Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения — с. 411
1366. 1) sin 2x = 3 sin x cos² x;
2) sin 4x = sin 2x;
3) cos 2x + cos² x = 0;
4) sin 2x = cos² x.
2) sin 4x = sin 2x;
3) cos 2x + cos² x = 0;
4) sin 2x = cos² x.
1) 2 sin x cos x − 3 sin x cos² x = 0; sin x cos x (2 − 3 cos x) = 0. sin x = 0: x = πn. cos x = 0: x = π/2 + πn. Эти две серии записываются как x = πn/2. cos x = 2/3: x = ±arccos (2/3) + 2πn.
2) sin 4x − sin 2x = 0; 2 sin 2x cos 2x − sin 2x = 0; sin 2x (2 cos 2x − 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos 2x = 1/2: 2x = ±π/3 + 2πk, x = ±π/6 + πk.
3) cos 2x = 2 cos² x − 1, уравнение: 3 cos² x = 1; cos x = ±1/√3; x = ±arccos (1/√3) + πn.
4) 2 sin x cos x − cos² x = 0; cos x (2 sin x − cos x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. 2 sin x = cos x: tg x = 1/2, x = arctg (1/2) + πn.
Ответ: 1) πn/2; ±arccos (2/3) + 2πn; 2) πn/2; ±π/6 + πk; 3) ±arccos (1/√3) + πn; 4) π/2 + πn; arctg (1/2) + πn.
2) sin 4x − sin 2x = 0; 2 sin 2x cos 2x − sin 2x = 0; sin 2x (2 cos 2x − 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos 2x = 1/2: 2x = ±π/3 + 2πk, x = ±π/6 + πk.
3) cos 2x = 2 cos² x − 1, уравнение: 3 cos² x = 1; cos x = ±1/√3; x = ±arccos (1/√3) + πn.
4) 2 sin x cos x − cos² x = 0; cos x (2 sin x − cos x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. 2 sin x = cos x: tg x = 1/2, x = arctg (1/2) + πn.
Ответ: 1) πn/2; ±arccos (2/3) + 2πn; 2) πn/2; ±π/6 + πk; 3) ±arccos (1/√3) + πn; 4) π/2 + πn; arctg (1/2) + πn.
1367. 1) sin 2x = 3 cos x;
2) sin 4x = cos⁴ x − sin⁴ x;
3) 2 cos² x = 1 + 4 sin 2x;
4) 2 cos x + cos 2x = 2 sin x.
2) sin 4x = cos⁴ x − sin⁴ x;
3) 2 cos² x = 1 + 4 sin 2x;
4) 2 cos x + cos 2x = 2 sin x.
1) 2 sin x cos x − 3 cos x = 0; cos x (2 sin x − 3) = 0. sin x = 3/2 невозможно, значит cos x = 0, x = π/2 + πn.
2) cos⁴ x − sin⁴ x = (cos² x − sin² x)(cos² x + sin² x) = cos 2x. Уравнение: sin 4x = cos 2x; 2 sin 2x cos 2x − cos 2x = 0; cos 2x (2 sin 2x − 1) = 0. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2. sin 2x = 1/2: 2x = (−1)^k π/6 + πk, x = (−1)^k π/12 + πk/2.
3) 2 cos² x = 1 + cos 2x, поэтому 1 + cos 2x = 1 + 4 sin 2x; cos 2x = 4 sin 2x. Если cos 2x = 0, то sin 2x = ±1 и равенство неверно, значит tg 2x = 1/4, 2x = arctg (1/4) + πn, x = (1/2) arctg (1/4) + πn/2.
4) 2(cos x − sin x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0; (cos x − sin x)(2 + cos x + sin x) = 0. Так как cos x + sin x ≥ −√2 > −2, второй множитель положителен. Остаётся cos x = sin x; tg x = 1; x = π/4 + πn.
Ответ: 1) π/2 + πn; 2) π/4 + πn/2; (−1)^k π/12 + πk/2; 3. (1/2) arctg (1/4) + πn/2; 4) π/4 + πn.
2) cos⁴ x − sin⁴ x = (cos² x − sin² x)(cos² x + sin² x) = cos 2x. Уравнение: sin 4x = cos 2x; 2 sin 2x cos 2x − cos 2x = 0; cos 2x (2 sin 2x − 1) = 0. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2. sin 2x = 1/2: 2x = (−1)^k π/6 + πk, x = (−1)^k π/12 + πk/2.
