Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 403
1261. Доказать, что если a и b — натуральные числа и √(ab) — рациональное число, то √(a/b) также рациональное число, а если √(ab) — иррациональное число, то и √(a/b) — иррациональное число.
Заметим, что √(a/b) = √(ab/b²) = √(ab)/b, где b — натуральное число.
Пусть √(ab) — рациональное число. Тогда √(a/b) = √(ab)/b — частное рационального числа и натурального числа b ≠ 0, то есть рациональное число.
Пусть √(ab) — иррациональное число. Допустим, что √(a/b) = r рационально. Тогда √(ab) = b · r — произведение натурального и рационального чисел, то есть рациональное число. Это противоречит условию. Значит, √(a/b) иррационально.
Что и требовалось доказать.
Пусть √(ab) — рациональное число. Тогда √(a/b) = √(ab)/b — частное рационального числа и натурального числа b ≠ 0, то есть рациональное число.
Пусть √(ab) — иррациональное число. Допустим, что √(a/b) = r рационально. Тогда √(ab) = b · r — произведение натурального и рационального чисел, то есть рациональное число. Это противоречит условию. Значит, √(a/b) иррационально.
Что и требовалось доказать.
1262. Пусть a — рациональное число, b — иррациональное число, a ≠ 0, b ≠ 0. Доказать, что a + b, a · b, a/b, b/a — иррациональные числа.
Каждое утверждение докажем от противного.
1) Пусть a + b = r рационально. Тогда b = r − a — разность рациональных чисел, то есть рациональное число. Противоречие, значит a + b иррационально.
2) Пусть a · b = r рационально. Так как a ≠ 0, то b = r/a рационально. Противоречие, значит a · b иррационально.
3) Пусть a/b = r рационально. Так как a ≠ 0, то r ≠ 0, и b = a/r рационально. Противоречие, значит a/b иррационально.
4) Пусть b/a = r рационально. Тогда b = a · r рационально. Противоречие, значит b/a иррационально.
Что и требовалось доказать.
1) Пусть a + b = r рационально. Тогда b = r − a — разность рациональных чисел, то есть рациональное число. Противоречие, значит a + b иррационально.
2) Пусть a · b = r рационально. Так как a ≠ 0, то b = r/a рационально. Противоречие, значит a · b иррационально.
3) Пусть a/b = r рационально. Так как a ≠ 0, то r ≠ 0, и b = a/r рационально. Противоречие, значит a/b иррационально.
4) Пусть b/a = r рационально. Тогда b = a · r рационально. Противоречие, значит b/a иррационально.
Что и требовалось доказать.
1263. Имеют ли общие точки промежутки:
1) [1; 3√2 + 2√7] и [3√3 + 4; 15];
2) (0; √27 + √6) и (√48 − 1; 10);
3) [2; 2√5 + 2√6] и (3√2 + √22; 11);
4) [1; 1 + √3] и (2/(√3 − 1); 4)?
1) [1; 3√2 + 2√7] и [3√3 + 4; 15];
2) (0; √27 + √6) и (√48 − 1; 10);
3) [2; 2√5 + 2√6] и (3√2 + √22; 11);
4) [1; 1 + √3] и (2/(√3 − 1); 4)?
Два промежутка имеют общие точки, если левый конец каждого из них лежит левее правого конца другого (с учётом того, закрыты концы или нет). Оценим концы по значениям √2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732, √5 ≈ 2,236, √6 ≈ 2,449, √7 ≈ 2,646, √22 ≈ 4,690, √27 ≈ 5,196, √48 ≈ 6,928.
1) Правый конец первого: 3√2 + 2√7 ≈ 4,243 + 5,292 = 9,535. Левый конец второго: 3√3 + 4 ≈ 5,196 + 4 = 9,196. Так как 9,196 < 9,535 (и 9,196 > 1, 9,535 < 15), то промежутки пересекаются по отрезку [3√3 + 4; 3√2 + 2√7]. Ответ: да.
