Глава XIII. Упражнения к главе XIII — с. 384
1218. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки:
1) 3, 8, 5, 6;
2) 4, 7, 3, 9;
3) 4, 1, 3, 2, 2;
4) 3, 2, 1, 1, 5;
5) 2, −1, 3, −2, 5;
6) −2, 4, −3, −1, 6.
1) 3, 8, 5, 6;
2) 4, 7, 3, 9;
3) 4, 1, 3, 2, 2;
4) 3, 2, 1, 1, 5;
5) 2, −1, 3, −2, 5;
6) −2, 4, −3, −1, 6.
Дисперсия D — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения, среднее квадратичное отклонение σ = √D.
1) Среднее: 22/4 = 5,5. Отклонения: −2,5; 2,5; −0,5; 0,5. Квадраты: 6,25; 6,25; 0,25; 0,25, сумма 13. D = 13/4 = 3,25; σ = √3,25 ≈ 1,80.
2) Среднее: 23/4 = 5,75. Отклонения: −1,75; 1,25; −2,75; 3,25. Квадраты: 3,0625; 1,5625; 7,5625; 10,5625, сумма 22,75. D = 22,75/4 ≈ 5,69; σ ≈ 2,38.
3) Среднее: 12/5 = 2,4. Отклонения: 1,6; −1,4; 0,6; −0,4; −0,4. Квадраты: 2,56; 1,96; 0,36; 0,16; 0,16, сумма 5,2. D = 5,2/5 = 1,04; σ ≈ 1,02.
4) Среднее: 12/5 = 2,4. Отклонения: 0,6; −0,4; −1,4; −1,4; 2,6. Квадраты: 0,36; 0,16; 1,96; 1,96; 6,76, сумма 11,2. D = 11,2/5 = 2,24; σ ≈ 1,50.
5) Среднее: 7/5 = 1,4. Отклонения: 0,6; −2,4; 1,6; −3,4; 3,6. Квадраты: 0,36; 5,76; 2,56; 11,56; 12,96, сумма 33,2. D = 33,2/5 = 6,64; σ ≈ 2,58.
6) Среднее: 4/5 = 0,8. Отклонения: −2,8; 3,2; −3,8; −1,8; 5,2. Квадраты: 7,84; 10,24; 14,44; 3,24; 27,04, сумма 62,8. D = 62,8/5 = 12,56; σ ≈ 3,54.
Ответ: 1. D = 3,25; σ ≈ 1,80. 2. D ≈ 5,69; σ ≈ 2,38. 3. D = 1,04; σ ≈ 1,02. 4. D = 2,24; σ ≈ 1,50. 5. D = 6,64; σ ≈ 2,58. 6. D = 12,56; σ ≈ 3,54.
1) Среднее: 22/4 = 5,5. Отклонения: −2,5; 2,5; −0,5; 0,5. Квадраты: 6,25; 6,25; 0,25; 0,25, сумма 13. D = 13/4 = 3,25; σ = √3,25 ≈ 1,80.
2) Среднее: 23/4 = 5,75. Отклонения: −1,75; 1,25; −2,75; 3,25. Квадраты: 3,0625; 1,5625; 7,5625; 10,5625, сумма 22,75. D = 22,75/4 ≈ 5,69; σ ≈ 2,38.
3) Среднее: 12/5 = 2,4. Отклонения: 1,6; −1,4; 0,6; −0,4; −0,4. Квадраты: 2,56; 1,96; 0,36; 0,16; 0,16, сумма 5,2. D = 5,2/5 = 1,04; σ ≈ 1,02.
4) Среднее: 12/5 = 2,4. Отклонения: 0,6; −0,4; −1,4; −1,4; 2,6. Квадраты: 0,36; 0,16; 1,96; 1,96; 6,76, сумма 11,2. D = 11,2/5 = 2,24; σ ≈ 1,50.
5) Среднее: 7/5 = 1,4. Отклонения: 0,6; −2,4; 1,6; −3,4; 3,6. Квадраты: 0,36; 5,76; 2,56; 11,56; 12,96, сумма 33,2. D = 33,2/5 = 6,64; σ ≈ 2,58.
6) Среднее: 4/5 = 0,8. Отклонения: −2,8; 3,2; −3,8; −1,8; 5,2. Квадраты: 7,84; 10,24; 14,44; 3,24; 27,04, сумма 62,8. D = 62,8/5 = 12,56; σ ≈ 3,54.
Ответ: 1. D = 3,25; σ ≈ 1,80. 2. D ≈ 5,69; σ ≈ 2,38. 3. D = 1,04; σ ≈ 1,02. 4. D = 2,24; σ ≈ 1,50. 5. D = 6,64; σ ≈ 2,58. 6. D = 12,56; σ ≈ 3,54.
