Глава XII. Упражнения к главе XII — с. 363
1182. В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что:
1) оба шара оказались белыми;
2) оба шара оказались чёрными;
3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный;
4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар;
5) хотя бы один шар оказался белым;
6) хотя бы один шар оказался чёрным.
1) оба шара оказались белыми;
2) оба шара оказались чёрными;
3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный;
4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар;
5) хотя бы один шар оказался белым;
6) хотя бы один шар оказался чёрным.
В первом ящике 8 + 9 = 17 шаров, во втором 6 + 5 = 11 шаров. Выборы из разных ящиков независимы, поэтому вероятности перемножаются.
Вероятности: из первого белый 8/17, чёрный 9/17; из второго белый 6/11, чёрный 5/11.
1) P = 8/17 · 6/11 = 48/187.
2) P = 9/17 · 5/11 = 45/187.
3) P = 8/17 · 5/11 = 40/187.
4) P = 9/17 · 6/11 = 54/187.
(Проверка: 48 + 45 + 40 + 54 = 187, сумма вероятностей равна 1.)
5) Противоположное событие «оба шара чёрные» имеет вероятность 45/187, поэтому P = 1 − 45/187 = 142/187.
6) Противоположное событие «оба шара белые» имеет вероятность 48/187, поэтому P = 1 − 48/187 = 139/187.
Ответ: 1) 48/187; 2) 45/187; 3) 40/187; 4) 54/187; 5) 142/187; 6) 139/187.
Вероятности: из первого белый 8/17, чёрный 9/17; из второго белый 6/11, чёрный 5/11.
1) P = 8/17 · 6/11 = 48/187.
2) P = 9/17 · 5/11 = 45/187.
3) P = 8/17 · 5/11 = 40/187.
4) P = 9/17 · 6/11 = 54/187.
(Проверка: 48 + 45 + 40 + 54 = 187, сумма вероятностей равна 1.)
5) Противоположное событие «оба шара чёрные» имеет вероятность 45/187, поэтому P = 1 − 45/187 = 142/187.
6) Противоположное событие «оба шара белые» имеет вероятность 48/187, поэтому P = 1 − 48/187 = 139/187.
Ответ: 1) 48/187; 2) 45/187; 3) 40/187; 4) 54/187; 5) 142/187; 6) 139/187.
1183. Два мальчика играют в игру крестики-нолики на поле 3 × 3. Первый случайным образом ставит в одну клетку крестик, второй случайным образом ставит нолик в одну из оставшихся 8 клеток. Найти вероятность того, что после этих ходов будут заняты заранее зафиксированные наблюдателем две клетки поля. Решить задачу двумя способами.
Назовём зафиксированные клетки A и B.
Способ 1 (классическое определение). Исходы — упорядоченные пары (клетка для крестика, клетка для нолика): первую клетку выбирают 9 способами, вторую — 8 способами, всего 9 · 8 = 72 равновозможных исхода. Благоприятных исходов два: крестик в A и нолик в B, либо крестик в B и нолик в A. Тогда P = 2/72 = 1/36.
Способ 2 (умножение вероятностей). Первый ход должен попасть в одну из клеток A или B: вероятность 2/9. После этого нолик должен попасть именно в оставшуюся зафиксированную клетку из 8 свободных: вероятность 1/8. Тогда P = 2/9 · 1/8 = 2/72 = 1/36.
(Можно также считать неупорядоченные пары занятых клеток: всего C(9,2) = 36 пар, благоприятна одна, P = 1/36.)
Ответ: 1/36.
Способ 1 (классическое определение). Исходы — упорядоченные пары (клетка для крестика, клетка для нолика): первую клетку выбирают 9 способами, вторую — 8 способами, всего 9 · 8 = 72 равновозможных исхода. Благоприятных исходов два: крестик в A и нолик в B, либо крестик в B и нолик в A. Тогда P = 2/72 = 1/36.
Способ 2 (умножение вероятностей). Первый ход должен попасть в одну из клеток A или B: вероятность 2/9. После этого нолик должен попасть именно в оставшуюся зафиксированную клетку из 8 свободных: вероятность 1/8. Тогда P = 2/9 · 1/8 = 2/72 = 1/36.
(Можно также считать неупорядоченные пары занятых клеток: всего C(9,2) = 36 пар, благоприятна одна, P = 1/36.)
Ответ: 1/36.