Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 402
1250. Сравнить числа:
1) 2,5^(1/7) и 2,5^(0,5);
2) 0,2^(2/3) и 0,2^(3/4);
3) log_(3,1) √10 и log_(3,1) 3;
4) log_(0,3) (4/5) и log_(0,3) (3/4).
1) 2,5^(1/7) и 2,5^(0,5);
2) 0,2^(2/3) и 0,2^(3/4);
3) log_(3,1) √10 и log_(3,1) 3;
4) log_(0,3) (4/5) и log_(0,3) (3/4).
1) Основание 2,5 > 1, функция возрастает. 1/7 < 0,5, поэтому 2,5^(1/7) < 2,5^(0,5).
2) Основание 0,2 меньше 1, функция убывает. 2/3 < 3/4, поэтому 0,2^(2/3) > 0,2^(3/4).
3) Основание 3,1 > 1, логарифм возрастает. √10 > 3 (так как 10 > 9), поэтому log_(3,1) √10 > log_(3,1) 3.
4) Основание 0,3 меньше 1, логарифм убывает. 4/5 > 3/4 (16/20 > 15/20), поэтому log_(0,3) (4/5) < log_(0,3) (3/4).
Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.
2) Основание 0,2 меньше 1, функция убывает. 2/3 < 3/4, поэтому 0,2^(2/3) > 0,2^(3/4).
3) Основание 3,1 > 1, логарифм возрастает. √10 > 3 (так как 10 > 9), поэтому log_(3,1) √10 > log_(3,1) 3.
4) Основание 0,3 меньше 1, логарифм убывает. 4/5 > 3/4 (16/20 > 15/20), поэтому log_(0,3) (4/5) < log_(0,3) (3/4).
Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.
1251. Какому из промежутков (0; 1) или (1; +∞) принадлежит число a, если:
1) a^(0,2) > 1;
2) a^(−1,3) > 1;
3) a^(−3,1) < 1;
4) a^(2,7) < 1;
5) log_a 0,2 > 0;
6) log_a 1,3 > 0?
1) a^(0,2) > 1;
2) a^(−1,3) > 1;
3) a^(−3,1) < 1;
4) a^(2,7) < 1;
5) log_a 0,2 > 0;
6) log_a 1,3 > 0?
Здесь a > 0. Сравниваем со значением a⁰ = 1 и log_a 1 = 0 по монотонности.
1) a^(0,2) > a⁰ при положительном показателе возможно, только если функция возрастает, то есть a > 1. Промежуток (1; +∞).
2) a^(−1,3) > a⁰ при отрицательном показателе возможно, только если функция убывает, то есть 0 < a < 1. Промежуток (0; 1).
3) a^(−3,1) < a⁰ при отрицательном показателе означает, что функция возрастает: a > 1. Промежуток (1; +∞).
4) a^(2,7) < a⁰ при положительном показателе означает, что функция убывает: 0 < a < 1. Промежуток (0; 1).
5) log_a 0,2 > 0, а 0,2 < 1: логарифм числа, меньшего 1, положителен только при основании меньше 1. Промежуток (0; 1).
6) log_a 1,3 > 0, а 1,3 > 1: логарифм положителен при основании больше 1. Промежуток (1; +∞).
Ответ: 1. (1; +∞); 2. (0; 1); 3. (1; +∞); 4. (0; 1); 5. (0; 1); 6. (1; +∞).
1) a^(0,2) > a⁰ при положительном показателе возможно, только если функция возрастает, то есть a > 1. Промежуток (1; +∞).
2) a^(−1,3) > a⁰ при отрицательном показателе возможно, только если функция убывает, то есть 0 < a < 1. Промежуток (0; 1).
3) a^(−3,1) < a⁰ при отрицательном показателе означает, что функция возрастает: a > 1. Промежуток (1; +∞).
4) a^(2,7) < a⁰ при положительном показателе означает, что функция убывает: 0 < a < 1. Промежуток (0; 1).
