Упражнения 1600–1611 — Задачи для внеклассной работы

1) ОДЗ: cos x ≠ 0, 1 + tg x ≥ 0. Левая часть должна быть неотрицательной: sin x + cos x ≥ 0. При этом условии возводим в квадрат: 1 + sin 2x = 1 + tg x ⇒ sin 2x = tg x ⇒ 2 sin x cos x = sin x/cos x ⇒ sin x (2cos²x − 1) = 0 (при cos x ≠ 0).
a) sin x = 0 ⇒ x = πn, cos x = ±1; условие sin x + cos x = cos x ≥ 0 даёт cos x = 1, x = 2πn. Проверка: 0 + 1 = √(1 + 0) ✓.
б) cos 2x = 0 ⇒ x = π/4 + πk/2. Рассмотрим значения по кругу: x = π/4 (sin + cos = √2, tg = 1: √2 = √2 ✓); x = 3π/4 (sin + cos = 0, tg = −1: 0 = √0 ✓); x = 5π/4 (sin + cos = −√2 < 0 ✗); x = 7π/4 (sin + cos = 0, tg = −1: 0 = √0 ✓).
Ответ: 1) x = 2πn, x = π/4 + 2πn, x = 3π/4 + 2πn, x = −π/4 + 2πn, n ∈ Z.
2) ОДЗ: 5 sin 2x − 2 ≥ 0, правая часть: sin x − cos x ≥ 0. Возводим в квадрат: 5 sin 2x − 2 = (sin x − cos x)² = 1 − sin 2x ⇒ 6 sin 2x = 3 ⇒ sin 2x = 1/2 ⇒ 2x = π/6 + 2πk или 2x = 5π/6 + 2πk ⇒ x = π/12 + πk или x = 5π/12 + πk.
Условие sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) ≥ 0 ⇔ x ∈ [π/4; 5π/4] + 2πm. Из серии x = π/12 + πk подходит k нечётное: x = 13π/12 + 2πm = π/12 + (2m + 1)π; из серии x = 5π/12 + πk — k чётное: x = 5π/12 + 2πm.
Ответ: 2) x = 5π/12 + 2πn, x = π/12 + (2n + 1)π, n ∈ Z.

(Решить уравнение.) ОДЗ: cos x ≠ cos 3x. cos x − cos 3x = 2 sin 2x sin x, поэтому ОДЗ: sin 2x ≠ 0 и sin x ≠ 0 (то есть sin 2x ≠ 0).
Дробь: 2 sin x/(2 sin 2x sin x) = 1/sin 2x. Правая часть: 4 sin²(x + π/4) = 2(1 − cos(2x + π/2)) = 2(1 + sin 2x).
Пусть s = sin 2x ≠ 0: 1/s − 1/3 = 2 + 2s ⇒ 3 − s = 6s + 6s² ⇒ 6s² + 7s − 3 = 0 ⇒ s = (−7 ± 11)/12 ⇒ s = 1/3 или s = −3/2 (не подходит, |s| ≤ 1).
sin 2x = 1/3 ⇒ 2x = (−1)^n arcsin(1/3) + πn ⇒ x = (1/2)((−1)^n arcsin(1/3) + πn). ОДЗ выполнена (sin 2x = 1/3 ≠ 0).
Ответ: x = (1/2)((−1)^n arcsin(1/3) + πn), n ∈ Z.

ОДЗ: cos x ≠ 0. Пусть c = cos x. tg²x = (1 − c²)/c². Уравнение: c − 1 + (1 + c)(1 − c²)/c² = 0 ⇒ (c − 1) + (1 + c)(1 − c)(1 + c)/c² = (c − 1)(1 − (1 + c)²/c²) = (c − 1)(c² − (1 + c)²)/c² = (c − 1)(−1 − 2c)/c² = 0.
Значит, c = 1 или c = −1/2.
c = 1: x = 2πn, tg x = 0 — не удовлетворяет tg x > 0.
c = −1/2: x = ±2π/3 + 2πn. tg(2π/3) = −√3 < 0 — не подходит; tg(−2π/3) = tg(π/3) = √3 > 0 — подходит.
Ответ: x = −2π/3 + 2πn, n ∈ Z (то же, что π/3 + (2n + 1)π).

