Глава XII. Упражнения к главе XII — с. 362
Проверь себя!
Задание 2. Брошены 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на первой кости выпало число 4, а на второй — нечётное число?
События «на первой кости выпало 4» (вероятность 1/6) и «на второй кости выпало нечётное число» (вероятность 3/6 = 1/2) независимы. Поэтому P = 1/6 · 1/2 = 1/12.
Проверка по исходам: из 36 равновозможных благоприятны (4; 1), (4; 3), (4; 5) — 3 исхода, 3/36 = 1/12.
Ответ: 1/12.
Проверка по исходам: из 36 равновозможных благоприятны (4; 1), (4; 3), (4; 5) — 3 исхода, 3/36 = 1/12.
Ответ: 1/12.
Проверь себя!
Задание 3. Вероятность попадания по цели при одном выстреле у первого орудия равна 0,6, у второго — 0,7. Найти вероятность того, что по цели попадёт хотя бы одно орудие после того, как оба сделают по одному выстрелу.
Орудия стреляют независимо. Вероятности промаха: 1 − 0,6 = 0,4 и 1 − 0,7 = 0,3. Событие «хотя бы одно попадание» противоположно событию «оба промахнулись»: P = 1 − 0,4 · 0,3 = 1 − 0,12 = 0,88.
Ответ: 0,88.
Ответ: 0,88.
1174. С помощью штриховки (см. рис. 172) проиллюстрировать событие:
1. A + B (с чертой над всей суммой);
2. AB (с чертой над всем произведением), если большой круг на рисунке изображает все элементарные события испытания, с которым связаны события A и B (эти события проиллюстрированы малыми кругами).
1) Событие «не (A + B)» — не произошло ни A, ни B: заштриховано всё, что внутри большого круга лежит вне обоих малых кругов.
2) Событие «не (AB)» — A и B не произошли одновременно: заштриховано всё внутри большого круга, кроме общей части кругов A и B.
Штриховка показана на рисунке.
2) Событие «не (AB)» — A и B не произошли одновременно: заштриховано всё внутри большого круга, кроме общей части кругов A и B.
Штриховка показана на рисунке.
1175. Бросают 3 монеты и определяют выпавшие стороны. Перечислить все элементарные исходы, благоприятствующие событию:
1) хотя бы на одной монете появилась решка;
2) хотя бы на двух монетах появилась решка.
1) хотя бы на одной монете появилась решка;
2) хотя бы на двух монетах появилась решка.
Обозначим орёл О, решку Р. Всего 8 исходов: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР.
1) Хотя бы одна решка — все исходы, кроме ООО: ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР (7 исходов).
2) Хотя бы две решки: ОРР, РОР, РРО, РРР (4 исхода).
1) Хотя бы одна решка — все исходы, кроме ООО: ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР (7 исходов).
2) Хотя бы две решки: ОРР, РОР, РРО, РРР (4 исхода).
1176. Бросают 3 монеты и наблюдают за выпавшими сторонами. Перечислить все элементарные исходы, благоприятствующие событию A (с чертой), если событие A состоит в следующем:
1) только на одной монете появился орёл;
2) хотя бы на одной монете появился орёл.
1) только на одной монете появился орёл;
2) хотя бы на одной монете появился орёл.
Всего исходов 8 (О — орёл, Р — решка): ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР. Событию «не A» благоприятны исходы, не входящие в A.
1) A: ОРР, РОР, РРО. Тогда «не A»: ООО, ООР, ОРО, РОО, РРР.
2) A: все исходы, кроме РРР. Тогда «не A»: РРР.
1) A: ОРР, РОР, РРО. Тогда «не A»: ООО, ООР, ОРО, РОО, РРР.
2) A: все исходы, кроме РРР. Тогда «не A»: РРР.