Проверь себя!
Задание 1. На стол бросают монету (на одной из сторон которой записано число 1, на другой — число 2) и игральный кубик (грани которого пронумерованы числами от 1 до 6). Составить вероятностную таблицу распределения значений случайной величины X — суммы чисел, появившихся на монете и на кубике.
Исходы — пары (число на монете; число на кубике): 2 · 6 = 12 равновозможных исходов.
Если на монете 1, сумма равна k + 1, где k — число на кубике, то есть принимает значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Если на монете 2, сумма равна k + 2: значения 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Значение 2 получается одним способом (1 и 1): P(2) = 1/12.
Значения 3, 4, 5, 6, 7 получаются двумя способами каждое (например, 3 = 1 + 2 = 2 + 1): P = 2/12 = 1/6.
Значение 8 получается одним способом (2 и 6): P(8) = 1/12.
Проверка: 1/12 + 5 · (1/6) + 1/12 = 1.
Ответ: таблица приведена на рисунке.
Если на монете 1, сумма равна k + 1, где k — число на кубике, то есть принимает значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Если на монете 2, сумма равна k + 2: значения 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Значение 2 получается одним способом (1 и 1): P(2) = 1/12.
Значения 3, 4, 5, 6, 7 получаются двумя способами каждое (например, 3 = 1 + 2 = 2 + 1): P = 2/12 = 1/6.
Значение 8 получается одним способом (2 и 6): P(8) = 1/12.
Проверка: 1/12 + 5 · (1/6) + 1/12 = 1.
Ответ: таблица приведена на рисунке.
Проверь себя!
Задание 2. Найти размах, моду, медиану и среднее выборки: −5, 6, 3, 8, 3, −2, −4, 0, 3, −2.
Упорядочим выборку (10 значений): −5, −4, −2, −2, 0, 3, 3, 3, 6, 8.
Размах: 8 − (−5) = 13.
Мода: 3 (встречается трижды).
Медиана: чётное число значений, берём полусумму пятого и шестого: (0 + 3)/2 = 1,5.
Среднее: (−5 + 6 + 3 + 8 + 3 − 2 − 4 + 0 + 3 − 2)/10 = 10/10 = 1.
Ответ: 13; 3; 1,5; 1.
Размах: 8 − (−5) = 13.
Мода: 3 (встречается трижды).
Медиана: чётное число значений, берём полусумму пятого и шестого: (0 + 3)/2 = 1,5.
Среднее: (−5 + 6 + 3 + 8 + 3 − 2 − 4 + 0 + 3 − 2)/10 = 10/10 = 1.
Ответ: 13; 3; 1,5; 1.
Проверь себя!
Задание 3. Найти дисперсию выборки: −2, 3, 1, 0, 4.
Среднее: (−2 + 3 + 1 + 0 + 4)/5 = 6/5 = 1,2.
Отклонения от среднего: −3,2; 1,8; −0,2; −1,2; 2,8.
Квадраты отклонений: 10,24; 3,24; 0,04; 1,44; 7,84; сумма 22,8.
D = 22,8/5 = 4,56.
Ответ: 4,56.
Отклонения от среднего: −3,2; 1,8; −0,2; −1,2; 2,8.
Квадраты отклонений: 10,24; 3,24; 0,04; 1,44; 7,84; сумма 22,8.
D = 22,8/5 = 4,56.
Ответ: 4,56.
1219. Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам M задано таблицей:
1) [таблица: строка X: −1, 0, 1, 3, 5, 6; строка M: 2, 3, 4, 1, 1, 1]
2) [таблица: строка X: −2, −1, 0, 2, 3, 4; строка M: 1, 2, 4, 4, 1, 1]
1) [таблица: строка X: −1, 0, 1, 3, 5, 6; строка M: 2, 3, 4, 1, 1, 1]
2) [таблица: строка X: −2, −1, 0, 2, 3, 4; строка M: 1, 2, 4, 4, 1, 1]
Общее число значений N равно сумме частот; среднее равно (Σ X·M)/N; медиану находим по накопленным частотам.
1) N = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 12. Размах: 6 − (−1) = 7. Мода: наибольшая частота 4 у значения 1, мода 1. Медиана: значений 12, нужна полусумма шестого и седьмого; накопленные частоты: −1 — 2, 0 — 5, 1 — 9; значит, шестое и седьмое значения равны 1, медиана 1. Среднее: (−1·2 + 0·3 + 1·4 + 3 + 5 + 6)/12 = 16/12 = 4/3.