Правая часть: sin(25π/6) = sin(4π + π/6) = 1/2, поэтому sin²(25π/6) = 1/4.
sin⁴x = ((1 − cos 2x)/2)² и sin⁴(x + π/4) = ((1 − cos(2x + π/2))/2)² = ((1 + sin 2x)/2)². Уравнение: (1 − cos 2x)² + (1 + sin 2x)² = 1 ⇒ 3 − 2cos 2x + 2 sin 2x = 1 ⇒ sin 2x − cos 2x = −1 ⇒ √2 sin(2x − π/4) = −1 ⇒ sin(2x − π/4) = −√2/2.
2x − π/4 = −π/4 + 2πk ⇒ x = πk; или 2x − π/4 = 5π/4 + 2πk ⇒ x = 3π/4 + πk.
Неравенство: lg(x − √(2x + 24)) > 0 ⇔ x − √(2x + 24) > 1 ⇔ √(2x + 24) < x − 1. Нужно: 2x + 24 ≥ 0, x − 1 > 0 и 2x + 24 < (x − 1)² ⇒ x² − 4x − 23 > 0 ⇒ x > 2 + 3√3 ≈ 7,196 (корень 2 − 3√3 < 1 не подходит).
Серия x = πk: πk > 7,196 ⇒ k ≥ 3 (3π ≈ 9,42; 2π ≈ 6,28 — не подходит). Серия x = 3π/4 + πk: k = 2 даёт ≈ 8,64 ✓, k = 1 даёт ≈ 5,50 ✗; значит, k ≥ 2.
Ответ: x = πn, n ≥ 3; x = 3π/4 + πn, n ≥ 2 (n целое) — иначе x = −π/4 + πn, n ≥ 3.

cos(5x + π/2) = −sin 5x. 2 sin x cos 2x = sin 3x − sin x. Уравнение: −sin 5x + sin 3x − sin x = 0 ⇒ −(sin 5x − sin 3x) − sin x = 0 ⇒ −2cos 4x sin x − sin x = 0 ⇒ sin x (2cos 4x + 1) = 0.
sin x = 0 ⇒ x = πn; на интервале x = 0.
cos 4x = −1/2 ⇒ 4x = ±2π/3 + 2πk ⇒ x = ±π/6 + πk/2; на интервале (−π/6; π/2): x = π/6 и x = −π/6 + π/2 = π/3 (значение −π/6 — граница, не входит; π/6 + π/2 = 2π/3 > π/2).
Корни на интервале: 0, π/6, π/3. Наибольший — π/3.
Ответ: x = π/3.

Пусть t = sin²x cos²x = (sin²2x)/4 ∈ [0; 1/4]. sin⁴x + cos⁴x = 1 − 2t, sin⁸x + cos⁸x = (sin⁴x + cos⁴x)² − 2t² = (1 − 2t)² − 2t² = 2t² − 4t + 1.
Функция φ(t) = 2t² − 4t + 1 убывает на [0; 1/4] (вершина при t = 1, левее неё убывает), φ(0) = 1, φ(1/4) = 1/8 − 1 + 1 = 1/8. Значит, корни есть при 1/8 ≤ a ≤ 1.
Решение: 2t² − 4t + 1 − a = 0 ⇒ t = 1 − √((1 + a)/2) (второй корень 1 + √((1 + a)/2) > 1/4 не подходит). sin²2x = 4t = 4 − 4√((1 + a)/2) = 4 − 2√2 √(1 + a). cos 4x = 1 − 2 sin²2x = 1 − 8 + 4√2 √(1 + a) = 4√(2(1 + a)) − 7.
Тогда 4x = ±arccos(4√(2(1 + a)) − 7) + 2πn, x = ±(1/4) arccos(4√(2(1 + a)) − 7) + πn/2. (Проверка: при a = 1 получаем cos 4x = 1, при a = 1/8 — cos 4x = −1.)
Ответ: при 1/8 ≤ a ≤ 1 x = ±(1/4) arccos(4√(2(1 + a)) − 7) + πn/2, n ∈ Z; при остальных a корней нет.