3) 2 cos² x = 1 + cos 2x, поэтому 1 + cos 2x = 1 + 4 sin 2x; cos 2x = 4 sin 2x. Если cos 2x = 0, то sin 2x = ±1 и равенство неверно, значит tg 2x = 1/4, 2x = arctg (1/4) + πn, x = (1/2) arctg (1/4) + πn/2.
4) 2(cos x − sin x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0; (cos x − sin x)(2 + cos x + sin x) = 0. Так как cos x + sin x ≥ −√2 > −2, второй множитель положителен. Остаётся cos x = sin x; tg x = 1; x = π/4 + πn.
Ответ: 1) π/2 + πn; 2) π/4 + πn/2; (−1)^k π/12 + πk/2; 3. (1/2) arctg (1/4) + πn/2; 4) π/4 + πn.
1368. 1) cos x + cos 2x = 0;
2) cos x − cos 5x = 0;
3) sin 3x + sin x = 2 sin 2x;
4) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
2) cos x − cos 5x = 0;
3) sin 3x + sin x = 2 sin 2x;
4) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
1) cos x + cos 2x = 2 cos (3x/2) cos (x/2) = 0. cos (3x/2) = 0: 3x/2 = π/2 + πn, x = π/3 + 2πn/3. cos (x/2) = 0: x = π + 2πn — эти значения входят в первую серию (n = 1, 4, ...: π/3 + 2π/3 = π). Ответ: x = π/3 + 2πn/3.
2) cos x − cos 5x = 2 sin 3x sin 2x = 0. sin 3x = 0: x = πn/3. sin 2x = 0: x = πn/2.
3) sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos x, уравнение: 2 sin 2x cos x = 2 sin 2x; sin 2x (cos x − 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos x = 1: x = 2πn (входит в предыдущую серию). Ответ: x = πn/2.
4) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 2 sin 2x cos x + sin 2x = sin 2x (2 cos x + 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn.
Ответ: 1) π/3 + 2πn/3; 2) πn/3; πn/2; 3) πn/2; 4) πn/2; ±2π/3 + 2πn; n ∈ Z.
2) cos x − cos 5x = 2 sin 3x sin 2x = 0. sin 3x = 0: x = πn/3. sin 2x = 0: x = πn/2.
3) sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos x, уравнение: 2 sin 2x cos x = 2 sin 2x; sin 2x (cos x − 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos x = 1: x = 2πn (входит в предыдущую серию). Ответ: x = πn/2.
4) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 2 sin 2x cos x + sin 2x = sin 2x (2 cos x + 1) = 0. sin 2x = 0: x = πn/2. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn.
Ответ: 1) π/3 + 2πn/3; 2) πn/3; πn/2; 3) πn/2; 4) πn/2; ±2π/3 + 2πn; n ∈ Z.
1369. 1) 2 cos x + sin x = 0;
2) sin x + √3 cos x = 0.
2) sin x + √3 cos x = 0.
Однородные уравнения первой степени: cos x ≠ 0 (иначе и sin x = 0, что невозможно).
1) tg x = −2; x = −arctg 2 + πn.
2) tg x = −√3; x = −π/3 + πn.
Ответ: 1) −arctg 2 + πn; 2) −π/3 + πn; n ∈ Z.
1) tg x = −2; x = −arctg 2 + πn.
2) tg x = −√3; x = −π/3 + πn.
Ответ: 1) −arctg 2 + πn; 2) −π/3 + πn; n ∈ Z.
1370. 1) 4 sin⁴ x + sin² 2x = 2;
2) sin⁴ (x/3) + cos⁴ (x/3) = 5/8.
2) sin⁴ (x/3) + cos⁴ (x/3) = 5/8.
1) sin² 2x = 4 sin² x cos² x. Левая часть: 4 sin² x (sin² x + cos² x) = 4 sin² x. Уравнение 4 sin² x = 2; sin² x = 1/2; (1 − cos 2x)/2 = 1/2; cos 2x = 0; 2x = π/2 + πn; x = π/4 + πn/2.
2) Пусть t = x/3. sin⁴ t + cos⁴ t = 1 − 2 sin² t cos² t = 1 − (1/2) sin² 2t. Уравнение: 1 − (1/2) sin² 2t = 5/8; sin² 2t = 3/4; (1 − cos 4t)/2 = 3/4; cos 4t = −1/2; 4t = ±2π/3 + 2πn; t = ±π/6 + πn/2; x = 3t = ±π/2 + 3πn/2.
Ответ: 1) π/4 + πn/2; 2) ±π/2 + 3πn/2; n ∈ Z.
