Глава XIII. § 71. Случайные величины — с. 369
1187. Составить таблицу распределения по частотам M значений случайной величины X — цифр, встречающихся в выборке следующих телефонных номеров:
1) 3965184, 6542913, 7902914, 2878858;
2) 1316573, 4336582, 2983412, 3941009.
1) 3965184, 6542913, 7902914, 2878858;
2) 1316573, 4336582, 2983412, 3941009.
Всего в выборке 4 · 7 = 28 цифр. Считаем, сколько раз встречается каждая цифра.
1) Номера: 3965184, 6542913, 7902914, 2878858.
0 — 1 раз (7902914); 1 — 3 раза (в номерах 3965184, 6542913, 7902914); 2 — 3 раза; 3 — 2 раза; 4 — 3 раза; 5 — 3 раза; 6 — 2 раза; 7 — 2 раза; 8 — 5 раз; 9 — 4 раза.
[таблица: X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; M: 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 4]
Проверка: ΣM = 1 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 28.
2) Номера: 1316573, 4336582, 2983412, 3941009.
[таблица: X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; M: 2, 4, 3, 6, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
Проверка: ΣM = 2 + 4 + 3 + 6 + 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 28.
1) Номера: 3965184, 6542913, 7902914, 2878858.
0 — 1 раз (7902914); 1 — 3 раза (в номерах 3965184, 6542913, 7902914); 2 — 3 раза; 3 — 2 раза; 4 — 3 раза; 5 — 3 раза; 6 — 2 раза; 7 — 2 раза; 8 — 5 раз; 9 — 4 раза.
[таблица: X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; M: 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 4]
Проверка: ΣM = 1 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 28.
2) Номера: 1316573, 4336582, 2983412, 3941009.
[таблица: X: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; M: 2, 4, 3, 6, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
Проверка: ΣM = 2 + 4 + 3 + 6 + 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 = 28.
1188. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины X, распределение которой представлено в таблице:
1) [таблица: строка X: 5, 6, 7, 8, 9; строка M: 2, 3, 6, 4, 1]
2) [таблица: строка X: 12, 13, 14, 15, 16, 17; строка M: 4, 5, 7, 6, 4, 3]
1) [таблица: строка X: 5, 6, 7, 8, 9; строка M: 2, 3, 6, 4, 1]
2) [таблица: строка X: 12, 13, 14, 15, 16, 17; строка M: 4, 5, 7, 6, 4, 3]
Относительная частота W = M/N, где N = ΣM. Полигон частот — ломаная через точки (X; M); полигон относительных частот — ломаная через точки (X; W). Форма ломаных одна и та же, различаются только масштабом по оси ординат, поэтому на рисунке они совмещены: слева отложены M, справа W.
1) N = 2 + 3 + 6 + 4 + 1 = 16.
[таблица: X: 5, 6, 7, 8, 9; M: 2, 3, 6, 4, 1; W: 0,125; 0,1875; 0,375; 0,25; 0,0625]
Проверка: ΣW = 16/16 = 1. Точки полигона частот: (5; 2), (6; 3), (7; 6), (8; 4), (9; 1); точки полигона относительных частот: (5; 0,125), (6; 0,1875), (7; 0,375), (8; 0,25), (9; 0,0625). Соседние точки соединяем отрезками.
2) N = 4 + 5 + 7 + 6 + 4 + 3 = 29.
[таблица: X: 12, 13, 14, 15, 16, 17; M: 4, 5, 7, 6, 4, 3; W: 4/29 ≈ 0,138; 5/29 ≈ 0,172; 7/29 ≈ 0,241; 6/29 ≈ 0,207; 4/29 ≈ 0,138; 3/29 ≈ 0,103]
Проверка: ΣW = 29/29 = 1. Точки полигона частот: (12; 4), (13; 5), (14; 7), (15; 6), (16; 4), (17; 3); точки полигона относительных частот строятся по значениям W из таблицы.
1) N = 2 + 3 + 6 + 4 + 1 = 16.
[таблица: X: 5, 6, 7, 8, 9; M: 2, 3, 6, 4, 1; W: 0,125; 0,1875; 0,375; 0,25; 0,0625]
Проверка: ΣW = 16/16 = 1. Точки полигона частот: (5; 2), (6; 3), (7; 6), (8; 4), (9; 1); точки полигона относительных частот: (5; 0,125), (6; 0,1875), (7; 0,375), (8; 0,25), (9; 0,0625). Соседние точки соединяем отрезками.
2) N = 4 + 5 + 7 + 6 + 4 + 3 = 29.
[таблица: X: 12, 13, 14, 15, 16, 17; M: 4, 5, 7, 6, 4, 3; W: 4/29 ≈ 0,138; 5/29 ≈ 0,172; 7/29 ≈ 0,241; 6/29 ≈ 0,207; 4/29 ≈ 0,138; 3/29 ≈ 0,103]
Проверка: ΣW = 29/29 = 1. Точки полигона частот: (12; 4), (13; 5), (14; 7), (15; 6), (16; 4), (17; 3); точки полигона относительных частот строятся по значениям W из таблицы.
1189. В таблице записаны результаты 20 взвешиваний (с точностью до 1 г) одной и той же стальной отливки:
[таблица, 2 строки по 10 чисел: 99, 97, 101, 100, 99, 102, 100, 102, 98, 101; 100, 98, 100, 98, 101, 97, 101, 100, 100, 99]
Составить таблицы распределения по частотам (M) и относительным частотам (W), а также полигон частот значений случайной величины X — результата определения массы стальной отливки.