1) ОДЗ: x ≠ 0, y ≠ 0. Пусть r = x/y. Второе уравнение: r/3 − 2/r = −23/6 ⇒ 2r² − 12 = −23r ⇒ 2r² + 23r − 12 = 0 ⇒ r = (−23 ± 25)/4 ⇒ r = 1/2 или r = −12.
r = 1/2: x = y/2, из первого y/2 − 3y = −5 ⇒ y = 2, x = 1. r = −12: x = −12y, −12y − 3y = −5 ⇒ y = 1/3, x = −4. Проверка второго: x/(3y) = −4, 2y/x = (2/3)/(−4) = −1/6, −4 + 1/6 = −23/6 ✓.
Ответ: 1. (1; 2), (−4; 1/3).
2) ОДЗ: x ≠ ±y. (x + y)/(x − y) + (x − y)/(x + y) = ((x + y)² + (x − y)²)/(x² − y²) = 2(x² + y²)/(x² − y²) = 10/(x² − y²). Уравнение: 10/(x² − y²) = 10/3... то есть 10/(x² − y²) = 10/3 ⇒ x² − y² = 3. Вместе с x² + y² = 5: x² = 4, y² = 1.
Решения: x = ±2, y = ±1 (все четыре комбинации; условие x ≠ ±y выполнено).
Ответ: 2. (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1).

1) Пусть u = 6^x > 0, v = 3^y > 0. u − 2v = 2, uv = 12. Из первого u = 2 + 2v: (2 + 2v)v = 12 ⇒ v² + v − 6 = 0 ⇒ v = 2 (v = −3 не подходит). Тогда u = 6. 6^x = 6 ⇒ x = 1; 3^y = 2 ⇒ y = log₃ 2.
Ответ: 1. (1; log₃ 2).
2) Пусть w = 2^x > 0: 7w + 6y = 2, 6w − 5y = 93. Умножим первое на 5, второе на 6 и сложим: 35w + 36w = 10 + 558 ⇒ 71w = 568 ⇒ w = 8 ⇒ x = 3. y = (2 − 7 · 8)/6 = −54/6 = −9.
Проверка: 7 · 8 + 6(−9) = 56 − 54 = 2 ✓; 3 · 16 − 5(−9) = 48 + 45 = 93 ✓.
Ответ: 2. (3; −9).

1) ОДЗ: y > 0, y − 4x > 0, 2 + 2x − y > 0. Второе уравнение: lg(y(y − 4x)) = lg((2 + 2x − y)²) ⇒ y² − 4xy = 4 + 4x² + y² + 8x − 4y − 4xy ⇒ 0 = 4x² + 8x + 4 − 4y ⇒ y = (x + 1)².
Первое: 27 · 3^(2x − y) = 3^(3 + 2x − y) = 3^(3 + 2x − x² − 2x − 1) = 3^(2 − x²). Уравнение: 3^(2 − x²) + 3^(x²) = 4√3. Пусть z = 3^(x²) ≥ 1: 9/z + z = 4√3 ⇒ z² − 4√3 z + 9 = 0 ⇒ z = (4√3 ± 2√3)/2 ⇒ z = 3√3 или z = √3. Тогда x² = 3/2 или x² = 1/2.
ОДЗ: y − 4x = (x − 1)² > 0 ⇒ x ≠ 1; 2 + 2x − y = 1 − x² > 0 ⇒ |x| < 1; y > 0 ⇒ x ≠ −1. Условие |x| < 1 оставляет x² = 1/2, x = ±√2/2. Тогда y = (1 ± √2/2)² = 3/2 ± √2.
Ответ: 1. (√2/2; 3/2 + √2), (−√2/2; 3/2 − √2).
2) ОДЗ: x > 0, x + 4y > 0, 2 − x − 2y > 0. Второе: x(x + 4y) = (2 − x − 2y)² ⇒ x² + 4xy = 4 + x² + 4y² − 4x − 8y + 4xy ⇒ x = y² − 2y + 1 = (y − 1)².
Первое: 8 · 2^(−x − 2y) = 2^(3 − x − 2y) = 2^(3 − y² + 2y − 1 − 2y) = 2^(2 − y²). Уравнение: 2^(2 − y²) + 2^(y²) = 3√2. Пусть z = 2^(y²): 4/z + z = 3√2 ⇒ z² − 3√2 z + 4 = 0 ⇒ z = (3√2 ± √2)/2 ⇒ z = 2√2 или z = √2 ⇒ y² = 3/2 или y² = 1/2.
ОДЗ: 2 − x − 2y = 1 − y² > 0 ⇒ |y| < 1; x + 4y = (y + 1)² > 0 ⇒ y ≠ −1; x = (y − 1)² > 0 ⇒ y ≠ 1. Остаётся y² = 1/2, y = ±√2/2, x = (y − 1)² = 3/2 ∓ √2.
Ответ: 2. (3/2 − √2; √2/2), (3/2 + √2; −√2/2).

