Глава XII. § 69. Независимые события. Умножение вероятностей — с. 354
1152. Вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним из двух выстрелов, равна 0,96. Полагая, что каждый раз вероятность поражения цели при одном выстреле одна и та же, найти эту вероятность.
Пусть p — вероятность поражения при одном выстреле, тогда вероятность промаха равна 1 − p. Выстрелы независимы. Событие «хотя бы одно попадание» противоположно событию «оба промаха», поэтому
1 − (1 − p)² = 0,96, откуда (1 − p)² = 0,04, 1 − p = 0,2 (так как 1 − p ≥ 0), p = 0,8.
Проверка: 1 − 0,2² = 1 − 0,04 = 0,96.
Ответ: 0,8.
1 − (1 − p)² = 0,96, откуда (1 − p)² = 0,04, 1 − p = 0,2 (так как 1 − p ≥ 0), p = 0,8.
Проверка: 1 − 0,2² = 1 − 0,04 = 0,96.
Ответ: 0,8.
1153. Вероятность P того, что при измерении прибором некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, постоянна. Вероятность того, что ошибка будет допущена этим прибором хотя бы один раз из двух измерений, равна 32/81. Найти P.
Измерения независимы, вероятность ошибки в каждом равна P. Событие «хотя бы одна ошибка» противоположно событию «ошибок нет ни в одном измерении», поэтому
1 − (1 − P)² = 32/81, откуда (1 − P)² = 49/81, 1 − P = 7/9, P = 2/9.
Проверка: 1 − 49/81 = 32/81.
Ответ: 2/9.
1 − (1 − P)² = 32/81, откуда (1 − P)² = 49/81, 1 − P = 7/9, P = 2/9.
Проверка: 1 − 49/81 = 32/81.
Ответ: 2/9.
1154. Вероятность попадания по мишени при одном выстреле некоторым стрелком равна 0,8. Найти вероятность попадания по мишени этим стрелком:
1) в каждом из трёх выстрелов;
2) хотя бы одним из трёх выстрелов.
1) в каждом из трёх выстрелов;
2) хотя бы одним из трёх выстрелов.
Выстрелы независимы, p = 0,8, вероятность промаха 0,2.
1) P = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512.
2) Противоположное событие — три промаха подряд: P = 1 − 0,2³ = 1 − 0,008 = 0,992.
Ответ: 1) 0,512; 2) 0,992.
1) P = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512.
2) Противоположное событие — три промаха подряд: P = 1 − 0,2³ = 1 − 0,008 = 0,992.
Ответ: 1) 0,512; 2) 0,992.
1155. Имеются 3 партии деталей. Вероятность того, что вынутая из первой партии деталь окажется бракованной, равна 0,1. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из второй партии деталь, равна 0,2. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из третьей партии деталь, равна 0,3. Случайным образом из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что:
1) все 3 детали окажутся бракованными;
2) все 3 детали окажутся не бракованными;
3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной;
4) хотя бы одна деталь окажется бракованной.
1) все 3 детали окажутся бракованными;
2) все 3 детали окажутся не бракованными;
3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной;
4) хотя бы одна деталь окажется бракованной.
Вероятности брака: 0,1; 0,2; 0,3. Вероятности годной детали: 0,9; 0,8; 0,7. Извлечения независимы.
1) P = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006.
2) P = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504.
3) Противоположное событие — все три бракованные: P = 1 − 0,006 = 0,994.
4) Противоположное событию «все годные»: P = 1 − 0,504 = 0,496.
Ответ: 1) 0,006; 2) 0,504; 3) 0,994; 4) 0,496.
1) P = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006.
2) P = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504.
3) Противоположное событие — все три бракованные: P = 1 − 0,006 = 0,994.
4) Противоположное событию «все годные»: P = 1 − 0,504 = 0,496.
Ответ: 1) 0,006; 2) 0,504; 3) 0,994; 4) 0,496.