Глава XII. § 70. Статистическая вероятность — с. 358
1157. Заполнить последний столбец таблицы (с точностью до тысячных):
[таблица: столбцы: № п/п; Испытание; Число испытаний (N); Наблюдаемое событие; Частота события (M); Относительная частота события (W = M/N) — пусто.
Строки: 1. Брошена монета; N = 200; выпала решка; M = 98.
2) Брошен игральный кубик; N = 300; выпало число 4; M = 53.
3) Спортсмен стреляет по мишени; N = 100; попадание по мишени; M = 93.
4) Брошен игральный тетраэдр (с гранями, пронумерованными числами 1, 2, 3, 4); N = 200; выпало число 3; M = 49.]
[таблица: столбцы: № п/п; Испытание; Число испытаний (N); Наблюдаемое событие; Частота события (M); Относительная частота события (W = M/N) — пусто.
Строки: 1. Брошена монета; N = 200; выпала решка; M = 98.
2) Брошен игральный кубик; N = 300; выпало число 4; M = 53.
3) Спортсмен стреляет по мишени; N = 100; попадание по мишени; M = 93.
4) Брошен игральный тетраэдр (с гранями, пронумерованными числами 1, 2, 3, 4); N = 200; выпало число 3; M = 49.]
Относительная частота W = M/N.
1) W = 98/200 = 0,49 = 0,490.
2) W = 53/300 = 0,17666… ≈ 0,177.
3) W = 93/100 = 0,93 = 0,930.
4) W = 49/200 = 0,245.
Ответ: 0,490; 0,177; 0,930; 0,245 (заполненная таблица на рисунке).
1) W = 98/200 = 0,49 = 0,490.
2) W = 53/300 = 0,17666… ≈ 0,177.
3) W = 93/100 = 0,93 = 0,930.
4) W = 49/200 = 0,245.
Ответ: 0,490; 0,177; 0,930; 0,245 (заполненная таблица на рисунке).
1158. Проводились серии из N испытаний с подбрасыванием некоторой правильной треугольной призмы, сделанной из стали. Результаты заносились в таблицу:
[таблица: строка «Число испытаний (N)»: 10, 50, 100, 300, 500, 1000; строка «Частота падения призмы на любую боковую грань (M)»: 8, 34, 73, 206, 353, 698; строка «Относительная частота падения призмы на боковую грань (W)»: пусто.]
Заполнить последнюю строку таблицы, округляя результаты вычислений до сотых. Высказать предположение о приближённом значении (с точностью до одной десятой) вероятности события A — падение призмы на боковую грань.
[таблица: строка «Число испытаний (N)»: 10, 50, 100, 300, 500, 1000; строка «Частота падения призмы на любую боковую грань (M)»: 8, 34, 73, 206, 353, 698; строка «Относительная частота падения призмы на боковую грань (W)»: пусто.]
Заполнить последнюю строку таблицы, округляя результаты вычислений до сотых. Высказать предположение о приближённом значении (с точностью до одной десятой) вероятности события A — падение призмы на боковую грань.
Вычисляем W = M/N:
N = 10: 8/10 = 0,80.
N = 50: 34/50 = 0,68.
N = 100: 73/100 = 0,73.
N = 300: 206/300 = 0,6866… ≈ 0,69.
N = 500: 353/500 = 0,706 ≈ 0,71.
N = 1000: 698/1000 = 0,698 ≈ 0,70.
С ростом числа испытаний относительная частота колеблется около числа 0,7 (при N = 500 и 1000 — 0,71 и 0,70). По закону больших чисел можно предположить, что P(A) ≈ 0,7.
Ответ: 0,80; 0,68; 0,73; 0,69; 0,71; 0,70; P(A) ≈ 0,7.
N = 10: 8/10 = 0,80.
N = 50: 34/50 = 0,68.
N = 100: 73/100 = 0,73.
N = 300: 206/300 = 0,6866… ≈ 0,69.
N = 500: 353/500 = 0,706 ≈ 0,71.
N = 1000: 698/1000 = 0,698 ≈ 0,70.
С ростом числа испытаний относительная частота колеблется около числа 0,7 (при N = 500 и 1000 — 0,71 и 0,70). По закону больших чисел можно предположить, что P(A) ≈ 0,7.
Ответ: 0,80; 0,68; 0,73; 0,69; 0,71; 0,70; P(A) ≈ 0,7.
1159. Провести серии из N испытаний (где N₁ = 10, N₂ = 20, N₃ = 40, N₄ = 50) с подбрасыванием игрального кубика, наблюдая за частотой появления числа 1. Убедиться в том, что относительная частота события A — появление числа 1 с увеличением N всё меньше отличается от числа 1/6 (значения вероятности этого события в классическом понимании).
Порядок работы. Бросаем кубик N₁ = 10 раз и считаем, сколько раз выпала единица (M₁); затем так же для 20, 40 и 50 бросков (можно продолжать одну и ту же серию, фиксируя результаты после 10, 20, 40 и 50 бросков). Для каждой серии вычисляем W = M/N и разность |W − 1/6|, где 1/6 ≈ 0,167.
Пример результатов одной серии (получен компьютерным моделированием бросков):
N = 10: M = 4, W = 0,40, |W − 1/6| ≈ 0,23.
N = 20: M = 3, W = 0,15, |W − 1/6| ≈ 0,02.
N = 40: M = 4, W = 0,10, |W − 1/6| ≈ 0,07.
N = 50: M = 6, W = 0,12, |W − 1/6| ≈ 0,05.
Вывод: при малых N частота сильно колеблется, но с ростом N отклонение от 1/6 в целом уменьшается и частота стабилизируется около 1/6 (закон больших чисел).
Оговорка: упражнение практическое, результаты у каждого ученика свои; в коротких сериях отклонение не обязано уменьшаться строго монотонно, закономерность проявляется при большом числе испытаний.
Пример результатов одной серии (получен компьютерным моделированием бросков):
N = 10: M = 4, W = 0,40, |W − 1/6| ≈ 0,23.
N = 20: M = 3, W = 0,15, |W − 1/6| ≈ 0,02.
N = 40: M = 4, W = 0,10, |W − 1/6| ≈ 0,07.
N = 50: M = 6, W = 0,12, |W − 1/6| ≈ 0,05.
Вывод: при малых N частота сильно колеблется, но с ростом N отклонение от 1/6 в целом уменьшается и частота стабилизируется около 1/6 (закон больших чисел).
Оговорка: упражнение практическое, результаты у каждого ученика свои; в коротких сериях отклонение не обязано уменьшаться строго монотонно, закономерность проявляется при большом числе испытаний.