Упражнения 1238–1249, стр. 401 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1238–1249 — Упражнения для итогового повторения курса…

Страница 401 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования — с. 401

1238. При делении некоторого числа на 72 получится остаток, равный 68. Каким будет остаток, если это же число разделить на 12?
Пусть число N = 72k + 68, где k — целое неотрицательное. Так как 72 = 12 · 6, то N = 12 · 6k + 68. Число 68 = 12 · 5 + 8, поэтому N = 12(6k + 5) + 8, причём 8 < 12.
Значит, остаток от деления на 12 равен 8.
Ответ: 8.
1239. Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них, если 6% одного числа равны 5% другого.
Пусть первое число x, второе y. Тогда система: x + y = 1100; 0,06x = 0,05y.
Из второго уравнения 6x = 5y, то есть x = 5t, y = 6t. Подставляем: 5t + 6t = 1100, t = 100. Тогда x = 500, y = 600.
Проверка: 0,06 · 500 = 30 = 0,05 · 600.
Наибольшее число — 600.
Ответ: 600.
1240. По вкладу, вносимому на срок не менее года, банк начисляет 3% годовых. Вкладчик внёс в банк вклад в размере 600 р. Какую сумму денег он получит в конце второго года со дня вклада? в конце третьего года со дня вклада?
Каждый год сумма увеличивается в 1,03 раза (проценты начисляются на накопленную сумму).
В конце второго года: 600 · 1,03² = 600 · 1,0609 = 636,54 р., то есть 636 р. 54 к.
В конце третьего года: 636,54 · 1,03 = 655,6362 ≈ 655,64 р., то есть 655 р. 64 к.
Ответ: 636 р. 54 к.; 655 р. 64 к.
1241. По обычному вкладу банк начисляет 2% годовых. Вкладчик внёс 500 р., а через месяц снял со счёта 100 р. Какая сумма денег будет на его счету по истечении года со дня выдачи ему 100 р.?
За месяц на вклад начисляется 1/12 годовых, то есть 2%/12 = 1/6 % от суммы. К моменту снятия на счёте: 500 · (1 + 0,02/12) = 500 + 500/600 ≈ 500,83 р. После снятия 100 р. остаётся 400,83 р. (точно: 400 + 5/6 р.).
За следующий год сумма увеличивается на 2%: (400 + 5/6) · 1,02 = 408 + 0,85 = 408,85 р.
Ответ: 408 р. 85 к.
Оговорка: принято, что проценты за неполный год начисляются пропорционально времени (за месяц — 1/12 годовой ставки); так получен ответ учебника.
Вычислить (1242—1243).
1242.
1) 23,276 : 2,3 − 3,6 · (17,2 · 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 · 3,2;
2) 9,25 · 1,04 − (6,372 : 0,6 + 1,125 · 0,8) : 1,2 + 0,16 · 6,25.
1) 23,276 : 2,3 = 10,12. В скобках: 17,2 · 0,125 = 2,15; 0,005 : 0,1 = 0,05; сумма 2,2. Тогда 3,6 · 2,2 = 7,92. Далее 6,25 · 3,2 = 20.
Итог: 10,12 − 7,92 + 20 = 22,2.
2) 9,25 · 1,04 = 9,62. В скобках: 6,372 : 0,6 = 10,62; 1,125 · 0,8 = 0,9; сумма 11,52. Делим: 11,52 : 1,2 = 9,6. Далее 0,16 · 6,25 = 1.
Итог: 9,62 − 9,6 + 1 = 1,02.
Ответ: 1) 22,2; 2) 1,02.
1243.
1) (28 : 1 3/4 + 7 1/3 : 22 + 1 2/3 · 9 3/4 + 14 : 1 1/2) · 3 1/7 / (10 1/2 − 9 3/4);
2) (1/2 − 0,375) : 0,125 + (5/6 − 7/12) : (0,358 − 0,108).
1) Числитель: 28 : 7/4 = 16; 7 1/3 : 22 = (22/3) · (1/22) = 1/3; 1 2/3 · 9 3/4 = (5/3) · (39/4) = 65/4; 14 : 3/2 = 28/3. Сумма: 16 + 1/3 + 65/4 + 28/3 = 16 + 29/3 + 65/4 = (192 + 116 + 195)/12 = 503/12. Умножаем на 3 1/7 = 22/7: 503/12 · 22/7 = 5533/42.