5) log_a 0,2 > 0, а 0,2 < 1: логарифм числа, меньшего 1, положителен только при основании меньше 1. Промежуток (0; 1).
6) log_a 1,3 > 0, а 1,3 > 1: логарифм положителен при основании больше 1. Промежуток (1; +∞).
Ответ: 1. (1; +∞); 2. (0; 1); 3. (1; +∞); 4. (0; 1); 5. (0; 1); 6. (1; +∞).
1252. Какое из чисел больше:
1) √18 или 4^(log₂ 3 + log₄ (5/11));
2) корень 3-й степени из 18 или (1/6)^(log₆ 2 − (1/2) log_(√6) 5)?
1) √18 или 4^(log₂ 3 + log₄ (5/11));
2) корень 3-й степени из 18 или (1/6)^(log₆ 2 − (1/2) log_(√6) 5)?
1) 4^(log₂ 3) = 2^(2 log₂ 3) = 9; 4^(log₄ (5/11)) = 5/11. Значит, 4^(log₂ 3 + log₄ (5/11)) = 9 · 5/11 = 45/11 ≈ 4,09. Сравниваем √18 и 45/11: возводим в квадрат, 18 и 2025/121 ≈ 16,74. Так как 18 > 2025/121, то √18 > 45/11.
2) log_(√6) 5 = log₆ 5 / log₆ √6 = 2 log₆ 5, поэтому (1/2) log_(√6) 5 = log₆ 5. Показатель: log₆ 2 − log₆ 5 = log₆ (2/5). Тогда (1/6)^(log₆ (2/5)) = 6^(−log₆ (2/5)) = 6^(log₆ (5/2)) = 5/2. Сравниваем корень 3-й степени из 18 и 5/2: возводим в куб, 18 и 125/8 = 15,625. Так как 18 > 15,625, то корень 3-й степени из 18 больше.
Ответ: 1) √18; 2) корень 3-й степени из 18.
2) log_(√6) 5 = log₆ 5 / log₆ √6 = 2 log₆ 5, поэтому (1/2) log_(√6) 5 = log₆ 5. Показатель: log₆ 2 − log₆ 5 = log₆ (2/5). Тогда (1/6)^(log₆ (2/5)) = 6^(−log₆ (2/5)) = 6^(log₆ (5/2)) = 5/2. Сравниваем корень 3-й степени из 18 и 5/2: возводим в куб, 18 и 125/8 = 15,625. Так как 18 > 15,625, то корень 3-й степени из 18 больше.
Ответ: 1) √18; 2) корень 3-й степени из 18.
1253. Между какими целыми числами заключено число:
1) lg 50;
2) log₂ 10?
1) lg 50;
2) log₂ 10?
1) 10 < 50 < 100, поэтому lg 10 < lg 50 < lg 100, то есть 1 < lg 50 < 2.
2) 8 < 10 < 16, поэтому log₂ 8 < log₂ 10 < log₂ 16, то есть 3 < log₂ 10 < 4.
Ответ: 1) между 1 и 2; 2) между 3 и 4.
2) 8 < 10 < 16, поэтому log₂ 8 < log₂ 10 < log₂ 16, то есть 3 < log₂ 10 < 4.
Ответ: 1) между 1 и 2; 2) между 3 и 4.
Упростить (1254—1255).
1254.
1) 3√(5/9) − (1/2)√20 + 3√180 − 4√(125/4);
2) 1/(√6 − √5) − 3/(√5 + √2) − 4/(√6 − √2).
1254.
1) 3√(5/9) − (1/2)√20 + 3√180 − 4√(125/4);
2) 1/(√6 − √5) − 3/(√5 + √2) − 4/(√6 − √2).
1) 3√(5/9) = 3 · √5/3 = √5; (1/2)√20 = (1/2) · 2√5 = √5; 3√180 = 3 · 6√5 = 18√5; 4√(125/4) = 4 · 5√5/2 = 10√5. Итог: √5 − √5 + 18√5 − 10√5 = 8√5.