2) Пусть t = x/3. sin⁴ t + cos⁴ t = 1 − 2 sin² t cos² t = 1 − (1/2) sin² 2t. Уравнение: 1 − (1/2) sin² 2t = 5/8; sin² 2t = 3/4; (1 − cos 4t)/2 = 3/4; cos 4t = −1/2; 4t = ±2π/3 + 2πn; t = ±π/6 + πn/2; x = 3t = ±π/2 + 3πn/2.
Ответ: 1) π/4 + πn/2; 2) ±π/2 + 3πn/2; n ∈ Z.
1371. 1) √3 sin 2x − cos 2x = √3;
2) 6 sin x + 5 cos x = 6.
2) 6 sin x + 5 cos x = 6.
1) Разделим на 2: (√3/2) sin 2x − (1/2) cos 2x = √3/2; sin (2x − π/6) = √3/2. 2x − π/6 = π/3 + 2πn или 2x − π/6 = 2π/3 + 2πn. Отсюда 2x = π/2 + 2πn, x = π/4 + πn; или 2x = 5π/6 + 2πn, x = 5π/12 + πn.
2) Введём t = tg (x/2): sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 − t²)/(1 + t²). Тогда 12t + 5 − 5t² = 6 + 6t²; 11t² − 12t + 1 = 0; D = 144 − 44 = 100; t = (12 ± 10)/22: t = 1 или t = 1/11. Значения x = π + 2πn (где tg (x/2) не существует) не являются корнями: 6 · 0 + 5 · (−1) = −5 ≠ 6. t = 1: x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn. t = 1/11: x = 2 arctg (1/11) + 2πn.
Ответ: 1) π/4 + πn; 5π/12 + πn; 2) π/2 + 2πn; 2 arctg (1/11) + 2πn; n ∈ Z.
2) Введём t = tg (x/2): sin x = 2t/(1 + t²), cos x = (1 − t²)/(1 + t²). Тогда 12t + 5 − 5t² = 6 + 6t²; 11t² − 12t + 1 = 0; D = 144 − 44 = 100; t = (12 ± 10)/22: t = 1 или t = 1/11. Значения x = π + 2πn (где tg (x/2) не существует) не являются корнями: 6 · 0 + 5 · (−1) = −5 ≠ 6. t = 1: x/2 = π/4 + πn, x = π/2 + 2πn. t = 1/11: x = 2 arctg (1/11) + 2πn.
Ответ: 1) π/4 + πn; 5π/12 + πn; 2) π/2 + 2πn; 2 arctg (1/11) + 2πn; n ∈ Z.
1372. 1) tg³ x + tg² x − 2 tg x − 2 = 0;
2) 1 − cos x = tg x − sin x.
2) 1 − cos x = tg x − sin x.
1) tg² x (tg x + 1) − 2(tg x + 1) = 0; (tg x + 1)(tg² x − 2) = 0. tg x = −1: x = −π/4 + πn. tg x = ±√2: x = ±arctg √2 + πn.
2) ОДЗ: cos x ≠ 0. tg x − sin x = sin x (1/cos x − 1) = sin x (1 − cos x)/cos x. Уравнение: (1 − cos x)(1 − tg x) = 0. cos x = 1: x = 2πn. tg x = 1: x = π/4 + πn.
Ответ: 1) −π/4 + πn; ±arctg √2 + πn; 2) 2πn; π/4 + πn; n ∈ Z.
2) ОДЗ: cos x ≠ 0. tg x − sin x = sin x (1/cos x − 1) = sin x (1 − cos x)/cos x. Уравнение: (1 − cos x)(1 − tg x) = 0. cos x = 1: x = 2πn. tg x = 1: x = π/4 + πn.
Ответ: 1) −π/4 + πn; ±arctg √2 + πn; 2) 2πn; π/4 + πn; n ∈ Z.
1373. 1) sin x + sin 2x = cos x + 2 cos² x;
2) 2 cos 2x = √6 (cos x − sin x).
2) 2 cos 2x = √6 (cos x − sin x).
1) sin x (1 + 2 cos x) = cos x (1 + 2 cos x); (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0. cos x = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn. tg x = 1: x = π/4 + πn.
2) 2(cos x − sin x)(cos x + sin x) − √6 (cos x − sin x) = 0; (cos x − sin x)(2(cos x + sin x) − √6) = 0. cos x = sin x: x = π/4 + πn. cos x + sin x = √6/2: √2 sin (x + π/4) = √6/2; sin (x + π/4) = √3/2; x + π/4 = π/3 + 2πn или x + π/4 = 2π/3 + 2πn; x = π/12 + 2πn или x = 5π/12 + 2πn.
Ответ: 1) ±2π/3 + 2πn; π/4 + πn; 2) π/4 + πn; π/12 + 2πn; 5π/12 + 2πn; n ∈ Z.
