Глава XII. Упражнения к главе XII — с. 359
1160. (Устно.) Перечислить все элементарные события, которые могут произойти в результате следующего испытания:
1) наугад называется день недели;
2) перекидной календарь на апрель месяц открывается наугад и читается записанное на листе число;
3) на пол роняется тонкий бутерброд и определяется — на какую сторону он упадёт;
4) бросают на пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны;
5) на пол бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны;
6) по мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается попадание (П) или непопадание (Н) по мишени каждым из них;
7) из пункта A пешеход может попасть в пункт C по одной из трёх дорог (на рисунке 171 дороги проходят либо по сторонам прямоугольника ABCD, либо по его диагонали AC); оцениваются длины маршрутов в каждом испытании. Высказать предположение о равновозможности перечисленных элементарных событий.
[рисунок 171: прямоугольник ABCD с диагональю AC; дороги: A–B–C, A–C, A–D–C]
1) наугад называется день недели;
2) перекидной календарь на апрель месяц открывается наугад и читается записанное на листе число;
3) на пол роняется тонкий бутерброд и определяется — на какую сторону он упадёт;
4) бросают на пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны;
5) на пол бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны;
6) по мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается попадание (П) или непопадание (Н) по мишени каждым из них;
7) из пункта A пешеход может попасть в пункт C по одной из трёх дорог (на рисунке 171 дороги проходят либо по сторонам прямоугольника ABCD, либо по его диагонали AC); оцениваются длины маршрутов в каждом испытании. Высказать предположение о равновозможности перечисленных элементарных событий.
[рисунок 171: прямоугольник ABCD с диагональю AC; дороги: A–B–C, A–C, A–D–C]
1) Элементарные события: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье (7 событий). Их естественно считать равновозможными.
2) В апреле 30 дней: элементарные события — числа 1, 2, 3, …, 30 (30 событий). Они равновозможны.
3) Два события: бутерброд упал маслом вверх; бутерброд упал маслом вниз. Равновозможными их считать не обязательно: сторона с маслом тяжелее, и вероятности могут отличаться; без опыта утверждать равновозможность нельзя.
4) Обозначим выпадение орла О, решки Р. События: ОО, ОР, РО, РР (4 события). При симметричных монетах они равновозможны.
5) События: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР (8 событий). Для симметричных монет равновозможны.
6) События: ППП, ППН, ПНП, НПП, ПНН, НПН, ННП, ННН (8 событий). Равновозможными их можно считать лишь в предположении, что вероятности попасть и промахнуться у каждого стрелка одинаковы (как в ответах учебника); для реальных стрелков это, как правило, не так.
7) События: путь A–B–C, путь A–C, путь A–D–C (3 события). Длины маршрутов разные: AB + BC = AD + DC, а диагональ AC короче; поэтому естественно предположить, что маршруты по сторонам равновозможны между собой, но выбор диагонали, вообще говоря, вероятнее. Трёх равновозможных событий здесь нет.
Оговорка: пункты 3, 6 и 7 допускают разные предположения; приведены наиболее разумные.
2) В апреле 30 дней: элементарные события — числа 1, 2, 3, …, 30 (30 событий). Они равновозможны.
3) Два события: бутерброд упал маслом вверх; бутерброд упал маслом вниз. Равновозможными их считать не обязательно: сторона с маслом тяжелее, и вероятности могут отличаться; без опыта утверждать равновозможность нельзя.
4) Обозначим выпадение орла О, решки Р. События: ОО, ОР, РО, РР (4 события). При симметричных монетах они равновозможны.
5) События: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР (8 событий). Для симметричных монет равновозможны.
6) События: ППП, ППН, ПНП, НПП, ПНН, НПН, ННП, ННН (8 событий). Равновозможными их можно считать лишь в предположении, что вероятности попасть и промахнуться у каждого стрелка одинаковы (как в ответах учебника); для реальных стрелков это, как правило, не так.