2) Правый конец первого: √27 + √6 ≈ 5,196 + 2,449 = 7,645. Левый конец второго: √48 − 1 ≈ 5,928. Так как 5,928 < 7,645, промежутки пересекаются по интервалу (√48 − 1; √27 + √6). Ответ: да.
3) Правый конец первого: 2√5 + 2√6 ≈ 4,472 + 4,899 = 9,371. Левый конец второго: 3√2 + √22 ≈ 4,243 + 4,690 = 8,933. Так как 8,933 < 9,371, промежутки пересекаются по интервалу (3√2 + √22; 2√5 + 2√6]. Ответ: да.
4) Преобразуем: 2/(√3 − 1) = 2(√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = 2(√3 + 1)/2 = √3 + 1. Первый промежуток [1; 1 + √3], второй (1 + √3; 4). Число 1 + √3 принадлежит первому, но не принадлежит второму (конец исключён), остальные точки второго больше 1 + √3. Общих точек нет. Ответ: нет.
Итог: 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет.
1) Правый конец первого: 3√2 + 2√7 ≈ 4,243 + 5,292 = 9,535. Левый конец второго: 3√3 + 4 ≈ 5,196 + 4 = 9,196. Так как 9,196 < 9,535 (и 9,196 > 1, 9,535 < 15), то промежутки пересекаются по отрезку [3√3 + 4; 3√2 + 2√7]. Ответ: да.
2) Правый конец первого: √27 + √6 ≈ 5,196 + 2,449 = 7,645. Левый конец второго: √48 − 1 ≈ 5,928. Так как 5,928 < 7,645, промежутки пересекаются по интервалу (√48 − 1; √27 + √6). Ответ: да.
3) Правый конец первого: 2√5 + 2√6 ≈ 4,472 + 4,899 = 9,371. Левый конец второго: 3√2 + √22 ≈ 4,243 + 4,690 = 8,933. Так как 8,933 < 9,371, промежутки пересекаются по интервалу (3√2 + √22; 2√5 + 2√6]. Ответ: да.
4) Преобразуем: 2/(√3 − 1) = 2(√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = 2(√3 + 1)/2 = √3 + 1. Первый промежуток [1; 1 + √3], второй (1 + √3; 4). Число 1 + √3 принадлежит первому, но не принадлежит второму (конец исключён), остальные точки второго больше 1 + √3. Общих точек нет. Ответ: нет.
Итог: 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет.
1264. Пусть 0 < a < b. Доказать, что на числовой оси:
1) точка (a + b)/2 — середина отрезка [a; b];
2) точка (a + bc)/(1 + c), где c > 0, лежит внутри отрезка [a; b].
1) точка (a + b)/2 — середина отрезка [a; b];
2) точка (a + bc)/(1 + c), где c > 0, лежит внутри отрезка [a; b].
1) Найдём расстояния от точки m = (a + b)/2 до концов: m − a = (a + b − 2a)/2 = (b − a)/2; b − m = (2b − a − b)/2 = (b − a)/2. Расстояния равны, и a < m < b, значит m — середина отрезка [a; b].
2) Пусть p = (a + bc)/(1 + c), c > 0, тогда 1 + c > 0.
p − a = (a + bc − a − ac)/(1 + c) = c(b − a)/(1 + c) > 0, так как c > 0, b − a > 0. Значит p > a.
b − p = (b + bc − a − bc)/(1 + c) = (b − a)/(1 + c) > 0. Значит p < b.
Итак, a < p < b: точка лежит внутри отрезка [a; b].
Что и требовалось доказать.
2) Пусть p = (a + bc)/(1 + c), c > 0, тогда 1 + c > 0.
p − a = (a + bc − a − ac)/(1 + c) = c(b − a)/(1 + c) > 0, так как c > 0, b − a > 0. Значит p > a.
b − p = (b + bc − a − bc)/(1 + c) = (b − a)/(1 + c) > 0. Значит p < b.
Итак, a < p < b: точка лежит внутри отрезка [a; b].
Что и требовалось доказать.
1265.
1. Вычислить диаметр x круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 186), если a = 6 см.
2) Вычислить угол α заготовки, изображённой на рисунке 187, если a = 4 см.