2) 2(cos x − sin x)(cos x + sin x) − √6 (cos x − sin x) = 0; (cos x − sin x)(2(cos x + sin x) − √6) = 0. cos x = sin x: x = π/4 + πn. cos x + sin x = √6/2: √2 sin (x + π/4) = √6/2; sin (x + π/4) = √3/2; x + π/4 = π/3 + 2πn или x + π/4 = 2π/3 + 2πn; x = π/12 + 2πn или x = 5π/12 + 2πn.
Ответ: 1) ±2π/3 + 2πn; π/4 + πn; 2) π/4 + πn; π/12 + 2πn; 5π/12 + 2πn; n ∈ Z.
1374. cos 2x/(1 − sin 2x) = cos x + sin x.
1 − sin 2x = (cos x − sin x)², ОДЗ: cos x ≠ sin x, то есть x ≠ π/4 + πn. cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x), поэтому дробь равна (cos x + sin x)/(cos x − sin x). Уравнение: (cos x + sin x)(1/(cos x − sin x) − 1) = 0.
cos x + sin x = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn.
cos x − sin x = 1: √2 cos (x + π/4) = 1; cos (x + π/4) = √2/2; x + π/4 = ±π/4 + 2πn; x = 2πn или x = −π/2 + 2πn. Оба значения в ОДЗ.
Ответ: −π/4 + πn; 2πn; −π/2 + 2πn; n ∈ Z.
cos x + sin x = 0: tg x = −1, x = −π/4 + πn.
cos x − sin x = 1: √2 cos (x + π/4) = 1; cos (x + π/4) = √2/2; x + π/4 = ±π/4 + 2πn; x = 2πn или x = −π/2 + 2πn. Оба значения в ОДЗ.
Ответ: −π/4 + πn; 2πn; −π/2 + 2πn; n ∈ Z.
1375. 1) sin³ x + cos³ x = 0;
2) 2 sin² x + sin² 2x = 2;
3) 8 sin x cos 2x cos x = √3;
4) 4 sin x cos x cos 2x = cos 4x.
2) 2 sin² x + sin² 2x = 2;
3) 8 sin x cos 2x cos x = √3;
4) 4 sin x cos x cos 2x = cos 4x.
1) (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = 0. Второй множитель 1 − (1/2) sin 2x ≥ 1/2 > 0. Остаётся sin x = −cos x; tg x = −1; x = −π/4 + πn.
2) 2 sin² x + 4 sin² x cos² x = 2. Подставим sin² x = 1 − cos² x: 2(1 − cos² x) + 4(1 − cos² x) cos² x = 2; −2 cos² x + 4 cos² x − 4 cos⁴ x = 0; 2 cos² x (1 − 2 cos² x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos² x = 1/2: cos 2x = 0, x = π/4 + πn/2.
3) 8 sin x cos x cos 2x = 4 sin 2x cos 2x = 2 sin 4x. Уравнение: 2 sin 4x = √3; sin 4x = √3/2; 4x = (−1)^k π/3 + πk; x = (−1)^k π/12 + πk/4.
4) 4 sin x cos x cos 2x = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x. Уравнение: sin 4x = cos 4x; tg 4x = 1 (cos 4x = 0 невозможно: тогда sin 4x = ±1); 4x = π/4 + πn; x = π/16 + πn/4.
Ответ: 1) −π/4 + πn; 2) π/2 + πn; π/4 + πn/2; 3. (−1)^k π/12 + πk/4; 4) π/16 + πn/4; n, k ∈ Z.
2) 2 sin² x + 4 sin² x cos² x = 2. Подставим sin² x = 1 − cos² x: 2(1 − cos² x) + 4(1 − cos² x) cos² x = 2; −2 cos² x + 4 cos² x − 4 cos⁴ x = 0; 2 cos² x (1 − 2 cos² x) = 0. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos² x = 1/2: cos 2x = 0, x = π/4 + πn/2.
3) 8 sin x cos x cos 2x = 4 sin 2x cos 2x = 2 sin 4x. Уравнение: 2 sin 4x = √3; sin 4x = √3/2; 4x = (−1)^k π/3 + πk; x = (−1)^k π/12 + πk/4.
4) 4 sin x cos x cos 2x = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x. Уравнение: sin 4x = cos 4x; tg 4x = 1 (cos 4x = 0 невозможно: тогда sin 4x = ±1); 4x = π/4 + πn; x = π/16 + πn/4.