2) Избавляемся от иррациональности в знаменателях:
1/(√6 − √5) = (√6 + √5)/(6 − 5) = √6 + √5;
3/(√5 + √2) = 3(√5 − √2)/(5 − 2) = √5 − √2;
4/(√6 − √2) = 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.
Итог: √6 + √5 − √5 + √2 − √6 − √2 = 0.
Ответ: 1) 8√5; 2) 0.
2) Избавляемся от иррациональности в знаменателях:
1/(√6 − √5) = (√6 + √5)/(6 − 5) = √6 + √5;
3/(√5 + √2) = 3(√5 − √2)/(5 − 2) = √5 − √2;
4/(√6 − √2) = 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.
Итог: √6 + √5 − √5 + √2 − √6 − √2 = 0.
Ответ: 1) 8√5; 2) 0.
1255.
1) √(a⁴(9a² − 6a + 1));
2) √(b²(4b⁴ + 4b² + 1)).
1) √(a⁴(9a² − 6a + 1));
2) √(b²(4b⁴ + 4b² + 1)).
1) 9a² − 6a + 1 = (3a − 1)². Тогда √(a⁴(3a − 1)²) = a² · |3a − 1| (так как √(a⁴) = a² ≥ 0).
2) 4b⁴ + 4b² + 1 = (2b² + 1)². Тогда √(b²(2b² + 1)²) = |b| · (2b² + 1), так как 2b² + 1 > 0.
Ответ: 1) a² |3a − 1|; 2) |b| (2b² + 1).
2) 4b⁴ + 4b² + 1 = (2b² + 1)². Тогда √(b²(2b² + 1)²) = |b| · (2b² + 1), так как 2b² + 1 > 0.
Ответ: 1) a² |3a − 1|; 2) |b| (2b² + 1).
1256. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 5/(√3 − √2);
2) 3/(√6 + √5);
3) 12/(√10 − √7);
4) 8/(√11 + √3).
1) 5/(√3 − √2);
2) 3/(√6 + √5);
3) 12/(√10 − √7);
4) 8/(√11 + √3).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.
1) 5(√3 + √2)/(3 − 2) = 5(√3 + √2).
2) 3(√6 − √5)/(6 − 5) = 3(√6 − √5).
3) 12(√10 + √7)/(10 − 7) = 4(√10 + √7).
4) 8(√11 − √3)/(11 − 3) = √11 − √3.
Ответ: 1) 5(√3 + √2); 2) 3(√6 − √5); 3) 4(√10 + √7); 4) √11 − √3.
1) 5(√3 + √2)/(3 − 2) = 5(√3 + √2).
2) 3(√6 − √5)/(6 − 5) = 3(√6 − √5).
3) 12(√10 + √7)/(10 − 7) = 4(√10 + √7).
4) 8(√11 − √3)/(11 − 3) = √11 − √3.
Ответ: 1) 5(√3 + √2); 2) 3(√6 − √5); 3) 4(√10 + √7); 4) √11 − √3.
1257. Освободиться от иррациональности в числителе дроби:
1) √5/10;
2) 3√6/6;
3) (√7 − √5)/2.
1) √5/10;
2) 3√6/6;
3) (√7 − √5)/2.
Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю.
1) √5/10 = (√5 · √5)/(10 · √5) = 5/(10√5) = 1/(2√5).
2) 3√6/6 = (3√6 · √6)/(6 · √6) = 18/(6√6) = 3/√6.
3) (√7 − √5)/2 = ((√7 − √5)(√7 + √5))/(2(√7 + √5)) = (7 − 5)/(2(√7 + √5)) = 1/(√7 + √5).
Ответ: 1) 1/(2√5); 2) 3/√6; 3) 1/(√7 + √5).
1) √5/10 = (√5 · √5)/(10 · √5) = 5/(10√5) = 1/(2√5).
2) 3√6/6 = (3√6 · √6)/(6 · √6) = 18/(6√6) = 3/√6.
