Глава XIII. Упражнения к главе XIII — с. 383
1210. Составить таблицу распределения по вероятностям P значений случайной величины X — числа очков, появившихся при бросании кубика:
1) на одной грани которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка;
2) на двух гранях которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка;
3) на одной грани которого отмечено одно очко, на двух — 2 очка, на остальных — 3 очка;
4) на одной грани которого отмечено одно очко, на другой — 2 очка, на двух — 3 очка, на остальных — 4 очка.
1) на одной грани которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка;
2) на двух гранях которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка;
3) на одной грани которого отмечено одно очко, на двух — 2 очка, на остальных — 3 очка;
4) на одной грани которого отмечено одно очко, на другой — 2 очка, на двух — 3 очка, на остальных — 4 очка.
У кубика 6 граней, все исходы равновозможны, поэтому вероятность значения равна (число граней с этим числом очков)/6.
1) Одно очко — 1 грань, два очка — остальные 5 граней: P(1) = 1/6, P(2) = 5/6. Проверка: 1/6 + 5/6 = 1.
2) Одно очко — 2 грани, два очка — 4 грани: P(1) = 2/6 = 1/3, P(2) = 4/6 = 2/3.
3) Одно очко — 1 грань, два очка — 2 грани, три очка — остальные 3 грани: P(1) = 1/6, P(2) = 2/6 = 1/3, P(3) = 3/6 = 1/2. Сумма: 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1.
4) Одно очко — 1 грань, два очка — 1 грань, три очка — 2 грани, четыре очка — остальные 2 грани: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, P(3) = 2/6 = 1/3, P(4) = 2/6 = 1/3. Сумма равна 1.
Ответ: таблицы приведены на рисунке.
1) Одно очко — 1 грань, два очка — остальные 5 граней: P(1) = 1/6, P(2) = 5/6. Проверка: 1/6 + 5/6 = 1.
2) Одно очко — 2 грани, два очка — 4 грани: P(1) = 2/6 = 1/3, P(2) = 4/6 = 2/3.
3) Одно очко — 1 грань, два очка — 2 грани, три очка — остальные 3 грани: P(1) = 1/6, P(2) = 2/6 = 1/3, P(3) = 3/6 = 1/2. Сумма: 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1.
4) Одно очко — 1 грань, два очка — 1 грань, три очка — 2 грани, четыре очка — остальные 2 грани: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, P(3) = 2/6 = 1/3, P(4) = 2/6 = 1/3. Сумма равна 1.
Ответ: таблицы приведены на рисунке.
1211. Имеются две монеты, у которых на одной из сторон записано число 1, а на другой — число 2. Составить таблицу распределения по вероятностям P значений случайной величины Y — суммы чисел, появившихся при бросании этих монет.
Исходы бросания двух монет (число на первой; число на второй): (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2) — четыре равновозможных исхода.
Y = 2 при исходе (1; 1): P(2) = 1/4.
Y = 3 при исходах (1; 2) и (2; 1): P(3) = 2/4 = 1/2.
Y = 4 при исходе (2; 2): P(4) = 1/4.
Проверка: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.
Ответ: Y = 2, 3, 4 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4.
Y = 2 при исходе (1; 1): P(2) = 1/4.
Y = 3 при исходах (1; 2) и (2; 1): P(3) = 2/4 = 1/2.
Y = 4 при исходе (2; 2): P(4) = 1/4.
Проверка: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.
Ответ: Y = 2, 3, 4 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4.
1212. Дан набор случайно названных двузначных чисел:
1) 27, 31, 49, 25, 74, 99, 30, 12, 22, 58;
2) 19, 46, 54, 28, 67, 88, 37, 92, 71, 33.
Составить таблицу распределения по частотам M значений случайной величины X — цифр, встречающихся в наборе.
1) 27, 31, 49, 25, 74, 99, 30, 12, 22, 58;
2) 19, 46, 54, 28, 67, 88, 37, 92, 71, 33.
Составить таблицу распределения по частотам M значений случайной величины X — цифр, встречающихся в наборе.
Выписываем все цифры набора (по две в каждом числе, всего 20) и считаем, сколько раз встречается каждая.
1) Цифры: 2, 7; 3, 1; 4, 9; 2, 5; 7, 4; 9, 9; 3, 0; 1, 2; 2, 2; 5, 8.
0 — 1 раз; 1 — 2 раза; 2 — 5 раз; 3 — 2 раза; 4 — 2 раза; 5 — 2 раза; 7 — 2 раза; 8 — 1 раз; 9 — 3 раза (цифры 6 в наборе нет). Сумма частот: 1 + 2 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 = 20.
2) Цифры: 1, 9; 4, 6; 5, 4; 2, 8; 6, 7; 8, 8; 3, 7; 9, 2; 7, 1; 3, 3.
1 — 2 раза; 2 — 2 раза; 3 — 3 раза; 4 — 2 раза; 5 — 1 раз; 6 — 2 раза; 7 — 3 раза; 8 — 3 раза; 9 — 2 раза (цифры 0 в наборе нет). Сумма частот: 2 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 20.