Знаменатель: 10 1/2 − 9 3/4 = 3/4.
Частное: 5533/42 : 3/4 = 5533/42 · 4/3 = 11066/63 = 175 41/63.
2) 1/2 − 0,375 = 0,125; 0,125 : 0,125 = 1. Далее 5/6 − 7/12 = 10/12 − 7/12 = 1/4 = 0,25; 0,358 − 0,108 = 0,25; частное 1. Итого 1 + 1 = 2.
Ответ: 1) 11066/63 (175 41/63); 2) 2.
Оговорка: в п. 1 результат получился некруглым; в ответах учебника для п. 1 значение не приведено, вычисление выполнено строго по напечатанному условию.
1244. Найти неизвестный член пропорции:
1) 10 : 1/8 = x : 1 1/4;
2) x : 0,75 = 9 1/2 : 14 1/4;
3) x/15 = 1,456/1,05.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
1) 10 : 1/8 = 80, поэтому x : 5/4 = 80, x = 80 · 5/4 = 100.
2) x = 0,75 · 9,5 / 14,25 = 7,125/14,25 = 0,5.
3) x = 15 · 1,456 / 1,05 = 21,84/1,05 = 20,8.
Ответ: 1) 100; 2) 0,5; 3) 20,8.
Вычислить (1245—1249).
1245. ((15 · 5^(1/2) / 125^(−1/3)) − 2 · 7^(1/2) · 49^(1/4)) · ((1/81)^(−1/4) + 45^(1/2)) − 183√5.
Упрощаем отдельно.
125^(−1/3) = 1/5, поэтому 15 · √5 / (1/5) = 75√5.
7^(1/2) · 49^(1/4) = √7 · √7 = 7, тогда 2 · 7 = 14. Первая скобка: 75√5 − 14.
(1/81)^(−1/4) = 81^(1/4) = 3; 45^(1/2) = 3√5. Вторая скобка: 3 + 3√5.
Произведение: (75√5 − 14)(3 + 3√5) = 225√5 + 225 · 5 − 42 − 42√5 = 183√5 + 1083.
Итог: 183√5 + 1083 − 183√5 = 1083.
Ответ: 1083.
1246.
1) log₂₇ 729;
2) log₉ 729;
3) log_(1/3) 729.
729 = 3⁶.
1) log₂₇ 3⁶ = 6 · log_(3³) 3 = 6/3 = 2.
2) log₉ 3⁶ = 6/2 = 3.
3) log_(1/3) 3⁶ = 6 · log_(3⁻¹) 3 = 6/(−1) = −6.
Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) −6.
1247.
1) log_(1/16) корень 5-й степени из 64;
2) log₈ log₄ log₂ 16.
1) корень 5-й степени из 64 = 2^(6/5), 1/16 = 2⁻⁴. Тогда log_(2⁻⁴) 2^(6/5) = (6/5)/(−4) = −6/20 = −3/10.
2) log₂ 16 = 4; log₄ 4 = 1; log₈ 1 = 0.
Ответ: 1) −0,3; 2) 0.
1248.
1) (2^(1/√2))^(√8);
2) (2^(√27))^(√3) · 2^(−3).
1) По свойству степени (a^p)^q = a^(pq): 2^((1/√2) · √8) = 2^(√8/√2) = 2^(√4) = 2² = 4.
2) (2^(√27))^(√3) = 2^(√27 · √3) = 2^(√81) = 2⁹ = 512. Тогда 512 · 2⁻³ = 512/8 = 64.
Ответ: 1) 4; 2) 64.
1249.
1) log₃ (9 / корень 5-й степени из 3) + log₆ корень 5-й степени из 36;
2) 16^(0,5 log₄ 10 + 1).
1) 9/3^(1/5) = 3^(2 − 1/5) = 3^(9/5), log₃ 3^(9/5) = 9/5. Далее корень 5-й степени из 36 = 6^(2/5), log₆ 6^(2/5) = 2/5. Сумма: 9/5 + 2/5 = 11/5 = 2,2.
2) 16^(0,5 log₄ 10 + 1) = 16 · 16^(0,5 log₄ 10) = 16 · (16^(0,5))^(log₄ 10) = 16 · 4^(log₄ 10) = 16 · 10 = 160.
Ответ: 1) 2,2; 2) 160.