1177. Бросают две игральные кости. Найти вероятность события:
1) произведение появившихся чисел равно 6;
2) произведение появившихся чисел равно 4;
3) сумма выпавших чисел равна 4;
4) сумма выпавших чисел равна 5;
5) сумма выпавших чисел больше 9;
6) сумма выпавших чисел не больше 5.
1) произведение появившихся чисел равно 6;
2) произведение появившихся чисел равно 4;
3) сумма выпавших чисел равна 4;
4) сумма выпавших чисел равна 5;
5) сумма выпавших чисел больше 9;
6) сумма выпавших чисел не больше 5.
Всего равновозможных исходов 6 · 6 = 36 (пары (a; b)).
1) Произведение 6: (1; 6), (6; 1), (2; 3), (3; 2) — 4 исхода, P = 4/36 = 1/9.
2) Произведение 4: (1; 4), (4; 1), (2; 2) — 3 исхода, P = 3/36 = 1/12.
3) Сумма 4: (1; 3), (3; 1), (2; 2) — 3 исхода, P = 1/12.
4) Сумма 5: (1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2) — 4 исхода, P = 1/9.
5) Сумма 10, 11 или 12: 3 + 2 + 1 = 6 исходов, P = 6/36 = 1/6.
6) Сумма не больше 5: суммы 2, 3, 4, 5 дают 1 + 2 + 3 + 4 = 10 исходов, P = 10/36 = 5/18.
Ответ: 1) 1/9; 2) 1/12; 3) 1/12; 4) 1/9; 5) 1/6; 6) 5/18.
1) Произведение 6: (1; 6), (6; 1), (2; 3), (3; 2) — 4 исхода, P = 4/36 = 1/9.
2) Произведение 4: (1; 4), (4; 1), (2; 2) — 3 исхода, P = 3/36 = 1/12.
3) Сумма 4: (1; 3), (3; 1), (2; 2) — 3 исхода, P = 1/12.
4) Сумма 5: (1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2) — 4 исхода, P = 1/9.
5) Сумма 10, 11 или 12: 3 + 2 + 1 = 6 исходов, P = 6/36 = 1/6.
6) Сумма не больше 5: суммы 2, 3, 4, 5 дают 1 + 2 + 3 + 4 = 10 исходов, P = 10/36 = 5/18.
Ответ: 1) 1/9; 2) 1/12; 3) 1/12; 4) 1/9; 5) 1/6; 6) 5/18.
1178. В коробке лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события:
1) оба шара белого цвета;
2) оба шара чёрного цвета;
3) один шар белый, другой чёрный;
4) по крайней мере один шар белый;
5) по крайней мере один шар чёрный.
1) оба шара белого цвета;
2) оба шара чёрного цвета;
3) один шар белый, другой чёрный;
4) по крайней мере один шар белый;
5) по крайней мере один шар чёрный.
Всего шаров 11, число способов выбрать 2 шара: C(11,2) = 55.
1) C(5,2) = 10, P = 10/55 = 2/11.
2) C(6,2) = 15, P = 15/55 = 3/11.
3) 5 · 6 = 30, P = 30/55 = 6/11.
4) Противоположное событие — оба чёрные: P = 1 − 3/11 = 8/11.
5) Противоположное событие — оба белые: P = 1 − 2/11 = 9/11.
Проверка: 2/11 + 3/11 + 6/11 = 1.
Ответ: 1) 2/11; 2) 3/11; 3) 6/11; 4) 8/11; 5) 9/11.
1) C(5,2) = 10, P = 10/55 = 2/11.
2) C(6,2) = 15, P = 15/55 = 3/11.
3) 5 · 6 = 30, P = 30/55 = 6/11.
4) Противоположное событие — оба чёрные: P = 1 − 3/11 = 8/11.
5) Противоположное событие — оба белые: P = 1 − 2/11 = 9/11.
Проверка: 2/11 + 3/11 + 6/11 = 1.
Ответ: 1) 2/11; 2) 3/11; 3) 6/11; 4) 8/11; 5) 9/11.