[таблица, 2 строки по 10 чисел: 99, 97, 101, 100, 99, 102, 100, 102, 98, 101; 100, 98, 100, 98, 101, 97, 101, 100, 100, 99]
Составить таблицы распределения по частотам (M) и относительным частотам (W), а также полигон частот значений случайной величины X — результата определения массы стальной отливки.
Считаем, сколько раз встречается каждое значение (всего N = 20):
97 г — 2 раза; 98 г — 3 раза; 99 г — 3 раза; 100 г — 6 раз; 101 г — 4 раза; 102 г — 2 раза.
Относительные частоты W = M/20.
[таблица: X: 97, 98, 99, 100, 101, 102; M: 2, 3, 3, 6, 4, 2; W: 0,1; 0,15; 0,15; 0,3; 0,2; 0,1]
Проверка: ΣM = 2 + 3 + 3 + 6 + 4 + 2 = 20; ΣW = 0,1 + 0,15 + 0,15 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1.
Полигон частот — ломаная, соединяющая точки (97; 2), (98; 3), (99; 3), (100; 6), (101; 4), (102; 2).
97 г — 2 раза; 98 г — 3 раза; 99 г — 3 раза; 100 г — 6 раз; 101 г — 4 раза; 102 г — 2 раза.
Относительные частоты W = M/20.
[таблица: X: 97, 98, 99, 100, 101, 102; M: 2, 3, 3, 6, 4, 2; W: 0,1; 0,15; 0,15; 0,3; 0,2; 0,1]
Проверка: ΣM = 2 + 3 + 3 + 6 + 4 + 2 = 20; ΣW = 0,1 + 0,15 + 0,15 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1.
Полигон частот — ломаная, соединяющая точки (97; 2), (98; 3), (99; 3), (100; 6), (101; 4), (102; 2).
1190. Составить таблицы распределения по частотам (M) и относительным частотам (W), а также полигон частот значений случайной величины Y — ростов 30 девушек спортивной секции гимнастики, приведённых (с точностью до 1 см) в таблице:
[таблица, 3 строки по 10 чисел: 160, 163, 161, 162, 165, 163, 166, 159, 164, 165; 163, 159, 164, 158, 164, 162, 165, 163, 166, 162; 162, 164, 161, 165, 163, 164, 161, 166, 160, 163]
[таблица, 3 строки по 10 чисел: 160, 163, 161, 162, 165, 163, 166, 159, 164, 165; 163, 159, 164, 158, 164, 162, 165, 163, 166, 162; 162, 164, 161, 165, 163, 164, 161, 166, 160, 163]
Всего N = 30 значений. Подсчитываем частоты: 158 — 1; 159 — 2; 160 — 2; 161 — 3; 162 — 4; 163 — 6; 164 — 5; 165 — 4; 166 — 3.
Относительные частоты W = M/30.
[таблица: Y: 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166; M: 1, 2, 2, 3, 4, 6, 5, 4, 3; W: 1/30 ≈ 0,033; 1/15 ≈ 0,067; 1/15 ≈ 0,067; 0,1; 2/15 ≈ 0,133; 0,2; 1/6 ≈ 0,167; 2/15 ≈ 0,133; 0,1]
Проверка: ΣM = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30; ΣW = 1.
Полигон частот — ломаная через точки (158; 1), (159; 2), (160; 2), (161; 3), (162; 4), (163; 6), (164; 5), (165; 4), (166; 3).
Относительные частоты W = M/30.
[таблица: Y: 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166; M: 1, 2, 2, 3, 4, 6, 5, 4, 3; W: 1/30 ≈ 0,033; 1/15 ≈ 0,067; 1/15 ≈ 0,067; 0,1; 2/15 ≈ 0,133; 0,2; 1/6 ≈ 0,167; 2/15 ≈ 0,133; 0,1]
Проверка: ΣM = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30; ΣW = 1.
Полигон частот — ломаная через точки (158; 1), (159; 2), (160; 2), (161; 3), (162; 4), (163; 6), (164; 5), (165; 4), (166; 3).
1191. Сроки службы T приборов некоторого вида (в часах) попадают в промежуток [0; 2500]. Результаты проверки сроков работы 200 приборов этого вида отражены в частотной таблице:
[таблица: строка T: [0; 500), [500; 1000), [1000; 1500), [1500; 2000), [2000; 2500]; строка M: 5, 10, 15, 20, 150]
Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы частот.
[таблица: строка T: [0; 500), [500; 1000), [1000; 1500), [1500; 2000), [2000; 2500]; строка M: 5, 10, 15, 20, 150]
Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы частот.
Проверим: ΣM = 5 + 10 + 15 + 20 + 150 = 200 = N, значит, таблица составлена верно.
Промежуток [0; 2500] разбит на 5 промежутков одинаковой длины h = 500. Над каждым промежутком строим прямоугольник (столбец), основание которого — этот промежуток; высоты столбцов берём пропорциональными частотам M (как на рис. 174 учебника): 5, 10, 15, 20 и 150. Столбцы вплотную примыкают друг к другу. Площадь каждого столбца пропорциональна частоте, а сумма всех частот равна N = 200. Видно, что подавляющее большинство приборов (150 из 200, то есть 75%) служат от 2000 до 2500 часов.
Промежуток [0; 2500] разбит на 5 промежутков одинаковой длины h = 500. Над каждым промежутком строим прямоугольник (столбец), основание которого — этот промежуток; высоты столбцов берём пропорциональными частотам M (как на рис. 174 учебника): 5, 10, 15, 20 и 150. Столбцы вплотную примыкают друг к другу. Площадь каждого столбца пропорциональна частоте, а сумма всех частот равна N = 200. Видно, что подавляющее большинство приборов (150 из 200, то есть 75%) служат от 2000 до 2500 часов.