Ответ: 1) −π/4 + πn; 2) π/2 + πn; π/4 + πn/2; 3. (−1)^k π/12 + πk/4; 4) π/16 + πn/4; n, k ∈ Z.
1376. 1) sin⁴ x − cos⁴ x + 2 cos² x = cos 2x;
2) 2 sin² x − cos⁴ x = 1 − sin⁴ x.
2) 2 sin² x − cos⁴ x = 1 − sin⁴ x.
1) sin⁴ x − cos⁴ x = (sin² x − cos² x)(sin² x + cos² x) = −cos 2x. Уравнение: −cos 2x + 2 cos² x = cos 2x; 2 cos² x = 2 cos 2x = 2(2 cos² x − 1); cos² x = 1; sin x = 0; x = πn.
2) cos⁴ x = (1 − sin² x)² = 1 − 2 sin² x + sin⁴ x. Подставим: 2 sin² x − 1 + 2 sin² x − sin⁴ x = 1 − sin⁴ x; 4 sin² x = 2; sin² x = 1/2; cos 2x = 0; x = π/4 + πn/2.
Ответ: 1) πn; 2) π/4 + πn/2; n ∈ Z.
2) cos⁴ x = (1 − sin² x)² = 1 − 2 sin² x + sin⁴ x. Подставим: 2 sin² x − 1 + 2 sin² x − sin⁴ x = 1 − sin⁴ x; 4 sin² x = 2; sin² x = 1/2; cos 2x = 0; x = π/4 + πn/2.
Ответ: 1) πn; 2) π/4 + πn/2; n ∈ Z.
1377. 1) sin³ x cos x + cos³ x sin x = cos 2x;
2) 2 + cos² x + 3 sin x cos x = sin² x.
2) 2 + cos² x + 3 sin x cos x = sin² x.
1) Левая часть: sin x cos x (sin² x + cos² x) = (1/2) sin 2x. Уравнение: (1/2) sin 2x = cos 2x. Если cos 2x = 0, то sin 2x = ±1 и равенство неверно, поэтому tg 2x = 2; 2x = arctg 2 + πn; x = (1/2) arctg 2 + πn/2.
2) Заменим 2 = 2(sin² x + cos² x): 2 sin² x + 2 cos² x + cos² x + 3 sin x cos x − sin² x = 0; sin² x + 3 sin x cos x + 3 cos² x = 0. Разделим на cos² x (cos x = 0 не даёт корней): tg² x + 3 tg x + 3 = 0; D = 9 − 12 < 0. Корней нет.
Ответ: 1. (1/2) arctg 2 + πn/2, n ∈ Z; 2) корней нет.
2) Заменим 2 = 2(sin² x + cos² x): 2 sin² x + 2 cos² x + cos² x + 3 sin x cos x − sin² x = 0; sin² x + 3 sin x cos x + 3 cos² x = 0. Разделим на cos² x (cos x = 0 не даёт корней): tg² x + 3 tg x + 3 = 0; D = 9 − 12 < 0. Корней нет.
Ответ: 1. (1/2) arctg 2 + πn/2, n ∈ Z; 2) корней нет.
1378. 1) 4 sin² x − 8 sin x cos x + 10 cos² x = 3;
2) 3 sin² x − 2 sin x cos x = 1.
2) 3 sin² x − 2 sin x cos x = 1.
Однородные уравнения: заменим правую часть на 3(sin² x + cos² x) и 1 · (sin² x + cos² x).
1) 4 sin² x − 8 sin x cos x + 10 cos² x = 3 sin² x + 3 cos² x; sin² x − 8 sin x cos x + 7 cos² x = 0. cos x = 0 не подходит (получили бы sin² x = 0). tg² x − 8 tg x + 7 = 0; tg x = 1 или tg x = 7; x = π/4 + πn или x = arctg 7 + πn.
2) 3 sin² x − 2 sin x cos x = sin² x + cos² x; 2 sin² x − 2 sin x cos x − cos² x = 0. cos x = 0 не подходит. 2 tg² x − 2 tg x − 1 = 0; D/4 = 1 + 2 = 3; tg x = (1 ± √3)/2; x = arctg ((1 ± √3)/2) + πn.
Ответ: 1) π/4 + πn; arctg 7 + πn; 2) arctg ((1 ± √3)/2) + πn; n ∈ Z.
1) 4 sin² x − 8 sin x cos x + 10 cos² x = 3 sin² x + 3 cos² x; sin² x − 8 sin x cos x + 7 cos² x = 0. cos x = 0 не подходит (получили бы sin² x = 0). tg² x − 8 tg x + 7 = 0; tg x = 1 или tg x = 7; x = π/4 + πn или x = arctg 7 + πn.