Ответ: таблицы приведены на рисунке.
1) Цифры: 2, 7; 3, 1; 4, 9; 2, 5; 7, 4; 9, 9; 3, 0; 1, 2; 2, 2; 5, 8.
0 — 1 раз; 1 — 2 раза; 2 — 5 раз; 3 — 2 раза; 4 — 2 раза; 5 — 2 раза; 7 — 2 раза; 8 — 1 раз; 9 — 3 раза (цифры 6 в наборе нет). Сумма частот: 1 + 2 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 = 20.
2) Цифры: 1, 9; 4, 6; 5, 4; 2, 8; 6, 7; 8, 8; 3, 7; 9, 2; 7, 1; 3, 3.
1 — 2 раза; 2 — 2 раза; 3 — 3 раза; 4 — 2 раза; 5 — 1 раз; 6 — 2 раза; 7 — 3 раза; 8 — 3 раза; 9 — 2 раза (цифры 0 в наборе нет). Сумма частот: 2 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 20.
Ответ: таблицы приведены на рисунке.
1213. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Z, распределение которых представлено в таблице:
1) [таблица: строка Z: 3, 4, 5, 6, 7, 8; строка M: 1, 3, 4, 5, 3, 2]
2) [таблица: строка Z: 10, 11, 12, 13, 14; строка M: 4, 6, 9, 7, 3]
1) [таблица: строка Z: 3, 4, 5, 6, 7, 8; строка M: 1, 3, 4, 5, 3, 2]
2) [таблица: строка Z: 10, 11, 12, 13, 14; строка M: 4, 6, 9, 7, 3]
Полигон частот — ломаная, последовательно соединяющая точки (Z; M); полигон относительных частот — ломаная по точкам (Z; W), где W = M/N, N — сумма частот.
1) N = 1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 = 18.
Полигон частот: (3; 1), (4; 3), (5; 4), (6; 5), (7; 3), (8; 2).
Относительные частоты W = M/18: 1/18 ≈ 0,06; 3/18 = 1/6 ≈ 0,17; 4/18 = 2/9 ≈ 0,22; 5/18 ≈ 0,28; 3/18 = 1/6 ≈ 0,17; 2/18 = 1/9 ≈ 0,11. Полигон относительных частот: (3; 1/18), (4; 1/6), (5; 2/9), (6; 5/18), (7; 1/6), (8; 1/9). Его форма та же, что у полигона частот, меняется лишь масштаб по вертикали (все ординаты делятся на 18).
2) N = 4 + 6 + 9 + 7 + 3 = 29.
Полигон частот: (10; 4), (11; 6), (12; 9), (13; 7), (14; 3).
Относительные частоты W = M/29: 4/29 ≈ 0,14; 6/29 ≈ 0,21; 9/29 ≈ 0,31; 7/29 ≈ 0,24; 3/29 ≈ 0,10. Полигон относительных частот: (10; 4/29), (11; 6/29), (12; 9/29), (13; 7/29), (14; 3/29).
На рисунке показаны полигоны частот; красные подписи у вершин — относительные частоты W, по ним строится полигон относительных частот.
1) N = 1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 = 18.
Полигон частот: (3; 1), (4; 3), (5; 4), (6; 5), (7; 3), (8; 2).
Относительные частоты W = M/18: 1/18 ≈ 0,06; 3/18 = 1/6 ≈ 0,17; 4/18 = 2/9 ≈ 0,22; 5/18 ≈ 0,28; 3/18 = 1/6 ≈ 0,17; 2/18 = 1/9 ≈ 0,11. Полигон относительных частот: (3; 1/18), (4; 1/6), (5; 2/9), (6; 5/18), (7; 1/6), (8; 1/9). Его форма та же, что у полигона частот, меняется лишь масштаб по вертикали (все ординаты делятся на 18).
2) N = 4 + 6 + 9 + 7 + 3 = 29.
Полигон частот: (10; 4), (11; 6), (12; 9), (13; 7), (14; 3).
Относительные частоты W = M/29: 4/29 ≈ 0,14; 6/29 ≈ 0,21; 9/29 ≈ 0,31; 7/29 ≈ 0,24; 3/29 ≈ 0,10. Полигон относительных частот: (10; 4/29), (11; 6/29), (12; 9/29), (13; 7/29), (14; 3/29).
На рисунке показаны полигоны частот; красные подписи у вершин — относительные частоты W, по ним строится полигон относительных частот.
Найти размах, моду, медиану и среднее выборки (1214—1217):
1214. 1) 1, 5, 5, 8, 10;
2) 3, 10, 12, 12, 18;
1214. 1) 1, 5, 5, 8, 10;
2) 3, 10, 12, 12, 18;
Размах — разность наибольшего и наименьшего значений, мода — наиболее часто встречающееся значение, медиана — средний элемент упорядоченной выборки, среднее — сумма значений, делённая на их число.
1) Размах: 10 − 1 = 9. Мода: 5 (встречается дважды). Медиана: выборка упорядочена, пять значений, средний — третий: 5. Среднее: (1 + 5 + 5 + 8 + 10)/5 = 29/5 = 5,8.
