Глава XIII. Упражнения к главе XIII — с. 385
1221. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины Z, заданных распределением по частотам M:
1) [таблица: строка Z: −2, −1, 1, 3; строка M: 2, 1, 3, 1]
2) [таблица: строка Z: −4, −1, 2, 3; строка M: 1, 2, 3, 1]
1) [таблица: строка Z: −2, −1, 1, 3; строка M: 2, 1, 3, 1]
2) [таблица: строка Z: −4, −1, 2, 3; строка M: 1, 2, 3, 1]
Используем D = (Σ M·(Z − среднее)²)/N, равносильно D = (Σ M·Z²)/N − (среднее)², σ = √D.
1) N = 2 + 1 + 3 + 1 = 7. Среднее: (−4 − 1 + 3 + 3)/7 = 1/7. Σ M·Z² = 2·4 + 1·1 + 3·1 + 1·9 = 21, значит, среднее значение квадратов 21/7 = 3. D = 3 − (1/7)² = 3 − 1/49 = 146/49 ≈ 2,98; σ = √(146)/7 ≈ 1,73.
2) N = 1 + 2 + 3 + 1 = 7. Среднее: (−4 − 2 + 6 + 3)/7 = 3/7. Σ M·Z² = 16 + 2·1 + 3·4 + 9 = 39; среднее значение квадратов 39/7. D = 39/7 − 9/49 = (273 − 9)/49 = 264/49 ≈ 5,39; σ ≈ 2,32.
Ответ: 1. D = 146/49 ≈ 2,98; σ ≈ 1,73. 2. D = 264/49 ≈ 5,39; σ ≈ 2,32.
1) N = 2 + 1 + 3 + 1 = 7. Среднее: (−4 − 1 + 3 + 3)/7 = 1/7. Σ M·Z² = 2·4 + 1·1 + 3·1 + 1·9 = 21, значит, среднее значение квадратов 21/7 = 3. D = 3 − (1/7)² = 3 − 1/49 = 146/49 ≈ 2,98; σ = √(146)/7 ≈ 1,73.
2) N = 1 + 2 + 3 + 1 = 7. Среднее: (−4 − 2 + 6 + 3)/7 = 3/7. Σ M·Z² = 16 + 2·1 + 3·4 + 9 = 39; среднее значение квадратов 39/7. D = 39/7 − 9/49 = (273 − 9)/49 = 264/49 ≈ 5,39; σ ≈ 2,32.
Ответ: 1. D = 146/49 ≈ 2,98; σ ≈ 1,73. 2. D = 264/49 ≈ 5,39; σ ≈ 2,32.
1222. Сравнить дисперсии выборок:
1) 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6;
2) −1, 3, 4 и −2, 0, 2, 4, 5.
1) 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6;
2) −1, 3, 4 и −2, 0, 2, 4, 5.
1) Первая выборка: среднее (2 + 3 + 5 + 3 + 7)/5 = 4; квадраты отклонений: 4, 1, 1, 1, 9, сумма 16; D₁ = 16/5 = 3,2. Вторая выборка: среднее (4 + 7 + 5 + 6)/4 = 5,5; квадраты отклонений: 2,25; 2,25; 0,25; 0,25, сумма 5; D₂ = 5/4 = 1,25. D₁ > D₂.
2) Первая выборка: среднее (−1 + 3 + 4)/3 = 2; квадраты отклонений: 9, 1, 4, сумма 14; D₁ = 14/3 ≈ 4,67. Вторая выборка: среднее (−2 + 0 + 2 + 4 + 5)/5 = 1,8; квадраты отклонений: 14,44; 3,24; 0,04; 4,84; 10,24, сумма 32,8; D₂ = 32,8/5 = 6,56. D₁ < D₂.
Ответ: 1. D₁ = 3,2 > D₂ = 1,25. 2. D₁ = 14/3 < D₂ = 6,56.
2) Первая выборка: среднее (−1 + 3 + 4)/3 = 2; квадраты отклонений: 9, 1, 4, сумма 14; D₁ = 14/3 ≈ 4,67. Вторая выборка: среднее (−2 + 0 + 2 + 4 + 5)/5 = 1,8; квадраты отклонений: 14,44; 3,24; 0,04; 4,84; 10,24, сумма 32,8; D₂ = 32,8/5 = 6,56. D₁ < D₂.