2) 3 sin² x − 2 sin x cos x = sin² x + cos² x; 2 sin² x − 2 sin x cos x − cos² x = 0. cos x = 0 не подходит. 2 tg² x − 2 tg x − 1 = 0; D/4 = 1 + 2 = 3; tg x = (1 ± √3)/2; x = arctg ((1 ± √3)/2) + πn.
Ответ: 1) π/4 + πn; arctg 7 + πn; 2) arctg ((1 ± √3)/2) + πn; n ∈ Z.
1379. 1) sin 5x = sin 3x;
2) cos 6x + cos 2x = 0;
3) sin 3x + cos 7x = 0;
4) sin x = cos 5x.
2) cos 6x + cos 2x = 0;
3) sin 3x + cos 7x = 0;
4) sin x = cos 5x.
1) sin 5x − sin 3x = 2 cos 4x sin x = 0. sin x = 0: x = πn. cos 4x = 0: 4x = π/2 + πk, x = π/8 + πk/4.
2) cos 6x + cos 2x = 2 cos 4x cos 2x = 0. cos 4x = 0: x = π/8 + πn/4. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2.
3) cos 7x = −sin 3x = cos (π/2 + 3x). Тогда 7x = ±(π/2 + 3x) + 2πn. Знак «+»: 4x = π/2 + 2πn, x = π/8 + πn/2. Знак «−»: 10x = −π/2 + 2πn, x = −π/20 + πn/5.
4) sin x = cos (π/2 − x), поэтому cos 5x = cos (π/2 − x); 5x = ±(π/2 − x) + 2πn. Знак «+»: 6x = π/2 + 2πn, x = π/12 + πn/3. Знак «−»: 4x = −π/2 + 2πn, x = −π/8 + πn/2.
Ответ: 1) πn; π/8 + πk/4; 2) π/8 + πn/4; π/4 + πn/2; 3) π/8 + πn/2; −π/20 + πn/5; 4) π/12 + πn/3; −π/8 + πn/2; n, k ∈ Z.
2) cos 6x + cos 2x = 2 cos 4x cos 2x = 0. cos 4x = 0: x = π/8 + πn/4. cos 2x = 0: x = π/4 + πn/2.
3) cos 7x = −sin 3x = cos (π/2 + 3x). Тогда 7x = ±(π/2 + 3x) + 2πn. Знак «+»: 4x = π/2 + 2πn, x = π/8 + πn/2. Знак «−»: 10x = −π/2 + 2πn, x = −π/20 + πn/5.
4) sin x = cos (π/2 − x), поэтому cos 5x = cos (π/2 − x); 5x = ±(π/2 − x) + 2πn. Знак «+»: 6x = π/2 + 2πn, x = π/12 + πn/3. Знак «−»: 4x = −π/2 + 2πn, x = −π/8 + πn/2.
Ответ: 1) πn; π/8 + πk/4; 2) π/8 + πn/4; π/4 + πn/2; 3) π/8 + πn/2; −π/20 + πn/5; 4) π/12 + πn/3; −π/8 + πn/2; n, k ∈ Z.
1380. 1) sin x + sin 5x = sin 3x;
2) cos 7x − cos 3x = 3 sin 5x.
2) cos 7x − cos 3x = 3 sin 5x.
1) sin x + sin 5x = 2 sin 3x cos 2x. Уравнение: sin 3x (2 cos 2x − 1) = 0. sin 3x = 0: x = πn/3. cos 2x = 1/2: 2x = ±π/3 + 2πk, x = ±π/6 + πk.
2) cos 7x − cos 3x = −2 sin 5x sin 2x. Уравнение: sin 5x (−2 sin 2x − 3) = 0. Равенство sin 2x = −3/2 невозможно, поэтому sin 5x = 0; x = πn/5.
Ответ: 1) πn/3; ±π/6 + πk; 2) πn/5; n, k ∈ Z.
2) cos 7x − cos 3x = −2 sin 5x sin 2x. Уравнение: sin 5x (−2 sin 2x − 3) = 0. Равенство sin 2x = −3/2 невозможно, поэтому sin 5x = 0; x = πn/5.
Ответ: 1) πn/3; ±π/6 + πk; 2) πn/5; n, k ∈ Z.
1381. 1) cos x sin 9x = cos 3x sin 7x;
2) sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
2) sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
1) cos x sin 9x = (sin 10x + sin 8x)/2; cos 3x sin 7x = (sin 10x + sin 4x)/2. Уравнение: sin 8x = sin 4x; sin 8x − sin 4x = 2 cos 6x sin 2x = 0. cos 6x = 0: 6x = π/2 + πn, x = π/12 + πn/6. sin 2x = 0: x = πn/2.