[рисунок 186: зубцы с углом 60° между сторонами; расстояние между вершинами соседних зубцов равно a; круг диаметром x касается обеих сторон угла и прямой, проходящей через вершины зубцов. Рисунок 187: цилиндрическая заготовка диаметром 4,5 см с конической заострённой частью; длина конической части равна a, угол при вершине конуса равен α.]
2) Вычислить угол α заготовки, изображённой на рисунке 187, если a = 4 см.
[рисунок 186: зубцы с углом 60° между сторонами; расстояние между вершинами соседних зубцов равно a; круг диаметром x касается обеих сторон угла и прямой, проходящей через вершины зубцов. Рисунок 187: цилиндрическая заготовка диаметром 4,5 см с конической заострённой частью; длина конической части равна a, угол при вершине конуса равен α.]
1) Зубец вместе с прямой, проведённой через вершины, образует равносторонний треугольник со стороной a = 6 см (угол 60° при вершине, стороны равны). Круг вписан в этот треугольник, значит его радиус r = a√3/6 = 6√3/6 = √3 см. Диаметр x = 2r = 2√3 ≈ 3,46 см.
Ответ: x = 2√3 ≈ 3,5 см.
2) Осевое сечение конической части — равнобедренный треугольник с основанием 4,5 см, высотой a = 4 см и углом α при вершине. Высота делит его на два прямоугольных треугольника с катетами 4 см и 4,5/2 = 2,25 см, угол при вершине в каждом равен α/2.
tg(α/2) = 2,25/4 = 0,5625, α/2 = arctg 0,5625 ≈ 29,36°, α = 2 arctg 0,5625 ≈ 58,7°.
Ответ: α = 2 arctg 0,5625 ≈ 58,7°.
Оговорка: рисунки в условии прочитаны так: в п. 1 круг касается сторон угла и прямой через вершины зубцов; в п. 2 α — угол при вершине конуса, a — длина его оси.
Ответ: x = 2√3 ≈ 3,5 см.
2) Осевое сечение конической части — равнобедренный треугольник с основанием 4,5 см, высотой a = 4 см и углом α при вершине. Высота делит его на два прямоугольных треугольника с катетами 4 см и 4,5/2 = 2,25 см, угол при вершине в каждом равен α/2.
tg(α/2) = 2,25/4 = 0,5625, α/2 = arctg 0,5625 ≈ 29,36°, α = 2 arctg 0,5625 ≈ 58,7°.
Ответ: α = 2 arctg 0,5625 ≈ 58,7°.
Оговорка: рисунки в условии прочитаны так: в п. 1 круг касается сторон угла и прямой через вершины зубцов; в п. 2 α — угол при вершине конуса, a — длина его оси.
1266. Вычислить ширину l ущелья по данным, указанным на рисунке 188.
[рисунок 188: ущелье; от края левого берега к воде проведён луч под углом 54° к горизонтали (линии, соединяющей края берегов); глубина ущелья (расстояние от линии краёв до воды по вертикали) равна 120 м; ширина ущелья l — расстояние между краями по горизонтали; луч приходит в точку воды под правым краем.]
[рисунок 188: ущелье; от края левого берега к воде проведён луч под углом 54° к горизонтали (линии, соединяющей края берегов); глубина ущелья (расстояние от линии краёв до воды по вертикали) равна 120 м; ширина ущелья l — расстояние между краями по горизонтали; луч приходит в точку воды под правым краем.]
Из левого края проведён луч к точке воды, находящейся на вертикали, опущенной с правого края. Получаем прямоугольный треугольник: вертикальный катет равен 120 м, горизонтальный катет равен l, угол между гипотенузой и горизонтальным катетом равен 54°. Тогда угол при нижней вершине равен 90° − 54° = 36°, и l = 120 · tg 36°.
tg 36° ≈ 0,7265, l ≈ 120 · 0,7265 ≈ 87,2 м.
Ответ: l = 120 tg 36° ≈ 87 м.
tg 36° ≈ 0,7265, l ≈ 120 · 0,7265 ≈ 87,2 м.