2) Размах: 18 − 3 = 15. Мода: 12. Медиана: третье значение, 12. Среднее: (3 + 10 + 12 + 12 + 18)/5 = 55/5 = 11.
Ответ: 1) 9; 5; 5; 5,8. 2) 15; 12; 12; 11.
1) Размах: 10 − 1 = 9. Мода: 5 (встречается дважды). Медиана: выборка упорядочена, пять значений, средний — третий: 5. Среднее: (1 + 5 + 5 + 8 + 10)/5 = 29/5 = 5,8.
2) Размах: 18 − 3 = 15. Мода: 12. Медиана: третье значение, 12. Среднее: (3 + 10 + 12 + 12 + 18)/5 = 55/5 = 11.
Ответ: 1) 9; 5; 5; 5,8. 2) 15; 12; 12; 11.
1215. 1) −8, −8, −5, −5, 0, 2;
2) −4, −4, 0, 2, 9, 9.
2) −4, −4, 0, 2, 9, 9.
1) Размах: 2 − (−8) = 10. Мода: у чисел −8 и −5 частота 2, наибольшая; выборка имеет две моды: −8 и −5. Медиана: значений шесть, берём полусумму третьего и четвёртого: (−5 + (−5))/2 = −5. Среднее: (−8 − 8 − 5 − 5 + 0 + 2)/6 = −24/6 = −4.
2) Размах: 9 − (−4) = 13. Мода: −4 и 9 (каждое встречается дважды). Медиана: (0 + 2)/2 = 1. Среднее: (−4 − 4 + 0 + 2 + 9 + 9)/6 = 12/6 = 2.
Ответ: 1) 10; −8 и −5; −5; −4. 2) 13; −4 и 9; 1; 2.
2) Размах: 9 − (−4) = 13. Мода: −4 и 9 (каждое встречается дважды). Медиана: (0 + 2)/2 = 1. Среднее: (−4 − 4 + 0 + 2 + 9 + 9)/6 = 12/6 = 2.
Ответ: 1) 10; −8 и −5; −5; −4. 2) 13; −4 и 9; 1; 2.
1216. 1) −1, 12, −6, −7, 13, −2, 10, −2, −9;
2) 4, −10, 13, 8, −6, −3, −1, 13, −6;
2) 4, −10, 13, 8, −6, −3, −1, 13, −6;
1) Упорядочим: −9, −7, −6, −2, −2, −1, 10, 12, 13 (девять значений). Размах: 13 − (−9) = 22. Мода: −2 (встречается дважды). Медиана — пятое значение: −2. Среднее: (−9 − 7 − 6 − 2 − 2 − 1 + 10 + 12 + 13)/9 = 8/9.
2) Упорядочим: −10, −6, −6, −3, −1, 4, 8, 13, 13. Размах: 13 − (−10) = 23. Мода: −6 и 13 (по два раза). Медиана — пятое значение: −1. Среднее: (−10 − 6 − 6 − 3 − 1 + 4 + 8 + 13 + 13)/9 = 12/9 = 4/3 = 1 1/3.
Ответ: 1) 22; −2; −2; 8/9. 2) 23; −6 и 13; −1; 4/3.
2) Упорядочим: −10, −6, −6, −3, −1, 4, 8, 13, 13. Размах: 13 − (−10) = 23. Мода: −6 и 13 (по два раза). Медиана — пятое значение: −1. Среднее: (−10 − 6 − 6 − 3 − 1 + 4 + 8 + 13 + 13)/9 = 12/9 = 4/3 = 1 1/3.
Ответ: 1) 22; −2; −2; 8/9. 2) 23; −6 и 13; −1; 4/3.
1217. 1) −5, −15, 12, −7, 8, 13, −1, −7;
2) 16, −2, −8, 10, 14, −6, −2, 11.
2) 16, −2, −8, 10, 14, −6, −2, 11.
1) Упорядочим: −15, −7, −7, −5, −1, 8, 12, 13 (восемь значений). Размах: 13 − (−15) = 28. Мода: −7. Медиана: (−5 + (−1))/2 = −3. Среднее: (−15 − 7 − 7 − 5 − 1 + 8 + 12 + 13)/8 = −2/8 = −1/4 = −0,25.
2) Упорядочим: −8, −6, −2, −2, 10, 11, 14, 16. Размах: 16 − (−8) = 24. Мода: −2. Медиана: (−2 + 10)/2 = 4. Среднее: (16 − 2 − 8 + 10 + 14 − 6 − 2 + 11)/8 = 33/8 = 4,125.
Ответ: 1) 28; −7; −3; −0,25. 2) 24; −2; 4; 4,125.
2) Упорядочим: −8, −6, −2, −2, 10, 11, 14, 16. Размах: 16 − (−8) = 24. Мода: −2. Медиана: (−2 + 10)/2 = 4. Среднее: (16 − 2 − 8 + 10 + 14 − 6 − 2 + 11)/8 = 33/8 = 4,125.
Ответ: 1) 28; −7; −3; −0,25. 2) 24; −2; 4; 4,125.