Ответ: 1. D₁ = 3,2 > D₂ = 1,25. 2. D₁ = 14/3 < D₂ = 6,56.
1223. Сравнить стабильность производительности труда двух рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй — 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность:
1) [таблица: строка «Порядковый номер дня недели»: 1, 2, 3, 4, 5, 6; строка «Производительность труда I рабочего (дет./день)»: 8, 11, 9, 12, 10, —; строка «Производительность труда II рабочего (дет./день)»: 8, 12, 11, 8, 12, 9]
2) [таблица: строка «Порядковый номер дня недели»: 1, 2, 3, 4, 5, 6; строка «Производительность труда I рабочего (дет./день)»: 9, —, 11, 10, 11, 9; строка «Производительность труда II рабочего (дет./день)»: 9, 10, 11, 11, 10, 9]
1) [таблица: строка «Порядковый номер дня недели»: 1, 2, 3, 4, 5, 6; строка «Производительность труда I рабочего (дет./день)»: 8, 11, 9, 12, 10, —; строка «Производительность труда II рабочего (дет./день)»: 8, 12, 11, 8, 12, 9]
2) [таблица: строка «Порядковый номер дня недели»: 1, 2, 3, 4, 5, 6; строка «Производительность труда I рабочего (дет./день)»: 9, —, 11, 10, 11, 9; строка «Производительность труда II рабочего (дет./день)»: 9, 10, 11, 11, 10, 9]
Чем меньше дисперсия выработки при равных средних, тем стабильнее производительность.
1) I рабочий: 8, 11, 9, 12, 10; среднее 50/5 = 10; квадраты отклонений: 4, 1, 1, 4, 0, сумма 10; D₁ = 10/5 = 2. II рабочий: 8, 12, 11, 8, 12, 9; среднее 60/6 = 10 (средние равны, как и сказано); квадраты отклонений: 4, 4, 1, 4, 4, 1, сумма 18; D₂ = 18/6 = 3. D₁ < D₂, значит, первый рабочий работал стабильнее.
2) I рабочий: 9, 11, 10, 11, 9; среднее 50/5 = 10; квадраты отклонений: 1, 1, 0, 1, 1, сумма 4; D₁ = 4/5 = 0,8. II рабочий: 9, 10, 11, 11, 10, 9; среднее 60/6 = 10; квадраты отклонений: 1, 0, 1, 1, 0, 1, сумма 4; D₂ = 4/6 = 2/3. D₂ < D₁, значит, второй рабочий работал стабильнее.
Ответ: 1) стабильнее первый (D₁ = 2 < D₂ = 3). 2) стабильнее второй (D₂ = 2/3 < D₁ = 0,8).
1) I рабочий: 8, 11, 9, 12, 10; среднее 50/5 = 10; квадраты отклонений: 4, 1, 1, 4, 0, сумма 10; D₁ = 10/5 = 2. II рабочий: 8, 12, 11, 8, 12, 9; среднее 60/6 = 10 (средние равны, как и сказано); квадраты отклонений: 4, 4, 1, 4, 4, 1, сумма 18; D₂ = 18/6 = 3. D₁ < D₂, значит, первый рабочий работал стабильнее.
2) I рабочий: 9, 11, 10, 11, 9; среднее 50/5 = 10; квадраты отклонений: 1, 1, 0, 1, 1, сумма 4; D₁ = 4/5 = 0,8. II рабочий: 9, 10, 11, 11, 10, 9; среднее 60/6 = 10; квадраты отклонений: 1, 0, 1, 1, 0, 1, сумма 4; D₂ = 4/6 = 2/3. D₂ < D₁, значит, второй рабочий работал стабильнее.
Ответ: 1) стабильнее первый (D₁ = 2 < D₂ = 3). 2) стабильнее второй (D₂ = 2/3 < D₁ = 0,8).
1224. Были произведены замеры десяти диаметров d оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — в таблице справа.
[таблица слева: строка d₁: 58, 59, 60, 61, 62; строка M₁: 1, 2, 4, 2, 1]
[таблица справа: строка d₂: 59, 60, 61, 62; строка M₂: 2, 5, 2, 1]
Сравнить дисперсии значений случайных величин d₁ и d₂.