1179. В коробке лежат 6 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события:
1) оба шара белые;
2) оба шара чёрные;
3) один шар белый, другой чёрный;
4) по крайней мере один шар белый;
5) по крайней мере один шар чёрный.
1) оба шара белые;
2) оба шара чёрные;
3) один шар белый, другой чёрный;
4) по крайней мере один шар белый;
5) по крайней мере один шар чёрный.
Всего шаров 13, C(13,2) = 78.
1) C(6,2) = 15, P = 15/78 = 5/26.
2) C(7,2) = 21, P = 21/78 = 7/26.
3) 6 · 7 = 42, P = 42/78 = 7/13.
4) P = 1 − 7/26 = 19/26.
5) P = 1 − 5/26 = 21/26.
Проверка: 15 + 21 + 42 = 78.
Ответ: 1) 5/26; 2) 7/26; 3) 7/13; 4) 19/26; 5) 21/26.
1) C(6,2) = 15, P = 15/78 = 5/26.
2) C(7,2) = 21, P = 21/78 = 7/26.
3) 6 · 7 = 42, P = 42/78 = 7/13.
4) P = 1 − 7/26 = 19/26.
5) P = 1 − 5/26 = 21/26.
Проверка: 15 + 21 + 42 = 78.
Ответ: 1) 5/26; 2) 7/26; 3) 7/13; 4) 19/26; 5) 21/26.
1180. В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что:
1) все шары белые;
2) все шары чёрные;
3) один шар белый и 2 чёрных;
4) один шар чёрный и 2 белых.
1) все шары белые;
2) все шары чёрные;
3) один шар белый и 2 чёрных;
4) один шар чёрный и 2 белых.
Всего шаров 12, C(12,3) = 220.
1) C(5,3) = 10, P = 10/220 = 1/22.
2) C(7,3) = 35, P = 35/220 = 7/44.
3) 5 · C(7,2) = 5 · 21 = 105, P = 105/220 = 21/44.
4) 7 · C(5,2) = 7 · 10 = 70, P = 70/220 = 7/22.
Проверка: 10 + 35 + 105 + 70 = 220.
Ответ: 1) 1/22; 2) 7/44; 3) 21/44; 4) 7/22.
1) C(5,3) = 10, P = 10/220 = 1/22.
2) C(7,3) = 35, P = 35/220 = 7/44.
3) 5 · C(7,2) = 5 · 21 = 105, P = 105/220 = 21/44.
4) 7 · C(5,2) = 7 · 10 = 70, P = 70/220 = 7/22.
Проверка: 10 + 35 + 105 + 70 = 220.
Ответ: 1) 1/22; 2) 7/44; 3) 21/44; 4) 7/22.
1181. Клавиатура компьютера имеет 105 клавиш. Найти вероятность того, что при случайном последовательном нажатии трёх клавиш будет написано слово: 1) дом; 2) око.
Каждое из трёх нажатий — любая из 105 клавиш, нажатия независимы, поэтому число равновозможных исходов равно 105³ = 1 157 625. Нужному слову (с заданным порядком букв) благоприятствует один исход.
1) P(дом) = 1/105³ = 1/1 157 625.
2) P(око) = 1/105³ = 1/1 157 625 (повторение буквы «о» допустимо, так как клавиши можно нажимать повторно).
Ответ: 1) 1/1 157 625; 2) 1/1 157 625.
Оговорка: предполагается, что при каждом нажатии выбор любой из 105 клавиш равновозможен, и одна клавиша соответствует одной букве.
1) P(дом) = 1/105³ = 1/1 157 625.
2) P(око) = 1/105³ = 1/1 157 625 (повторение буквы «о» допустимо, так как клавиши можно нажимать повторно).
Ответ: 1) 1/1 157 625; 2) 1/1 157 625.
Оговорка: предполагается, что при каждом нажатии выбор любой из 105 клавиш равновозможен, и одна клавиша соответствует одной букве.