Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 404
1269. Вычислить cos 2α, если sin α = 1/3.
cos 2α = 1 − 2 sin² α = 1 − 2 · (1/9) = 1 − 2/9 = 7/9.
Ответ: 7/9.
Ответ: 7/9.
1270. Найти значение выражения sin (11π/3) + cos 690° − cos (19π/3).
sin (11π/3) = sin (4π − π/3) = −sin (π/3) = −√3/2.
cos 690° = cos (720° − 30°) = cos 30° = √3/2.
cos (19π/3) = cos (6π + π/3) = cos (π/3) = 1/2.
Сумма: −√3/2 + √3/2 − 1/2 = −1/2.
Ответ: −0,5.
cos 690° = cos (720° − 30°) = cos 30° = √3/2.
cos (19π/3) = cos (6π + π/3) = cos (π/3) = 1/2.
Сумма: −√3/2 + √3/2 − 1/2 = −1/2.
Ответ: −0,5.
Вычислить (1271—1276).
1271. 1) 2 arctg 1 − 3 arcsin (√3/2);
2) 8 arccos (√2/2) + 6 arctg √3.
1271. 1) 2 arctg 1 − 3 arcsin (√3/2);
2) 8 arccos (√2/2) + 6 arctg √3.
1) arctg 1 = π/4, arcsin (√3/2) = π/3. Значение: 2 · π/4 − 3 · π/3 = π/2 − π = −π/2.
2) arccos (√2/2) = π/4, arctg √3 = π/3. Значение: 8 · π/4 + 6 · π/3 = 2π + 2π = 4π.
Ответ: 1) −π/2; 2) 4π.
2) arccos (√2/2) = π/4, arctg √3 = π/3. Значение: 8 · π/4 + 6 · π/3 = 2π + 2π = 4π.
Ответ: 1) −π/2; 2) 4π.
1272. 1) sin (2 arcsin (√3/2));
2) tg (2 arctg 3).
2) tg (2 arctg 3).
1) arcsin (√3/2) = π/3, поэтому sin (2π/3) = sin (π − π/3) = sin (π/3) = √3/2.
2) Пусть φ = arctg 3, tg φ = 3. По формуле tg 2φ = 2 tg φ/(1 − tg² φ) = 6/(1 − 9) = −6/8 = −3/4.
Ответ: 1) √3/2; 2) −3/4.
2) Пусть φ = arctg 3, tg φ = 3. По формуле tg 2φ = 2 tg φ/(1 − tg² φ) = 6/(1 − 9) = −6/8 = −3/4.
Ответ: 1) √3/2; 2) −3/4.
1273. 1) log_4 sin (π/4);
2) log_10 tg (π/4);
3) log_8 sin (3π/4);
4) log_2 cos (π/3);
5) log_3 1 − log_4 tg (π/4) · log_5 cos 0.
2) log_10 tg (π/4);
3) log_8 sin (3π/4);
4) log_2 cos (π/3);
5) log_3 1 − log_4 tg (π/4) · log_5 cos 0.
1) sin (π/4) = √2/2 = 2^(−1/2); log_4 2^(−1/2) = −(1/2) log_4 2 = −(1/2) · (1/2) = −1/4.
2) tg (π/4) = 1, log_10 1 = 0.
3) sin (3π/4) = √2/2 = 2^(−1/2); log_8 2^(−1/2) = −(1/2) · (1/3) = −1/6.
4) cos (π/3) = 1/2; log_2 (1/2) = −1.
5) log_3 1 = 0; tg (π/4) = 1, log_4 1 = 0; cos 0 = 1, log_5 1 = 0. Значение: 0 − 0 · 0 = 0.
Ответ: 1) −1/4; 2) 0; 3) −1/6; 4) −1; 5) 0.
2) tg (π/4) = 1, log_10 1 = 0.
3) sin (3π/4) = √2/2 = 2^(−1/2); log_8 2^(−1/2) = −(1/2) · (1/3) = −1/6.
4) cos (π/3) = 1/2; log_2 (1/2) = −1.
5) log_3 1 = 0; tg (π/4) = 1, log_4 1 = 0; cos 0 = 1, log_5 1 = 0. Значение: 0 − 0 · 0 = 0.
Ответ: 1) −1/4; 2) 0; 3) −1/6; 4) −1; 5) 0.
1274. 1) ctg (arctg √3);
2) ctg (arctg 1);
3) sin (arctg (−√3));
4) sin (arctg (1/√3));
5) cos (arctg 1);
6) cos (arctg (−√3)).