[таблица слева: строка d₁: 58, 59, 60, 61, 62; строка M₁: 1, 2, 4, 2, 1]
[таблица справа: строка d₂: 59, 60, 61, 62; строка M₂: 2, 5, 2, 1]
Сравнить дисперсии значений случайных величин d₁ и d₂.
Каждая таблица содержит по 10 измерений.
Первый прибор: среднее (58 + 2·59 + 4·60 + 2·61 + 62)/10 = 600/10 = 60. Квадраты отклонений с учётом частот: 1·4 + 2·1 + 4·0 + 2·1 + 1·4 = 12; D₁ = 12/10 = 1,2.
Второй прибор: среднее (2·59 + 5·60 + 2·61 + 62)/10 = 602/10 = 60,2. Квадраты отклонений с учётом частот: 2·(−1,2)² + 5·(−0,2)² + 2·0,8² + 1·1,8² = 2,88 + 0,2 + 1,28 + 3,24 = 7,6; D₂ = 7,6/10 = 0,76.
Ответ: D₂ = 0,76 < D₁ = 1,2.
Первый прибор: среднее (58 + 2·59 + 4·60 + 2·61 + 62)/10 = 600/10 = 60. Квадраты отклонений с учётом частот: 1·4 + 2·1 + 4·0 + 2·1 + 1·4 = 12; D₁ = 12/10 = 1,2.
Второй прибор: среднее (2·59 + 5·60 + 2·61 + 62)/10 = 602/10 = 60,2. Квадраты отклонений с учётом частот: 2·(−1,2)² + 5·(−0,2)² + 2·0,8² + 1·1,8² = 2,88 + 0,2 + 1,28 + 3,24 = 7,6; D₂ = 7,6/10 = 0,76.
Ответ: D₂ = 0,76 < D₁ = 1,2.
1225. Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.
[таблица: строка X: 1, 2, 4, 5; строка M: 2, 1, 3, 2]
[таблица: строка Y: −2, 0, 1, 2, 3; строка M: 2, 3, 2, 2, 1]
[таблица: строка Z: −5, −4, −2, 3; строка M: 1, 3, 3, 1]
[таблица: строка X: 1, 2, 4, 5; строка M: 2, 1, 3, 2]
[таблица: строка Y: −2, 0, 1, 2, 3; строка M: 2, 3, 2, 2, 1]
[таблица: строка Z: −5, −4, −2, 3; строка M: 1, 3, 3, 1]
Разброс около среднего измеряется дисперсией; найдём её по формуле D = (Σ M·x²)/N − (среднее)².
X: N = 8; среднее (2 + 2 + 12 + 10)/8 = 26/8 = 3,25; Σ M·x² = 2 + 4 + 48 + 50 = 104, 104/8 = 13; D_X = 13 − 3,25² = 13 − 10,5625 = 2,4375 ≈ 2,44.
Y: N = 10; среднее (−4 + 0 + 2 + 4 + 3)/10 = 0,5; Σ M·y² = 8 + 0 + 2 + 8 + 9 = 27, 27/10 = 2,7; D_Y = 2,7 − 0,25 = 2,45.
Z: N = 8; среднее (−5 − 12 − 6 + 3)/8 = −2,5; Σ M·z² = 25 + 48 + 12 + 9 = 94, 94/8 = 11,75; D_Z = 11,75 − 6,25 = 5,5.
Самая маленькая дисперсия у X (2,4375 < 2,45 < 5,5).
Ответ: наименьший разброс имеет совокупность значений величины X.
X: N = 8; среднее (2 + 2 + 12 + 10)/8 = 26/8 = 3,25; Σ M·x² = 2 + 4 + 48 + 50 = 104, 104/8 = 13; D_X = 13 − 3,25² = 13 − 10,5625 = 2,4375 ≈ 2,44.
Y: N = 10; среднее (−4 + 0 + 2 + 4 + 3)/10 = 0,5; Σ M·y² = 8 + 0 + 2 + 8 + 9 = 27, 27/10 = 2,7; D_Y = 2,7 − 0,25 = 2,45.
Z: N = 8; среднее (−5 − 12 − 6 + 3)/8 = −2,5; Σ M·z² = 25 + 48 + 12 + 9 = 94, 94/8 = 11,75; D_Z = 11,75 − 6,25 = 5,5.
Самая маленькая дисперсия у X (2,4375 < 2,45 < 5,5).
Ответ: наименьший разброс имеет совокупность значений величины X.