3) (√7 − √5)/2 = ((√7 − √5)(√7 + √5))/(2(√7 + √5)) = (7 − 5)/(2(√7 + √5)) = 1/(√7 + √5).
Ответ: 1) 1/(2√5); 2) 3/√6; 3) 1/(√7 + √5).
1258. Записать в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,(4);
2) 2,(7);
3) 0,(21);
4) 1,(36);
5) 0,3(5);
6) 0,21(3).
1) 0,(4);
2) 2,(7);
3) 0,(21);
4) 1,(36);
5) 0,3(5);
6) 0,21(3).
1) 0,(4): x = 0,444...; 10x − x = 4, x = 4/9.
2) 2,(7) = 2 + 7/9 = 25/9.
3) 0,(21): 100x − x = 21, x = 21/99 = 7/33.
4) 1,(36) = 1 + 36/99 = 1 + 4/11 = 15/11 (1 4/11).
5) 0,3(5): x = 0,3555...; 100x − 10x = 35,5... − 3,5... = 35 − 3 = 32, 90x = 32, x = 32/90 = 16/45.
6) 0,21(3): 1000x − 100x = 213 − 21 = 192, 900x = 192, x = 192/900 = 16/75.
Ответ: 1) 4/9; 2) 25/9; 3) 7/33; 4) 15/11; 5) 16/45; 6) 16/75.
2) 2,(7) = 2 + 7/9 = 25/9.
3) 0,(21): 100x − x = 21, x = 21/99 = 7/33.
4) 1,(36) = 1 + 36/99 = 1 + 4/11 = 15/11 (1 4/11).
5) 0,3(5): x = 0,3555...; 100x − 10x = 35,5... − 3,5... = 35 − 3 = 32, 90x = 32, x = 32/90 = 16/45.
6) 0,21(3): 1000x − 100x = 213 − 21 = 192, 900x = 192, x = 192/900 = 16/75.
Ответ: 1) 4/9; 2) 25/9; 3) 7/33; 4) 15/11; 5) 16/45; 6) 16/75.
1259. Записать в виде десятичной периодической дроби число:
1) 5/6;
2) 2 1/9;
3) 1/7;
4) 5 2/11.
1) 5/6;
2) 2 1/9;
3) 1/7;
4) 5 2/11.
Делим числитель на знаменатель уголком.
1) 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3).
2) 2 1/9 = 2 + 0,111... = 2,(1).
3) 1 : 7 = 0,142857142857... = 0,(142857).
4) 5 2/11 = 5 + 0,181818... = 5,(18).
Ответ: 1) 0,8(3); 2) 2,(1); 3) 0,(142857); 4) 5,(18).
1) 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3).
2) 2 1/9 = 2 + 0,111... = 2,(1).
3) 1 : 7 = 0,142857142857... = 0,(142857).
4) 5 2/11 = 5 + 0,181818... = 5,(18).
Ответ: 1) 0,8(3); 2) 2,(1); 3) 0,(142857); 4) 5,(18).
1260. Может ли быть рациональным числом:
1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
2) произведение двух иррациональных чисел;
3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
2) произведение двух иррациональных чисел;
3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
1) Да. Например, √2 и 2 − √2 (оба положительны и иррациональны): √2 + (2 − √2) = 2.
2) Да. Например, √2 · √2 = 2.
3) Да. Возьмём a = √2 и b = 2 + √2 (положительные, иррациональные, a ≠ b). Тогда a + b = 2 + 2√2, ab = √2(2 + √2) = 2√2 + 2, и частное (a + b)/(ab) = 1 — рациональное число.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) да.
2) Да. Например, √2 · √2 = 2.
3) Да. Возьмём a = √2 и b = 2 + √2 (положительные, иррациональные, a ≠ b). Тогда a + b = 2 + 2√2, ab = √2(2 + √2) = 2√2 + 2, и частное (a + b)/(ab) = 1 — рациональное число.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) да.