7) События: путь A–B–C, путь A–C, путь A–D–C (3 события). Длины маршрутов разные: AB + BC = AD + DC, а диагональ AC короче; поэтому естественно предположить, что маршруты по сторонам равновозможны между собой, но выбор диагонали, вообще говоря, вероятнее. Трёх равновозможных событий здесь нет.
Оговорка: пункты 3, 6 и 7 допускают разные предположения; приведены наиболее разумные.
1161. (Устно.) Назвать события A + B и AB, если:
1) из полного набора домино извлекается одна костяшка, событие A — вынута костяшка «два — два», событие B — вынут дубль;
2) из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта, событие A — вынута карта с картинкой; событие B — вынут король.
1) из полного набора домино извлекается одна костяшка, событие A — вынута костяшка «два — два», событие B — вынут дубль;
2) из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта, событие A — вынута карта с картинкой; событие B — вынут король.
1) Костяшка «два — два» является дублем, поэтому A входит в B (из A следует B). Событие A + B: вынут дубль. Событие AB: вынута костяшка «два — два».
2) Король — карта с картинкой, поэтому B входит в A. Событие A + B: вынута карта с картинкой. Событие AB: вынут король.
2) Король — карта с картинкой, поэтому B входит в A. Событие A + B: вынута карта с картинкой. Событие AB: вынут король.
1162. Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 12. Случайным образом выбирается одна карточка. Рассматриваются события:
1) A — на карточке записан делитель числа 12, B — записано число, кратное 12;
2) A — на карточке делитель числа 6, B — на карточке число, кратное 6;
3) A — на карточке число, меньшее 10, B — на карточке число, большее 5;
4) A — на карточке число, большее 7, B — на карточке число, меньшее 9;
5) A — на карточке число, кратное 2, B — на карточке число, кратное 4;
6) A — на карточке число, кратное 3, B — на карточке число, кратное 6.
Установить, в чём состоят события A + B и AB.
1) A — на карточке записан делитель числа 12, B — записано число, кратное 12;
2) A — на карточке делитель числа 6, B — на карточке число, кратное 6;
3) A — на карточке число, меньшее 10, B — на карточке число, большее 5;
4) A — на карточке число, большее 7, B — на карточке число, меньшее 9;
5) A — на карточке число, кратное 2, B — на карточке число, кратное 4;
6) A — на карточке число, кратное 3, B — на карточке число, кратное 6.
Установить, в чём состоят события A + B и AB.
1) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {12}. A + B: число 1, 2, 3, 4, 6 или 12 (то есть событие A); AB: число 12.
2) A = {1, 2, 3, 6}, B = {6, 12}. A + B: число 1, 2, 3, 6 или 12; AB: число 6.
3) A = {1, …, 9}, B = {6, …, 12}. A + B: любое число от 1 до 12 (достоверное событие); AB: число 6, 7, 8 или 9.
4) A = {8, 9, 10, 11, 12}, B = {1, …, 8}. A + B: любое число от 1 до 12 (достоверное событие); AB: число 8.
5) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {4, 8, 12}. A + B: чётное число (событие A); AB: число 4, 8 или 12 (кратное 4, событие B).
6) A = {3, 6, 9, 12}, B = {6, 12}. A + B: число, кратное 3 (событие A); AB: число 6 или 12 (кратное 6, событие B).
2) A = {1, 2, 3, 6}, B = {6, 12}. A + B: число 1, 2, 3, 6 или 12; AB: число 6.
3) A = {1, …, 9}, B = {6, …, 12}. A + B: любое число от 1 до 12 (достоверное событие); AB: число 6, 7, 8 или 9.
4) A = {8, 9, 10, 11, 12}, B = {1, …, 8}. A + B: любое число от 1 до 12 (достоверное событие); AB: число 8.
5) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {4, 8, 12}. A + B: чётное число (событие A); AB: число 4, 8 или 12 (кратное 4, событие B).
6) A = {3, 6, 9, 12}, B = {6, 12}. A + B: число, кратное 3 (событие A); AB: число 6 или 12 (кратное 6, событие B).