ОДЗ: y > 3, x > 0. Так как 2 log₉ x = log₃ x, первое уравнение: log₃(y − 3) = log₃ x ⇒ y − 3 = x ⇒ y = x + 3 (при этом y > 3 равносильно x > 0).
Подставим во второе: (x + a)² − 2(x + 3) − 5a = 0 ⇒ x² + 2(a − 1)x + a² − 5a − 6 = 0. Обозначим g(x) = x² + 2(a − 1)x + (a − 6)(a + 1). Нужно, чтобы у g был хотя бы один положительный корень.
1) g(0) < 0 ⇔ −1 < a < 6: парабола с ветвями вверх, значение при нуле отрицательно — есть положительный корень.
2) g(0) = 0: a = −1 или a = 6. При a = −1: x² − 4x = 0, x = 4 > 0 ✓. При a = 6: x² + 10x = 0, корни 0 и −10 — положительных нет ✗.
3) g(0) > 0 (a < −1 или a > 6): оба корня одного знака; нужен положительный: D/4 = (a − 1)² − (a² − 5a − 6) = 3a + 7 ≥ 0 ⇒ a ≥ −7/3 и сумма корней 2(1 − a) > 0 ⇒ a < 1. Вместе с a < −1: −7/3 ≤ a < −1.
Объединяем: −7/3 ≤ a < 6 (включая a = −1).
Ответ: −7/3 ≤ a < 6.

1) Перенесём: (2x − 3)/(4 − x) − 1/x > 0 ⇒ (x(2x − 3) − (4 − x))/(x(4 − x)) = (2x² − 2x − 4)/(x(4 − x)) = 2(x − 2)(x + 1)/(x(4 − x)) > 0 ⇒ (x − 2)(x + 1)/(x(x − 4)) < 0. Критические точки: −1, 0, 2, 4. Методом интервалов: при x > 4 дробь положительна, знаки чередуются: (2; 4. «−», (0; 2. «+», (−1; 0. «−», x < −1 «+». Берём «−».
Ответ: 1) −1 < x < 0, 2 < x < 4.
2) ОДЗ: x ≠ −1. |x + 1| > 0, умножаем: 2x + 5 ≥ |x + 1|.
x > −1: 2x + 5 ≥ x + 1 ⇒ x ≥ −4 — верно для всех x > −1.
x < −1: 2x + 5 ≥ −x − 1 ⇒ 3x ≥ −6 ⇒ x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x < −1.
Ответ: 2) −2 ≤ x < −1, x > −1.

1) Знаменатель t = 4x² − 2x + 1 = 4(x − 1/4)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0. Числитель: 8x² − 4x + 3 = 2t + 1. Тогда дробь равна 2 + 1/t. Так как t ≥ 3/4, наибольшее значение дроби достигается при t = 3/4 (x = 1/4): 2 + 4/3 = 10/3. Неравенство ≤ a верно при всех x ⇔ a ≥ 10/3.
2) Знаменатель D = 9x² − 12x + 16 = (3x − 2)² + 12 ≥ 12 > 0. Числитель: 3x² − 4x + 8 = (9x² − 12x + 24)/3 = (D + 8)/3. Дробь равна 1/3 + 8/(3D). При D ≥ 12 она принимает значения в (1/3; 5/9] (наибольшее 1/3 + 8/36 = 5/9 при x = 2/3; значения сколь угодно близки к 1/3 при D → ∞, но 1/3 не достигается). Неравенство ≥ a верно при всех x ⇔ a ≤ 1/3 (при a = 1/3 оно верно, так как дробь > 1/3).
Ответ: 1) a ≥ 10/3; 2) a ≤ 1/3.