Упражнения 1203–1209, стр. 382 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1203–1209 — Глава XIII. § 73. Меры разброса

Страница 382 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава XIII. § 73. Меры разброса — с. 382

1203. Найти дисперсию совокупности значений случайной величины X, заданной частотным распределением:
1) [таблица: строка X: 2, 3, 4, 6; строка M: 3, 2, 2, 3]
2) [таблица: строка X: −1, 2, 3, 4, 5; строка M: 3, 1, 2, 3, 1]
Используем формулы X̄ = Σ(XM)/ΣM, D = Σ((X − X̄)²·M)/ΣM.
1) ΣM = 10; X̄ = (2·3 + 3·2 + 4·2 + 6·3)/10 = 38/10 = 3,8. Отклонения: −1,8; −0,8; 0,2; 2,2; квадраты: 3,24; 0,64; 0,04; 4,84. Σ((X − X̄)²·M) = 3,24·3 + 0,64·2 + 0,04·2 + 4,84·3 = 9,72 + 1,28 + 0,08 + 14,52 = 25,6. D = 25,6/10 = 2,56.
2) ΣM = 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 10; X̄ = (−1·3 + 2·1 + 3·2 + 4·3 + 5·1)/10 = 22/10 = 2,2. Отклонения: −3,2; −0,2; 0,8; 1,8; 2,8; квадраты: 10,24; 0,04; 0,64; 3,24; 7,84. Σ((X − X̄)²·M) = 30,72 + 0,04 + 1,28 + 9,72 + 7,84 = 49,6. D = 49,6/10 = 4,96.
Ответ: 1) 2,56; 2) 4,96.
1204. Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки:
1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг;
2) 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.
Среднее квадратичное отклонение σ = √D.
1) X̄ = (3 + 5 + 5 + 8 + 4)/5 = 5. Отклонения: −2, 0, 0, 3, −1; квадраты: 4, 0, 0, 9, 1; сумма 14. D = 14/5 = 2,8 кг²; σ = √2,8 ≈ 1,67 кг.
2) X̄ = (12 + 10 + 7 + 12 + 9)/5 = 10. Отклонения: 2, 0, −3, 2, −1; квадраты: 4, 0, 9, 4, 1; сумма 18. D = 18/5 = 3,6 м²; σ = √3,6 ≈ 1,9 м.
Ответ: 1) ≈ 1,67 кг; 2) ≈ 1,9 м.
1205. Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения:
1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10;
2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10.
1) Первая выборка: X̄ = 40/5 = 8; отклонения −2, 2, −1, 0, 1; квадраты 4, 4, 1, 0, 1; сумма 10; D₁ = 10/5 = 2. Вторая: X̄ = 32/4 = 8; отклонения 0, 1, −3, 2; квадраты 0, 1, 9, 4; сумма 14; D₂ = 14/4 = 3,5. Средние одинаковы (8). D₁ < D₂.
2) Первая выборка: X̄ = 50/5 = 10; отклонения −5, 2, −3, −2, 8; квадраты 25, 4, 9, 4, 64; сумма 106; D₁ = 106/5 = 21,2. Вторая: X̄ = 60/6 = 10; отклонения 7, −4, 1, −3, −1, 0; квадраты 49, 16, 1, 9, 1, 0; сумма 76; D₂ = 76/6 = 38/3 ≈ 12,67. D₁ > D₂.
Ответ: 1. D₁ < D₂ (2 < 3,5); 2) D₁ > D₂ (21,2 > 12,67).
1206. Найти среднее квадратичное отклонение величины X, заданной частотным распределением:
1) [таблица: строка X: 2, 3, 4, 6; строка M: 2, 2, 1, 3]
2) [таблица: строка X: −5, −2, 2, 3; строка M: 2, 3, 4, 2]
1) ΣM = 8; X̄ = (2·2 + 3·2 + 4·1 + 6·3)/8 = 32/8 = 4. Отклонения: −2, −1, 0, 2; квадраты: 4, 1, 0, 4. Σ((X − X̄)²·M) = 4·2 + 1·2 + 0·1 + 4·3 = 22. D = 22/8 = 2,75; σ = √2,75 ≈ 1,66.
