Упражнения 1612–1624 — Задачи для внеклассной работы

1) Так как 0 < 2/5 < 1, показательная функция убывает: (2/5)^u < 1 = (2/5)⁰ ⇔ u > 0. x² − 5x + 6 > 0 ⇔ (x − 2)(x − 3) > 0 ⇔ x < 2 или x > 3.
2) 5^x − 3 · 3^x > (2/5) 5^x − (2/9) 3^x ⇒ (3/5) 5^x > (3 − 2/9) 3^x = (25/9) 3^x ⇒ 5^x/3^x > (25/9)(5/3) = 125/27 ⇒ (5/3)^x > (5/3)³ ⇒ x > 3.
Ответ: 1) x < 2, x > 3; 2) x > 3.

1) ОДЗ: 1 + x > 0 и x² − 4 ≥ 0 ⇒ x > −1 и (x ≤ −2 или x ≥ 2) ⇒ x ≥ 2. При x ≥ 2: 1 + x ≥ 3 > 1, поэтому log_{1/2}(1 + x) < 0, а −√(x² − 4) ≤ 0, и сумма отрицательна — неравенство верно при всех x из ОДЗ.
Ответ: 1) x ≥ 2.
2) ОДЗ: 3 − 2x > 0 ⇒ x < 3/2; log₅(3 − 2x) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1; log₅(3 − 2x) ≠ 4 ⇒ 3 − 2x ≠ 625 ⇒ x ≠ −311. Пусть t = log₅(3 − 2x): 1/t − 1/(4 − t) < 0 ⇒ (4 − 2t)/(t(4 − t)) < 0 ⇒ (2 − t)/(t(4 − t)) < 0. Критические точки 0, 2, 4. Знаки выражения: t < 0 «−», 0 < t < 2 «+», 2 < t < 4 «−», t > 4 «+». Подходят t < 0 и 2 < t < 4.
t < 0: 0 < 3 − 2x < 1 ⇒ 1 < x < 3/2. 2 < t < 4: 25 < 3 − 2x < 625 ⇒ −311 < x < −11.
Ответ: 2) −311 < x < −11, 1 < x < 1,5.

1) ОДЗ: x ≠ 0; основание b = |2x + 1| > 0, b ≠ 1 ⇒ x ≠ −1/2, x ≠ 0, x ≠ −1. Логарифм ≥ 2 = log_b b².
Если b > 1 (x > 0 или x < −1): x² ≥ (2x + 1)² ⇒ (x − 2x − 1)(x + 2x + 1) ≥ 0 ⇒ (x + 1)(3x + 1) ≤ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ −1/3 — с условием b > 1 решений нет: на промежутке [−1; −1/3] имеем b = |2x + 1| ≤ 1.
Если 0 < b < 1 (−1 < x < 0, x ≠ −1/2): x² ≤ (2x + 1)² ⇒ (x + 1)(3x + 1) ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 или x ≥ −1/3 ⇒ −1/3 ≤ x < 0.
Ответ: 1) −1/3 ≤ x < 0.
2) ОДЗ: основание x² > 0, x² ≠ 1 ⇒ x ≠ 0, x ≠ ±1; |3x + 1| > 0 ⇒ x ≠ −1/3. Правая часть: 1/2 = log_{x²}|x| (так как (x²)^(1/2) = |x|).
Если x² > 1 (|x| > 1): |3x + 1| < |x| ⇒ (3x + 1)² < x² ⇒ (2x + 1)(4x + 1) < 0 ⇒ −1/2 < x < −1/4 — несовместно с |x| > 1.
Если 0 < x² < 1 (|x| < 1, x ≠ 0): |3x + 1| > |x| ⇒ (2x + 1)(4x + 1) > 0 ⇒ x < −1/2 или x > −1/4. С условием 0 < |x| < 1: −1 < x < −1/2, −1/4 < x < 0, 0 < x < 1 (значение x = −1/3 не входит в эти промежутки).
Ответ: 2) −1 < x < −1/2, −1/4 < x < 0, 0 < x < 1.

