. Найти значение выражения:
1) (sin² α + sin α cos α)/(cos² α + 3 cos α sin α);
2) (2 − sin² α)/(3 + cos² α).
1) (sin² α + sin α cos α)/(cos² α + 3 cos α sin α);
2) (2 − sin² α)/(3 + cos² α).
1) Разделим числитель и знаменатель на cos² α: (tg² α + tg α)/(1 + 3 tg α) = (4 + 2)/(1 + 6) = 6/7.
2) sin² α = tg² α/(1 + tg² α) = 4/5, cos² α = 1/5. Значение: (2 − 4/5)/(3 + 1/5) = (6/5)/(16/5) = 6/16 = 3/8.
Ответ: 1) 6/7; 2) 3/8.
2) sin² α = tg² α/(1 + tg² α) = 4/5, cos² α = 1/5. Значение: (2 − 4/5)/(3 + 1/5) = (6/5)/(16/5) = 6/16 = 3/8.
Ответ: 1) 6/7; 2) 3/8.
1296. Известно, что tg α + ctg α = 3. Найти tg² α + ctg² α.
Возведём в квадрат: tg² α + 2 tg α ctg α + ctg² α = 9. Так как tg α ctg α = 1, получаем tg² α + ctg² α = 9 − 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7.
Упростить выражение (1297—1302).
1297. 1. (cos α + sin α)/(cos α − sin α) − tg (π/4 + α);
2) tg² (π/2 − α) − (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α).
1297. 1. (cos α + sin α)/(cos α − sin α) − tg (π/4 + α);
2) tg² (π/2 − α) − (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α).
1) Разделим числитель и знаменатель первой дроби на cos α: (1 + tg α)/(1 − tg α) = (tg (π/4) + tg α)/(1 − tg (π/4) tg α) = tg (π/4 + α). Разность равна 0.
2) tg (π/2 − α) = ctg α. (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α) = 2 sin² α/(2 cos² α) = tg² α. Выражение: ctg² α − tg² α = (cos⁴ α − sin⁴ α)/(sin² α cos² α) = cos 2α/(sin² α cos² α) = 4 cos 2α/sin² 2α.
Ответ: 1) 0; 2) 4 cos 2α/sin² 2α.
2) tg (π/2 − α) = ctg α. (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α) = 2 sin² α/(2 cos² α) = tg² α. Выражение: ctg² α − tg² α = (cos⁴ α − sin⁴ α)/(sin² α cos² α) = cos 2α/(sin² α cos² α) = 4 cos 2α/sin² 2α.
Ответ: 1) 0; 2) 4 cos 2α/sin² 2α.
1298.
1. (tg α + tg β)/(ctg α + ctg β);
2) (sin α + cos α)² + (sin α − cos α)²;
3) (sin (π/4 + α) − cos (π/4 + α))/(sin (π/4 + α) + cos (π/4 + α));
4) (sin α + 2 sin (π/3 − α))/(2 cos (π/6 − α) − √3 cos α).
2) (sin α + cos α)² + (sin α − cos α)²;
3) (sin (π/4 + α) − cos (π/4 + α))/(sin (π/4 + α) + cos (π/4 + α));
4) (sin α + 2 sin (π/3 − α))/(2 cos (π/6 − α) − √3 cos α).
1) ctg α + ctg β = (tg α + tg β)/(tg α tg β). Дробь равна tg α tg β.
2) Раскрываем: (1 + 2 sin α cos α) + (1 − 2 sin α cos α) = 2.
3) sin (π/4 + α) = (√2/2)(cos α + sin α), cos (π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α). Разность: √2 sin α, сумма: √2 cos α. Дробь равна tg α.
4) Числитель: sin α + 2((√3/2) cos α − (1/2) sin α) = sin α + √3 cos α − sin α = √3 cos α. Знаменатель: 2((√3/2) cos α + (1/2) sin α) − √3 cos α = sin α. Дробь: √3 cos α/sin α = √3 ctg α.
Ответ: 1) tg α tg β; 2) 2; 3) tg α; 4) √3 ctg α.
2) Раскрываем: (1 + 2 sin α cos α) + (1 − 2 sin α cos α) = 2.
3) sin (π/4 + α) = (√2/2)(cos α + sin α), cos (π/4 + α) = (√2/2)(cos α − sin α). Разность: √2 sin α, сумма: √2 cos α. Дробь равна tg α.
4) Числитель: sin α + 2((√3/2) cos α − (1/2) sin α) = sin α + √3 cos α − sin α = √3 cos α. Знаменатель: 2((√3/2) cos α + (1/2) sin α) − √3 cos α = sin α. Дробь: √3 cos α/sin α = √3 ctg α.
Ответ: 1) tg α tg β; 2) 2; 3) tg α; 4) √3 ctg α.
1299.
1. (1 − tg² (π/4 − α))/(1 + tg² (π/4 − α));
2) sin 2α/(1 + cos 2α).
2) sin 2α/(1 + cos 2α).
1) (1 − tg² θ)/(1 + tg² θ) = cos 2θ. При θ = π/4 − α: cos (π/2 − 2α) = sin 2α.
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = 2 sin α cos α/(2 cos² α) = tg α.
Ответ: 1) sin 2α; 2) tg α.
2) sin 2α/(1 + cos 2α) = 2 sin α cos α/(2 cos² α) = tg α.
Ответ: 1) sin 2α; 2) tg α.