2) ΣM = 2 + 3 + 4 + 2 = 11; X̄ = (−5·2 − 2·3 + 2·4 + 3·2)/11 = (−10 − 6 + 8 + 6)/11 = −2/11. Удобно вычислять так: D = Σ(X²M)/ΣM − X̄². Σ(X²M) = 25·2 + 4·3 + 4·4 + 9·2 = 50 + 12 + 16 + 18 = 96. D = 96/11 − 4/121 = (1056 − 4)/121 = 1052/121 ≈ 8,69; σ ≈ √8,69 ≈ 2,95 (с точностью до десятых 2,9).
Ответ: 1) σ ≈ 1,66; 2) σ ≈ 2,95 (≈ 2,9).
1207. Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения:
1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9;
2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.
1) Первая выборка: X̄ = 35/5 = 7; отклонения −3, −1, 1, 2, 1; квадраты 9, 1, 1, 4, 1; сумма 16; D₁ = 16/5 = 3,2. Вторая: X̄ = 45/5 = 9; отклонения −3, −1, 1, 3, 0; квадраты 9, 1, 1, 9, 0; сумма 20; D₂ = 20/5 = 4. D₁ < D₂.
2) Первая выборка: X̄ = 30/5 = 6; отклонения 0, −3, −2, 2, 3; квадраты 0, 9, 4, 4, 9; сумма 26; D₁ = 26/5 = 5,2. Вторая: X̄ = 30/6 = 5; отклонения −3, 1, −2, 2, 0, 2; квадраты 9, 1, 4, 4, 0, 4; сумма 22; D₂ = 22/6 = 11/3 ≈ 3,67. D₁ > D₂.
Ответ: 1. D₁ < D₂ (3,2 < 4); 2) D₁ > D₂ (5,2 > 11/3).
1208. Двух футболистов, участвующих в играх пяти сезонов и забивших одинаковое количество голов (см. таблицу), сравнить по стабильности результатов.
[таблица: строка «Условный номер сезона»: 1, 2, 3, 4, 5; строка «Число голов, забитых 1-м футболистом»: 18, 23, 19, 17, 23; строка «Число голов, забитых 2-м футболистом»: 19, 16, 22, 23, 20]
Оба забили по 100 голов (18 + 23 + 19 + 17 + 23 = 100; 19 + 16 + 22 + 23 + 20 = 100), среднее для обоих 20 голов за сезон. Стабильность оцениваем по дисперсии: чем она меньше, тем стабильнее результаты.
1-й футболист: отклонения −2, 3, −1, −3, 3; квадраты 4, 9, 1, 9, 9; сумма 32; D₁ = 32/5 = 6,4.
2-й футболист: отклонения −1, −4, 2, 3, 0; квадраты 1, 16, 4, 9, 0; сумма 30; D₂ = 30/5 = 6.
D₂ < D₁.
Ответ: второй футболист играл стабильнее.
1209. Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по стабильности в забивании голов.
[таблица: строка «Условный номер сезона»: 1, 2, 3, 4, 5, 6; строка «Число голов, забитых 1-м футболистом»: 17, 21, 20, 16, 15, 19; строка «Число голов, забитых 2-м футболистом»: —, 17, 20, 18, 21, 14]
Число сезонов разное, поэтому сравниваем средние голы за сезон и дисперсии (средние арифметические квадратов отклонений).
1-й футболист (6 сезонов): X̄ = (17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19)/6 = 108/6 = 18. Отклонения −1, 3, 2, −2, −3, 1; квадраты 1, 9, 4, 4, 9, 1; сумма 28; D₁ = 28/6 = 14/3 ≈ 4,67.
2-й футболист (5 сезонов, во 2–6-м): X̄ = (17 + 20 + 18 + 21 + 14)/5 = 90/5 = 18. Отклонения −1, 2, 0, 3, −4; квадраты 1, 4, 0, 9, 16; сумма 30; D₂ = 30/5 = 6.
Средние равны, D₁ < D₂.
Ответ: первый футболист более стабилен.