(Решить неравенство.) ОДЗ: x² + 3x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ −4 или x ≥ 1; x ≠ 3. Перенесём −1: (7 − 3x + √(x² + 3x − 4) + x − 3)/(x − 3) < 0 ⇒ (4 − 2x + r)/(x − 3) < 0, где r = √(x² + 3x − 4) ≥ 0.
Случай x > 3. Знаменатель положителен, нужно 4 − 2x + r < 0 ⇒ r < 2x − 4 (правая часть положительна). Возводим в квадрат: x² + 3x − 4 < 4x² − 16x + 16 ⇒ 3x² − 19x + 20 > 0 ⇒ x < 4/3 или x > 5. С условием x > 3: x > 5.
Случай x < 3 (x ≤ −4 или 1 ≤ x < 3). Знаменатель отрицателен, нужно 4 − 2x + r > 0 ⇒ r > 2x − 4. Если x < 2 (то есть x ≤ −4 или 1 ≤ x < 2), правая часть отрицательна и неравенство верно всегда. Если 2 ≤ x < 3: возводим в квадрат (обе части неотрицательны): 3x² − 19x + 20 < 0 ⇒ 4/3 < x < 5 — верно на всём [2; 3). Значит, при x ≤ −4 и 1 ≤ x < 3 неравенство верно.
Ответ: x ≤ −4, 1 ≤ x < 3, x > 5.

Так как основание 1/2 меньше 1, log_{1/2} u < 1 ⇔ u > 1/2 (это условие уже включает u > 0). Нужно: x² + ax + 1 > 1/2, то есть x² + ax + 1/2 > 0 при всех x < 0.
Для x < 0 разделим на x (знак неравенства меняется): ax > −x² − 1/2 ⇒ a < (−x² − 1/2)/x = −x − 1/(2x) = s + 1/(2s), где s = −x > 0. Нужно a < s + 1/(2s) при всех s > 0. По неравенству о среднем s + 1/(2s) ≥ 2√(s · 1/(2s)) = √2, равенство при s = 1/√2 (достигается). Поэтому a < √2.
Проверка границы: при a = √2 x² + √2x + 1/2 = (x + √2/2)² обращается в нуль при x = −√2/2 < 0, неравенство нарушается. При a < √2 всё верно.
Ответ: a < √2.

Касательная в точке с абсциссой x₀: y = (4x₀ − 3)(x − x₀) + 2x₀² − 3x₀ + 8. Проходит через (0; 0): 0 = −(4x₀ − 3)x₀ + 2x₀² − 3x₀ + 8 = −4x₀² + 3x₀ + 2x₀² − 3x₀ + 8 = −2x₀² + 8 ⇒ x₀ = ±2.
x₀ = 2: y = 8 − 6 + 8 = 10, точка (2; 10). x₀ = −2: y = 8 + 6 + 8 = 22, точка (−2; 22).
Ответ: (2; 10) и (−2; 22).

Абсциссы точек пересечения: x² + 2x − 3 = kx + 1 ⇒ x² + (2 − k)x − 4 = 0; D = (2 − k)² + 16 > 0 — всегда два корня x₁ < x₂. На [x₁; x₂] прямая выше параболы, S = ∫(kx + 1 − x² − 2x + 3) dx = ∫_{x₁}^{x₂} (−(x − x₁)(x − x₂)) dx = (x₂ − x₁)³/6.
(x₂ − x₁)² = D = (2 − k)² + 16 ≥ 16, наименьшее значение 16 при k = 2. Тогда x₂ − x₁ = 4, S = 64/6 = 32/3 — наименьшая площадь (S возрастает с ростом D).
Ответ: k = 2 (площадь 32/3).

Точка пересечения при x = 1: y = 2 · 1 − 3 = −1, поэтому парабола проходит через (1; −1): 1 + p + q = −1 ⇒ q = −2 − p.
Ордината вершины: y_в = q − p²/4 = −2 − p − p²/4 = −((p + 2)²/4 + 1). Расстояние до оси Ox: d = |y_в| = (p + 2)²/4 + 1 ≥ 1, наименьшее значение 1 при p = −2. Тогда q = −2 + 2 = 0.
Проверка: y = x² − 2x = (x − 1)² − 1, вершина (1; −1), расстояние 1.
Ответ: p = −2, q = 0; наименьшее расстояние d = 1.

Пусть s = sin x ∈ [−1; 1]. y = 6(1 − s²) + 6s − 2 = −6s² + 6s + 4. Парабола с ветвями вниз, вершина при s = 1/2 ∈ [−1; 1], наибольшее значение y = −6/4 + 3 + 4 = 11/2.
sin x = 1/2 ⇒ x = (−1)^n π/6 + πn.
Ответ: x = (−1)^n π/6 + πn, n ∈ Z (наибольшее значение 5,5).