2) N = 1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1 = 13. Размах: 4 − (−2) = 6. Мода: наибольшая частота 4 у значений 0 и 2, две моды: 0 и 2. Медиана: седьмое значение; накопленные частоты: −2 — 1, −1 — 3, 0 — 7, поэтому седьмое значение равно 0. Среднее: (−2·1 − 1·2 + 0·4 + 2·4 + 3 + 4)/13 = 11/13.
Ответ: 1) 7; 1; 1; 4/3. 2) 6; 0 и 2; 0; 11/13.
1) N = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 = 12. Размах: 6 − (−1) = 7. Мода: наибольшая частота 4 у значения 1, мода 1. Медиана: значений 12, нужна полусумма шестого и седьмого; накопленные частоты: −1 — 2, 0 — 5, 1 — 9; значит, шестое и седьмое значения равны 1, медиана 1. Среднее: (−1·2 + 0·3 + 1·4 + 3 + 5 + 6)/12 = 16/12 = 4/3.
2) N = 1 + 2 + 4 + 4 + 1 + 1 = 13. Размах: 4 − (−2) = 6. Мода: наибольшая частота 4 у значений 0 и 2, две моды: 0 и 2. Медиана: седьмое значение; накопленные частоты: −2 — 1, −1 — 3, 0 — 7, поэтому седьмое значение равно 0. Среднее: (−2·1 − 1·2 + 0·4 + 2·4 + 3 + 4)/13 = 11/13.
Ответ: 1) 7; 1; 1; 4/3. 2) 6; 0 и 2; 0; 11/13.
1220. Рост каждой из 50 гимнасток одного спортивного клуба занесён в таблицу:
[таблица 5 × 10, строки: 148, 148, 149, 149, 149, 149, 149, 149, 149, 149; 149, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150; 150, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 152; 152, 152, 152, 152, 152, 152, 152, 152, 153, 153; 153, 153, 153, 153, 153, 153, 154, 154, 154, 154]
По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины X — роста гимнасток клуба: 1) по частотам (M); 2) по относительным частотам (W). Построить полигон относительных частот значений величины X.
[таблица 5 × 10, строки: 148, 148, 149, 149, 149, 149, 149, 149, 149, 149; 149, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150, 150; 150, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 151, 152; 152, 152, 152, 152, 152, 152, 152, 152, 153, 153; 153, 153, 153, 153, 153, 153, 154, 154, 154, 154]
По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины X — роста гимнасток клуба: 1) по частотам (M); 2) по относительным частотам (W). Построить полигон относительных частот значений величины X.
Считаем, сколько раз встречается каждое значение. 148 — 2 раза; 149 — 8 + 1 = 9 раз; 150 — 9 + 1 = 10 раз; 151 — 8 раз; 152 — 1 + 8 = 9 раз; 153 — 2 + 6 = 8 раз; 154 — 4 раза. Проверка: 2 + 9 + 10 + 8 + 9 + 8 + 4 = 50.
1) Таблица по частотам: X: 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154; M: 2, 9, 10, 8, 9, 8, 4.
2) Относительные частоты W = M/50: 2/50 = 0,04; 9/50 = 0,18; 10/50 = 0,2; 8/50 = 0,16; 9/50 = 0,18; 8/50 = 0,16; 4/50 = 0,08. Сумма: 0,04 + 0,18 + 0,2 + 0,16 + 0,18 + 0,16 + 0,08 = 1.
Полигон относительных частот — ломаная по точкам (148; 0,04), (149; 0,18), (150; 0,2), (151; 0,16), (152; 0,18), (153; 0,16), (154; 0,08); на рисунке ломаная построена по шкале M слева, шкала W (M/50) указана справа.
Ответ: таблицы и полигон показаны на рисунке.
1) Таблица по частотам: X: 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154; M: 2, 9, 10, 8, 9, 8, 4.
2) Относительные частоты W = M/50: 2/50 = 0,04; 9/50 = 0,18; 10/50 = 0,2; 8/50 = 0,16; 9/50 = 0,18; 8/50 = 0,16; 4/50 = 0,08. Сумма: 0,04 + 0,18 + 0,2 + 0,16 + 0,18 + 0,16 + 0,08 = 1.
Полигон относительных частот — ломаная по точкам (148; 0,04), (149; 0,18), (150; 0,2), (151; 0,16), (152; 0,18), (153; 0,16), (154; 0,08); на рисунке ломаная построена по шкале M слева, шкала W (M/50) указана справа.
Ответ: таблицы и полигон показаны на рисунке.