2) ctg (arctg 1);
3) sin (arctg (−√3));
4) sin (arctg (1/√3));
5) cos (arctg 1);
6) cos (arctg (−√3)).
1) arctg √3 = π/3, ctg (π/3) = 1/√3 = √3/3.
2) arctg 1 = π/4, ctg (π/4) = 1.
3) arctg (−√3) = −π/3, sin (−π/3) = −√3/2.
4) arctg (1/√3) = π/6, sin (π/6) = 1/2.
5) arctg 1 = π/4, cos (π/4) = √2/2.
6) arctg (−√3) = −π/3, cos (−π/3) = cos (π/3) = 1/2.
Ответ: 1) √3/3; 2) 1; 3) −√3/2; 4) 1/2; 5) √2/2; 6) 1/2.
2) arctg 1 = π/4, ctg (π/4) = 1.
3) arctg (−√3) = −π/3, sin (−π/3) = −√3/2.
4) arctg (1/√3) = π/6, sin (π/6) = 1/2.
5) arctg 1 = π/4, cos (π/4) = √2/2.
6) arctg (−√3) = −π/3, cos (−π/3) = cos (π/3) = 1/2.
Ответ: 1) √3/3; 2) 1; 3) −√3/2; 4) 1/2; 5) √2/2; 6) 1/2.
1275. 1) cos (6 arccos (√2/2));
2) sin (5 arccos 0).
2) sin (5 arccos 0).
1) arccos (√2/2) = π/4, cos (6 · π/4) = cos (3π/2) = 0.
2) arccos 0 = π/2, sin (5π/2) = sin (2π + π/2) = sin (π/2) = 1.
Ответ: 1) 0; 2) 1.
2) arccos 0 = π/2, sin (5π/2) = sin (2π + π/2) = sin (π/2) = 1.
Ответ: 1) 0; 2) 1.
1276.
1. (sin α cos α)/(sin² α − cos² α) при tg α = 3/4;
2) sin α cos α, если sin α + cos α = 1/3.
2) sin α cos α, если sin α + cos α = 1/3.
1) Разделим числитель и знаменатель на cos² α (cos α ≠ 0): (tg α)/(tg² α − 1) = (3/4)/(9/16 − 1) = (3/4)/(−7/16) = −(3/4)(16/7) = −12/7.
2) Возведём равенство в квадрат: (sin α + cos α)² = sin² α + cos² α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α = 1/9. Отсюда 2 sin α cos α = 1/9 − 1 = −8/9, sin α cos α = −4/9.
Ответ: 1) −12/7; 2) −4/9.
2) Возведём равенство в квадрат: (sin α + cos α)² = sin² α + cos² α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α = 1/9. Отсюда 2 sin α cos α = 1/9 − 1 = −8/9, sin α cos α = −4/9.
Ответ: 1) −12/7; 2) −4/9.
Упростить выражение (1277—1279).
1277. 1. (a + 2)/(a − 2) · ((2a² − a − 3)/(a² + 5a + 6) : (2a − 3)/(a − 2));
2) (2 + 1/b) : (8b² + 8b + 2)/(b² − 4b) · (2b + 1)/b.
1277. 1. (a + 2)/(a − 2) · ((2a² − a − 3)/(a² + 5a + 6) : (2a − 3)/(a − 2));
2) (2 + 1/b) : (8b² + 8b + 2)/(b² − 4b) · (2b + 1)/b.
1) Разложим: 2a² − a − 3 = (2a − 3)(a + 1); a² + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3). Выражение в скобках: (2a − 3)(a + 1)/((a + 2)(a + 3)) · (a − 2)/(2a − 3) = (a + 1)(a − 2)/((a + 2)(a + 3)). Умножаем на (a + 2)/(a − 2): (a + 1)/(a + 3).
2) 2 + 1/b = (2b + 1)/b; 8b² + 8b + 2 = 2(2b + 1)²; b² − 4b = b(b − 4). Тогда выражение равно (2b + 1)/b · b(b − 4)/(2(2b + 1)²) · (2b + 1)/b = (b − 4)/(2b).
Ответ: 1. (a + 1)/(a + 3); 2. (b − 4)/(2b).
2) 2 + 1/b = (2b + 1)/b; 8b² + 8b + 2 = 2(2b + 1)²; b² − 4b = b(b − 4). Тогда выражение равно (2b + 1)/b · b(b − 4)/(2(2b + 1)²) · (2b + 1)/b = (b − 4)/(2b).
Ответ: 1. (a + 1)/(a + 3); 2. (b − 4)/(2b).