Глава XII. Упражнения к главе XII — с. 360
1163. (Устно.) Установить событие, являющееся противоположным событию:
1) выпало число 4 в результате броска игрального тетраэдра;
2) выпало число, кратное 5, в результате броска игрального кубика;
3) хотя бы на одном из кубиков выпало чётное число в результате бросания двух игральных кубиков;
4) хотя бы на одном из двух брошенных игральных тетраэдров появилось число 1;
5) брошенная на шахматную доску шашка имеет с клеткой «f2» хотя бы одну общую точку;
6) брошенная на шахматную доску шашка легла на чёрную клетку.
1) выпало число 4 в результате броска игрального тетраэдра;
2) выпало число, кратное 5, в результате броска игрального кубика;
3) хотя бы на одном из кубиков выпало чётное число в результате бросания двух игральных кубиков;
4) хотя бы на одном из двух брошенных игральных тетраэдров появилось число 1;
5) брошенная на шахматную доску шашка имеет с клеткой «f2» хотя бы одну общую точку;
6) брошенная на шахматную доску шашка легла на чёрную клетку.
Противоположное событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит данное.
1) Выпало число 1, 2 или 3 (не выпало 4).
2) Выпало число, не кратное 5: 1, 2, 3, 4 или 6.
3) На обоих кубиках выпали нечётные числа.
4) Ни на одном из тетраэдров число 1 не появилось (на каждом выпало 2, 3 или 4).
5) Шашка не имеет с клеткой «f2» ни одной общей точки.
6) Шашка не легла на чёрную клетку (легла на белую клетку или не целиком на чёрную).
Оговорка: в пункте 6 «легла на чёрную клетку» понимаем как «целиком на чёрную клетку».
1) Выпало число 1, 2 или 3 (не выпало 4).
2) Выпало число, не кратное 5: 1, 2, 3, 4 или 6.
3) На обоих кубиках выпали нечётные числа.
4) Ни на одном из тетраэдров число 1 не появилось (на каждом выпало 2, 3 или 4).
5) Шашка не имеет с клеткой «f2» ни одной общей точки.
6) Шашка не легла на чёрную клетку (легла на белую клетку или не целиком на чёрную).
Оговорка: в пункте 6 «легла на чёрную клетку» понимаем как «целиком на чёрную клетку».
1164. События A и B изображены с помощью кругов Эйлера (рис. 172). Большим кругом изображены все элементарные исходы испытания, с которым связаны события A и B. Перенести рисунок в тетрадь и штриховкой показать событие, состоящее в том, что:
1) произошли оба события A и B;
2) произошло или событие A, или событие B;
3) произошло только событие A;
4) произошло событие не B (B с чертой).
[рисунок 172: большой овал, внутри него два пересекающихся круга A и B]
1) произошли оба события A и B;
2) произошло или событие A, или событие B;
3) произошло только событие A;
4) произошло событие не B (B с чертой).
[рисунок 172: большой овал, внутри него два пересекающихся круга A и B]
Штриховкой отмечаем области рисунка:
1) Оба события произошли — общая часть кругов A и B (пересечение).
2) Произошло A или B — объединение двух кругов.
3) Только A — часть круга A, не входящая в круг B.
4) Событие «не B» — всё внутри большого круга, кроме круга B (включая часть круга A вне B).
Штриховка показана на рисунке.
1) Оба события произошли — общая часть кругов A и B (пересечение).
2) Произошло A или B — объединение двух кругов.
3) Только A — часть круга A, не входящая в круг B.
4) Событие «не B» — всё внутри большого круга, кроме круга B (включая часть круга A вне B).
Штриховка показана на рисунке.
1165. Брошена игральная кость. Найти вероятность события:
1) выпало число, не меньшее 2;
2) выпало число, меньшее 3;
3) выпало число, большее 4;
4) выпало число, не большее 5.
1) выпало число, не меньшее 2;
2) выпало число, меньшее 3;
3) выпало число, большее 4;
4) выпало число, не большее 5.
Всего равновозможных исходов 6 (числа 1, …, 6).
1) Благоприятны числа 2, 3, 4, 5, 6: 5 исходов, P = 5/6.
2) Благоприятны 1, 2: P = 2/6 = 1/3.
3) Благоприятны 5, 6: P = 2/6 = 1/3.
4) Благоприятны 1, 2, 3, 4, 5: P = 5/6.
Ответ: 1) 5/6; 2) 1/3; 3) 1/3; 4) 5/6.
1) Благоприятны числа 2, 3, 4, 5, 6: 5 исходов, P = 5/6.
2) Благоприятны 1, 2: P = 2/6 = 1/3.
3) Благоприятны 5, 6: P = 2/6 = 1/3.
4) Благоприятны 1, 2, 3, 4, 5: P = 5/6.
Ответ: 1) 5/6; 2) 1/3; 3) 1/3; 4) 5/6.
1166. В коробке находятся 2 белых, 5 чёрных и один синий шар. Наугад вынимают один из них. Найти вероятность события:
1) вынут белый шар;
2) вынут чёрный шар;
3) вынут синий шар;
4) вынут или белый, или чёрный шар;
5) вынут не чёрный шар;
6) вынут не белый шар.
1) вынут белый шар;
2) вынут чёрный шар;
3) вынут синий шар;
4) вынут или белый, или чёрный шар;
5) вынут не чёрный шар;
6) вынут не белый шар.
Всего шаров 2 + 5 + 1 = 8.
1) P = 2/8 = 1/4.
2) P = 5/8.
3) P = 1/8.
4) Белых и чёрных вместе 7: P = 7/8.