2) sin x cos 5x = (sin 6x − sin 4x)/2; sin 9x cos 3x = (sin 12x + sin 6x)/2. Уравнение: −sin 4x = sin 12x; sin 12x + sin 4x = 2 sin 8x cos 4x = 0. sin 8x = 0: x = πn/8. cos 4x = 0: x = π/8 + πn/4 — эти значения уже входят в серию x = πn/8.
Ответ: 1) π/12 + πn/6; πn/2; 2) πn/8; n ∈ Z.
2) sin x cos 5x = (sin 6x − sin 4x)/2; sin 9x cos 3x = (sin 12x + sin 6x)/2. Уравнение: −sin 4x = sin 12x; sin 12x + sin 4x = 2 sin 8x cos 4x = 0. sin 8x = 0: x = πn/8. cos 4x = 0: x = π/8 + πn/4 — эти значения уже входят в серию x = πn/8.
Ответ: 1) π/12 + πn/6; πn/2; 2) πn/8; n ∈ Z.
1382. 1) 5 + sin 2x = 5 (sin x + cos x);
2) 2 + 2 cos x = 3 sin x cos x + 2 sin x.
2) 2 + 2 cos x = 3 sin x cos x + 2 sin x.
1) Пусть u = sin x + cos x, тогда sin 2x = u² − 1. Уравнение: 5 + u² − 1 = 5u; u² − 5u + 4 = 0; u = 1 или u = 4. Так как |u| ≤ √2, u = 4 невозможно. sin x + cos x = 1: √2 sin (x + π/4) = 1; sin (x + π/4) = √2/2; x + π/4 = π/4 + 2πn или x + π/4 = 3π/4 + 2πn; x = 2πn или x = π/2 + 2πn.
2) Пусть w = cos x − sin x. Тогда w² = 1 − 2 sin x cos x, sin x cos x = (1 − w²)/2. Уравнение: 2 + 2w = 3(1 − w²)/2; 4 + 4w = 3 − 3w²; 3w² + 4w + 1 = 0; w = −1 или w = −1/3.
w = −1: √2 cos (x + π/4) = −1; cos (x + π/4) = −√2/2; x + π/4 = ±3π/4 + 2πn; x = π/2 + 2πn или x = −π + 2πn = π + 2πn.
w = −1/3: cos x − sin x = √2 sin (π/4 − x) = −1/3; sin (π/4 − x) = −√2/6; π/4 − x = (−1)^(k+1) arcsin (√2/6) + πk; x = π/4 + (−1)^k arcsin (√2/6) − πk, то есть x = π/4 + (−1)^n arcsin (√2/6) + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) 2πn; π/2 + 2πn; 2) π/2 + 2πn; π + 2πn; π/4 + (−1)^n arcsin (√2/6) + πn; n ∈ Z.
2) Пусть w = cos x − sin x. Тогда w² = 1 − 2 sin x cos x, sin x cos x = (1 − w²)/2. Уравнение: 2 + 2w = 3(1 − w²)/2; 4 + 4w = 3 − 3w²; 3w² + 4w + 1 = 0; w = −1 или w = −1/3.
w = −1: √2 cos (x + π/4) = −1; cos (x + π/4) = −√2/2; x + π/4 = ±3π/4 + 2πn; x = π/2 + 2πn или x = −π + 2πn = π + 2πn.
w = −1/3: cos x − sin x = √2 sin (π/4 − x) = −1/3; sin (π/4 − x) = −√2/6; π/4 − x = (−1)^(k+1) arcsin (√2/6) + πk; x = π/4 + (−1)^k arcsin (√2/6) − πk, то есть x = π/4 + (−1)^n arcsin (√2/6) + πn, n ∈ Z.
Ответ: 1) 2πn; π/2 + 2πn; 2) π/2 + 2πn; π + 2πn; π/4 + (−1)^n arcsin (√2/6) + πn; n ∈ Z.
1383. 1) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0;
2) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
2) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
1) (sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 2 sin (5x/2) cos (3x/2) + 2 sin (5x/2) cos (x/2) = 2 sin (5x/2)(cos (3x/2) + cos (x/2)) = 4 sin (5x/2) cos x cos (x/2) = 0. sin (5x/2) = 0: x = 2πn/5. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos (x/2) = 0: x = π + 2πn.
