Глава XII. Упражнения к главе XII — с. 361
1170. Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двадцати натуральных чисел; рассматриваются события: A — названо число, кратное 4, B — названо число, кратное 5. Выяснить, являются ли события A и B независимыми.
1) Числа 1, …, 19. A: 4, 8, 12, 16 — P(A) = 4/19. B: 5, 10, 15 — P(B) = 3/19. AB (кратно 20): таких чисел нет, P(AB) = 0. P(A) · P(B) = 12/361 ≠ 0, события зависимы.
2) Числа 1, …, 20. A: 4, 8, 12, 16, 20 — P(A) = 5/20 = 1/4. B: 5, 10, 15, 20 — P(B) = 4/20 = 1/5. AB: число 20, P(AB) = 1/20. P(A) · P(B) = 1/4 · 1/5 = 1/20 = P(AB), события независимы.
Ответ: 1) не являются независимыми; 2) независимы.
2) Числа 1, …, 20. A: 4, 8, 12, 16, 20 — P(A) = 5/20 = 1/4. B: 5, 10, 15, 20 — P(B) = 4/20 = 1/5. AB: число 20, P(AB) = 1/20. P(A) · P(B) = 1/4 · 1/5 = 1/20 = P(AB), события независимы.
Ответ: 1) не являются независимыми; 2) независимы.
1171. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,65, у второго равна 0,8. Найти вероятность того, что:
1) оба стрелка попадут по мишени;
2) хотя бы один из стрелков попадёт по мишени;
3) оба стрелка промахнутся;
4) хотя бы один промахнётся.
1) оба стрелка попадут по мишени;
2) хотя бы один из стрелков попадёт по мишени;
3) оба стрелка промахнутся;
4) хотя бы один промахнётся.
Вероятности промаха: 1 − 0,65 = 0,35 и 1 − 0,8 = 0,2.
1) P = 0,65 · 0,8 = 0,52.
3) P = 0,35 · 0,2 = 0,07.
2) Противоположное событие — оба промахнулись: P = 1 − 0,07 = 0,93.
4) Противоположное событию «оба попали»: P = 1 − 0,52 = 0,48.
Ответ: 1) 0,52; 2) 0,93; 3) 0,07; 4) 0,48.
1) P = 0,65 · 0,8 = 0,52.
3) P = 0,35 · 0,2 = 0,07.
2) Противоположное событие — оба промахнулись: P = 1 − 0,07 = 0,93.
4) Противоположное событию «оба попали»: P = 1 − 0,52 = 0,48.
Ответ: 1) 0,52; 2) 0,93; 3) 0,07; 4) 0,48.
1172. Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,3. Считая, что каждая из двух таких лампочек в люстре перегорает независимо от другой, найти вероятность события:
1) в течение года перегорят обе лампочки;
2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек;
3) в течение года перегорит хотя бы одна лампочка;
4) в течение года не перегорит хотя бы одна лампочка.
1) в течение года перегорят обе лампочки;
2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек;
3) в течение года перегорит хотя бы одна лампочка;
4) в течение года не перегорит хотя бы одна лампочка.
Вероятность перегорания 0,3, вероятность не перегореть 0,7.
1) P = 0,3 · 0,3 = 0,09.
2) P = 0,7 · 0,7 = 0,49.
3) Противоположное событие — не перегорит ни одна: P = 1 − 0,49 = 0,51.
4) Противоположное событию «перегорят обе»: P = 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 1) 0,09; 2) 0,49; 3) 0,51; 4) 0,91.
1) P = 0,3 · 0,3 = 0,09.
2) P = 0,7 · 0,7 = 0,49.
3) Противоположное событие — не перегорит ни одна: P = 1 − 0,49 = 0,51.
4) Противоположное событию «перегорят обе»: P = 1 − 0,09 = 0,91.
Ответ: 1) 0,09; 2) 0,49; 3) 0,51; 4) 0,91.
1173. Заполнить последний столбец таблицы, округляя результаты вычислений с точностью до тысячных.
[таблица: столбцы: № п/п; Испытание; Число испытаний; Наблюдаемое событие; Частота события; Относительная частота события — пусто.
Строки: 1. Брошены два игральных кубика; 400; сумма выпавших чисел равна 2; 11.
2) Брошены два игральных кубика; 200; сумма выпавших чисел равна 3; 11.
3) Спортсмен стреляет по мишени; 300; попадание по мишени; 284.
4) Из колоды карт извлекается одна карта; 200; извлечён туз; 23.]
[таблица: столбцы: № п/п; Испытание; Число испытаний; Наблюдаемое событие; Частота события; Относительная частота события — пусто.
Строки: 1. Брошены два игральных кубика; 400; сумма выпавших чисел равна 2; 11.
2) Брошены два игральных кубика; 200; сумма выпавших чисел равна 3; 11.
3) Спортсмен стреляет по мишени; 300; попадание по мишени; 284.
4) Из колоды карт извлекается одна карта; 200; извлечён туз; 23.]
Относительная частота W = M/N.
1) 11/400 = 0,0275 ≈ 0,028 (округление 0,0275 до тысячных вверх).
2) 11/200 = 0,055.
3) 284/300 = 0,9466… ≈ 0,947.
4) 23/200 = 0,115.
Ответ: 0,028; 0,055; 0,947; 0,115.
Оговорка: число 0,0275 лежит точно посередине между 0,027 и 0,028; по обычному правилу округляем до 0,028.
1) 11/400 = 0,0275 ≈ 0,028 (округление 0,0275 до тысячных вверх).
2) 11/200 = 0,055.
3) 284/300 = 0,9466… ≈ 0,947.
4) 23/200 = 0,115.
Ответ: 0,028; 0,055; 0,947; 0,115.
Оговорка: число 0,0275 лежит точно посередине между 0,027 и 0,028; по обычному правилу округляем до 0,028.
Проверь себя!
Задание 1. Наугад называется одно из первых восемнадцати чисел. Событие A — названо чётное число, событие B — названо число, кратное 3. Перечислить элементарные исходы испытания, благоприятствующие событию:
1. A + B;
2. AB;
3. A (с чертой);
4. B (с чертой).
Исходы: числа 1, 2, …, 18. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}.
1) A + B (чётное или кратное 3): 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.
2) AB (чётное и кратное 3, то есть кратное 6): 6, 12, 18.
3) Не A (число нечётное): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.
4) Не B (число не кратно 3): 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17.
1) A + B (чётное или кратное 3): 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.
2) AB (чётное и кратное 3, то есть кратное 6): 6, 12, 18.
3) Не A (число нечётное): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.
4) Не B (число не кратно 3): 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17.