5) Не чёрных 3 (2 белых и 1 синий): P = 3/8 (или 1 − 5/8).
6) Не белых 6: P = 6/8 = 3/4 (или 1 − 1/4).
Ответ: 1) 1/4; 2) 5/8; 3) 1/8; 4) 7/8; 5) 3/8; 6) 3/4.
1) P = 2/8 = 1/4.
2) P = 5/8.
3) P = 1/8.
4) Белых и чёрных вместе 7: P = 7/8.
5) Не чёрных 3 (2 белых и 1 синий): P = 3/8 (или 1 − 5/8).
6) Не белых 6: P = 6/8 = 3/4 (или 1 − 1/4).
Ответ: 1) 1/4; 2) 5/8; 3) 1/8; 4) 7/8; 5) 3/8; 6) 3/4.
1167. Из колоды карт в 36 листов наугад вынимается одна карта. Найти вероятность того, что эта карта:
1) дама красной масти;
2) шестёрка чёрной масти;
3) семёрка;
4) девятка;
5) с картинкой;
6) не с картинкой;
7) или король, или шестёрка;
8) или семёрка, или туз червей;
9) не король бубен;
10) не валет.
1) дама красной масти;
2) шестёрка чёрной масти;
3) семёрка;
4) девятка;
5) с картинкой;
6) не с картинкой;
7) или король, или шестёрка;
8) или семёрка, или туз червей;
9) не король бубен;
10) не валет.
В колоде 36 карт: четыре масти (две красные — червы и бубны, две чёрные — пики и трефы), в каждой масти по 9 карт (6, 7, 8, 9, 10, валет, дама, король, туз). Картинки: валет, дама, король — 12 карт.
1) Дам красной масти 2: P = 2/36 = 1/18.
2) Шестёрок чёрной масти 2: P = 2/36 = 1/18.
3) Семёрок 4: P = 4/36 = 1/9.
4) Девяток 4: P = 1/9.
5) Карт с картинкой 12: P = 12/36 = 1/3.
6) P = 1 − 1/3 = 2/3.
7) Королей 4 и шестёрок 4, общих нет: P = 8/36 = 2/9.
8) Семёрок 4 и туз червей 1 (он не семёрка): P = 5/36.
9) Король бубен — одна карта: P = 1 − 1/36 = 35/36.
10) Валетов 4: P = 1 − 4/36 = 32/36 = 8/9.
Ответ: 1) 1/18; 2) 1/18; 3) 1/9; 4) 1/9; 5) 1/3; 6) 2/3; 7) 2/9; 8) 5/36; 9) 35/36; 10) 8/9.
Оговорка: «картинками» считаем валет, даму и короля; туз к картинкам не относится.
1) Дам красной масти 2: P = 2/36 = 1/18.
2) Шестёрок чёрной масти 2: P = 2/36 = 1/18.
3) Семёрок 4: P = 4/36 = 1/9.
4) Девяток 4: P = 1/9.
5) Карт с картинкой 12: P = 12/36 = 1/3.
6) P = 1 − 1/3 = 2/3.
7) Королей 4 и шестёрок 4, общих нет: P = 8/36 = 2/9.
8) Семёрок 4 и туз червей 1 (он не семёрка): P = 5/36.
9) Король бубен — одна карта: P = 1 − 1/36 = 35/36.
10) Валетов 4: P = 1 − 4/36 = 32/36 = 8/9.
Ответ: 1) 1/18; 2) 1/18; 3) 1/9; 4) 1/9; 5) 1/3; 6) 2/3; 7) 2/9; 8) 5/36; 9) 35/36; 10) 8/9.
Оговорка: «картинками» считаем валет, даму и короля; туз к картинкам не относится.
1168. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету в некоторой лотерее равна: 1) 2 · 10^(−4); 2) 3 · 10^(−5). Какова вероятность приобрести невыигрышный билет при покупке одного билета?
Невыигрышный билет — событие, противоположное выигрышу, поэтому P = 1 − p.
1) P = 1 − 2 · 10^(−4) = 1 − 0,0002 = 0,9998.
2) P = 1 − 3 · 10^(−5) = 1 − 0,00003 = 0,99997.
Ответ: 1) 0,9998; 2) 0,99997.
1) P = 1 − 2 · 10^(−4) = 1 − 0,0002 = 0,9998.
2) P = 1 − 3 · 10^(−5) = 1 − 0,00003 = 0,99997.
Ответ: 1) 0,9998; 2) 0,99997.
1169. Установить, являются ли события C и D независимыми, если:
1) P(A) = 0,75, P(B) = 0,4, P(AB) = 0,3;
2) P(A) = 10^(−3), P(B) = 10^(−2), P(AB) = 10^(−6).
1) P(A) = 0,75, P(B) = 0,4, P(AB) = 0,3;
2) P(A) = 10^(−3), P(B) = 10^(−2), P(AB) = 10^(−6).
Независимость означает P(AB) = P(A) · P(B).
1) 0,75 · 0,4 = 0,3 = P(AB): события независимы.
2) 10^(−3) · 10^(−2) = 10^(−5) ≠ 10^(−6) = P(AB): события не являются независимыми.
Ответ: 1) да; 2) нет.
Оговорка: в условии события названы C и D, а вероятности заданы для A и B; считаем, что речь идёт об одной и той же паре событий.
1) 0,75 · 0,4 = 0,3 = P(AB): события независимы.
2) 10^(−3) · 10^(−2) = 10^(−5) ≠ 10^(−6) = P(AB): события не являются независимыми.
Ответ: 1) да; 2) нет.
Оговорка: в условии события названы C и D, а вероятности заданы для A и B; считаем, что речь идёт об одной и той же паре событий.