2) (cos x + cos 4x) + (cos 2x + cos 3x) = 2 cos (5x/2)(cos (3x/2) + cos (x/2)) = 4 cos (5x/2) cos x cos (x/2) = 0. cos (5x/2) = 0: 5x/2 = π/2 + πn, x = π/5 + 2πn/5. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos (x/2) = 0: x = π + 2πn — эти значения входят в серию x = π/5 + 2πn/5 (при n = 2, 7, ...).
Ответ: 1) 2πn/5; π/2 + πn; π + 2πn; 2) π/5 + 2πn/5; π/2 + πn; n ∈ Z.
2) (cos x + cos 4x) + (cos 2x + cos 3x) = 2 cos (5x/2)(cos (3x/2) + cos (x/2)) = 4 cos (5x/2) cos x cos (x/2) = 0. cos (5x/2) = 0: 5x/2 = π/2 + πn, x = π/5 + 2πn/5. cos x = 0: x = π/2 + πn. cos (x/2) = 0: x = π + 2πn — эти значения входят в серию x = π/5 + 2πn/5 (при n = 2, 7, ...).
Ответ: 1) 2πn/5; π/2 + πn; π + 2πn; 2) π/5 + 2πn/5; π/2 + πn; n ∈ Z.
1384. 1) tg² 3x − 4 sin² 3x = 0;
2) sin x tg x = cos x + tg x;
3) ctg x (ctg x + 1/sin x) = 1;
4) 4 ctg² x = 5 − 9/sin x.
2) sin x tg x = cos x + tg x;
3) ctg x (ctg x + 1/sin x) = 1;
4) 4 ctg² x = 5 − 9/sin x.
1) ОДЗ: cos 3x ≠ 0. sin² 3x (1/cos² 3x − 4) = 0. sin 3x = 0: x = πn/3. cos² 3x = 1/4: cos 3x = ±1/2; 3x = ±π/3 + πn; x = ±π/9 + πn/3.
2) ОДЗ: cos x ≠ 0. sin² x/cos x = cos x + sin x/cos x; sin² x = cos² x + sin x; 2 sin² x − sin x − 1 = 0 (так как cos² x = 1 − sin² x); sin x = 1 или sin x = −1/2. sin x = 1 исключается ОДЗ (cos x = 0). sin x = −1/2: x = (−1)^(n+1) π/6 + πn.
3) ОДЗ: sin x ≠ 0. (cos x/sin x) · (cos x + 1)/sin x = 1; cos x (1 + cos x) = sin² x = (1 − cos x)(1 + cos x); (1 + cos x)(2 cos x − 1) = 0. cos x = −1 исключается ОДЗ. cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn.
4) ОДЗ: sin x ≠ 0. 4(1 − sin² x)/sin² x = 5 − 9/sin x; 4 − 4 sin² x = 5 sin² x − 9 sin x; 9 sin² x − 9 sin x − 4 = 0; D = 81 + 144 = 225; sin x = (9 ± 15)/18: sin x = 4/3 (невозможно) или sin x = −1/3. x = (−1)^(n+1) arcsin (1/3) + πn.
Ответ: 1) πn/3; ±π/9 + πn/3; 2. (−1)^(n+1) π/6 + πn; 3) ±π/3 + 2πn; 4. (−1)^(n+1) arcsin (1/3) + πn; n ∈ Z.
2) ОДЗ: cos x ≠ 0. sin² x/cos x = cos x + sin x/cos x; sin² x = cos² x + sin x; 2 sin² x − sin x − 1 = 0 (так как cos² x = 1 − sin² x); sin x = 1 или sin x = −1/2. sin x = 1 исключается ОДЗ (cos x = 0). sin x = −1/2: x = (−1)^(n+1) π/6 + πn.
3) ОДЗ: sin x ≠ 0. (cos x/sin x) · (cos x + 1)/sin x = 1; cos x (1 + cos x) = sin² x = (1 − cos x)(1 + cos x); (1 + cos x)(2 cos x − 1) = 0. cos x = −1 исключается ОДЗ. cos x = 1/2: x = ±π/3 + 2πn.
4) ОДЗ: sin x ≠ 0. 4(1 − sin² x)/sin² x = 5 − 9/sin x; 4 − 4 sin² x = 5 sin² x − 9 sin x; 9 sin² x − 9 sin x − 4 = 0; D = 81 + 144 = 225; sin x = (9 ± 15)/18: sin x = 4/3 (невозможно) или sin x = −1/3. x = (−1)^(n+1) arcsin (1/3) + πn.
Ответ: 1) πn/3; ±π/9 + πn/3; 2. (−1)^(n+1) π/6 + πn; 3) ±π/3 + 2πn; 4. (−1)^(n+1) arcsin (1/3) + πn; n ∈ Z.