Ответ: l = 120 tg 36° ≈ 87 м.
1267. Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 189.
[рисунок 189: мост через ущелье; от концов моста (на краях берегов) к одной и той же точке воды проведены два луча: слева под углом 68° к горизонтали, справа под углом 46° к горизонтали; глубина ущелья (высота от воды до моста) 130 м.]
[рисунок 189: мост через ущелье; от концов моста (на краях берегов) к одной и той же точке воды проведены два луча: слева под углом 68° к горизонтали, справа под углом 46° к горизонтали; глубина ущелья (высота от воды до моста) 130 м.]
Пусть H — основание высоты, опущенной из точки воды на линию моста, h = 130 м. Длина моста равна сумме двух горизонтальных катетов: левого и правого.
Левый катет: h/tg 68° = h · tg 22° (так как 90° − 68° = 22°).
Правый катет: h/tg 46° = h · tg 44°.
Длина моста L = 130 (tg 22° + tg 44°) ≈ 130 · (0,4040 + 0,9657) ≈ 130 · 1,3697 ≈ 178 м.
Ответ: L = 130 (tg 22° + tg 44°) ≈ 178 м.
Левый катет: h/tg 68° = h · tg 22° (так как 90° − 68° = 22°).
Правый катет: h/tg 46° = h · tg 44°.
Длина моста L = 130 (tg 22° + tg 44°) ≈ 130 · (0,4040 + 0,9657) ≈ 130 · 1,3697 ≈ 178 м.
Ответ: L = 130 (tg 22° + tg 44°) ≈ 178 м.
1268. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них (0 < α < π/2):
1) cos α = 0,8;
2) sin α = 5/13;
3) tg α = 2,4;
4) ctg α = 7/24.
1) cos α = 0,8;
2) sin α = 5/13;
3) tg α = 2,4;
4) ctg α = 7/24.
Угол α острый, поэтому все функции положительны.
1) sin α = √(1 − 0,64) = √0,36 = 0,6; tg α = 0,6/0,8 = 0,75; ctg α = 4/3.
2) cos α = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13; tg α = (5/13)/(12/13) = 5/12; ctg α = 12/5.
3) tg α = 2,4 = 12/5; ctg α = 5/12; cos α = 1/√(1 + tg² α) = 1/√(1 + 144/25) = 1/√(169/25) = 5/13; sin α = tg α · cos α = (12/5)(5/13) = 12/13.
4) ctg α = 7/24; tg α = 24/7; sin α = 1/√(1 + ctg² α) = 1/√(1 + 49/576) = 1/√(625/576) = 24/25; cos α = ctg α · sin α = (7/24)(24/25) = 7/25.
Ответ: 1) sin α = 0,6, tg α = 0,75, ctg α = 4/3; 2) cos α = 12/13, tg α = 5/12, ctg α = 12/5; 3) sin α = 12/13, cos α = 5/13, ctg α = 5/12; 4) sin α = 24/25, cos α = 7/25, tg α = 24/7.
1) sin α = √(1 − 0,64) = √0,36 = 0,6; tg α = 0,6/0,8 = 0,75; ctg α = 4/3.
2) cos α = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13; tg α = (5/13)/(12/13) = 5/12; ctg α = 12/5.
3) tg α = 2,4 = 12/5; ctg α = 5/12; cos α = 1/√(1 + tg² α) = 1/√(1 + 144/25) = 1/√(169/25) = 5/13; sin α = tg α · cos α = (12/5)(5/13) = 12/13.
4) ctg α = 7/24; tg α = 24/7; sin α = 1/√(1 + ctg² α) = 1/√(1 + 49/576) = 1/√(625/576) = 24/25; cos α = ctg α · sin α = (7/24)(24/25) = 7/25.
Ответ: 1) sin α = 0,6, tg α = 0,75, ctg α = 4/3; 2) cos α = 12/13, tg α = 5/12, ctg α = 12/5; 3) sin α = 12/13, cos α = 5/13, ctg α = 5/12; 4) sin α = 24/25, cos α = 7/25, tg α = 24/7.