Парабола с ветвями вверх, вершина x_в = −(a + 4)/2.
Случай 1: x_в ≤ 0 (a ≥ −4): наименьшее значение на [0; 2] достигается при x = 0: y(0) = 2a + 3 = −4 ⇒ a = −3,5 (условие a ≥ −4 выполнено ✓).
Случай 2: 0 < x_в < 2 (−8 < a < −4): наименьшее значение в вершине: y(x_в) = 2a + 3 − (a + 4)²/4 = −4 ⇒ 8a + 12 − a² − 8a − 16 = −16 ⇒ a² = 12 ⇒ a = ±2√3 — не лежит в (−8; −4) ✗.
Случай 3: x_в ≥ 2 (a ≤ −8): наименьшее значение при x = 2: y(2) = 4 + 2a + 8 + 2a + 3 = 4a + 15 = −4 ⇒ a = −19/4 — условие a ≤ −8 не выполнено ✗.
Ответ: a = −3,5.

Вершина x_в = a/2, ветви вверх.
Случай 1: a ≤ 0 (x_в ≤ 0): наименьшее значение при x = 0: y(0) = a² − 2a + 2 = 3 ⇒ a² − 2a − 1 = 0 ⇒ a = 1 ± √2. Условию a ≤ 0 удовлетворяет a = 1 − √2.
Случай 2: 0 < a < 4: y(x_в) = 4 · a²/4 − 4a · a/2 + a² − 2a + 2 = a² − 2a² + a² − 2a + 2 = 2 − 2a = 3 ⇒ a = −1/2 — не лежит в (0; 4) ✗.
Случай 3: a ≥ 4: наименьшее значение при x = 2: y(2) = 16 − 8a + a² − 2a + 2 = a² − 10a + 18 = 3 ⇒ a² − 10a + 15 = 0 ⇒ a = 5 ± √10. Условию a ≥ 4 удовлетворяет a = 5 + √10 (5 − √10 ≈ 1,84 < 4 ✗).
Ответ: a = 1 − √2, a = 5 + √10.

Первая парабола: x_в = −a, y₁ = 4a² − 8a² − 9 = −4a² − 9 ≤ −9 < −5 при всех a — вершина всегда ниже прямой y = −5.
Вторая парабола (a ≠ 0, иначе это не парабола): x_в = 1/a, y₂ = 4a · (1/a²) − 8/a + a − 2 = a − 2 − 4/a. Вершина должна лежать ниже прямой y = −5: a − 2 − 4/a < −5 ⇒ a + 3 − 4/a < 0 ⇒ (a² + 3a − 4)/a < 0 ⇒ (a + 4)(a − 1)/a < 0. Методом интервалов: a < −4 или 0 < a < 1.
Ответ: a < −4, 0 < a < 1.
Оговорка: в ответах учебника указано иначе (a < −4, −5/4 < a < 0). Проверка: при a = −1 вершины (1; −13) и (−1; 1) лежат по разные стороны от прямой y = −5, поэтому a = −1 не подходит; при a = 1/2 вершины (−1/2; −10) и (2; −9,5) обе ниже прямой — подходит.

Пусть c = cos²x ∈ [0; 1], тогда sin²x = 1 − c, sin⁴x = (1 − c)². Числитель: 2c² + 1 − c. Знаменатель: 2(1 − c)² + 3c = 2c² − c + 2 (положителен). Пусть q = 2c² − c + 2; числитель = q − 1. Тогда y = (q − 1)/q = 1 − 1/q.
На отрезке c ∈ [0; 1] функция q(c) = 2c² − c + 2 имеет вершину при c = 1/4: q = 1/8 − 1/4 + 2 = 15/8 — наименьшее значение; на концах q(0) = 2, q(1) = 3 — наибольшее значение 3. Значит, q ∈ [15/8; 3].
y = 1 − 1/q возрастает по q: наименьшее значение при q = 15/8: y = 1 − 8/15 = 7/15; наибольшее при q = 3: y = 1 − 1/3 = 2/3.
Ответ: наибольшее значение 2/3 (при cos²x = 1, то есть sin x = 0), наименьшее 7/15 (при cos²x = 1/4).