Упражнения 1145–1151, стр. 353 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 1145–1151 — Глава XII. § 69. Независимые события…

Страница 353 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава XII. § 69. Независимые события. Умножение вероятностей — с. 353

1145. Выяснить, являются ли события A и B независимыми, если:
1) P(A) = 2/5, P(B) = 10/13, P(AB) = 4/13;
2) P(A) = 0,75, P(B) = 0,2, P(AB) = 0,15;
3) P(A) = 0,3, P(B) = 0,2, P(AB) = 0,6;
4) P(A) = 3/14, P(B) = 7/12, P(AB) = 1/4.
События A и B независимы тогда и только тогда, когда P(AB) = P(A) · P(B).
1) P(A) · P(B) = 2/5 · 10/13 = 20/65 = 4/13 = P(AB). Равенство верно, события независимы.
2) P(A) · P(B) = 0,75 · 0,2 = 0,15 = P(AB). Равенство верно, события независимы.
3) P(A) · P(B) = 0,3 · 0,2 = 0,06 ≠ 0,6 = P(AB). События зависимы. (Заметим, что значение P(AB) = 0,6 вообще невозможно, так как P(AB) не может превосходить P(B) = 0,2.)
4) P(A) · P(B) = 3/14 · 7/12 = 21/168 = 1/8 ≠ 1/4 = P(AB). События зависимы.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
1146. Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натуральных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: A — названное число является чётным, B — названное число кратно трём. Установить, являются ли события A и B независимыми.
1) Исходы: 1, 2, …, 12, всего 12. A: 2, 4, 6, 8, 10, 12, поэтому P(A) = 6/12 = 1/2. B: 3, 6, 9, 12, поэтому P(B) = 4/12 = 1/3. AB (кратно 6): 6, 12, поэтому P(AB) = 2/12 = 1/6. P(A) · P(B) = 1/2 · 1/3 = 1/6 = P(AB), события независимы.
2) Исходы: 1, 2, …, 13, всего 13. A: 2, 4, 6, 8, 10, 12, поэтому P(A) = 6/13. B: 3, 6, 9, 12, поэтому P(B) = 4/13. AB: 6, 12, поэтому P(AB) = 2/13 = 26/169. P(A) · P(B) = 24/169 ≠ 26/169, события зависимы.
Ответ: 1) независимы; 2) не являются независимыми.
1147. Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:
1) A — на первой кости выпало число 6, B — на второй кости выпало чётное число;
2) A — на первой кости выпало нечётное число, B — на второй кости выпало число, кратное 3.
Убедиться с помощью формулы (1) в независимости событий A и B.
Формула (1): P(AB) = P(A) · P(B). Всего исходов 6 · 6 = 36, все равновозможны.
1) A: первая кость 6, вторая любая — 6 исходов, P(A) = 6/36 = 1/6. B: вторая кость 2, 4 или 6, первая любая — 18 исходов, P(B) = 18/36 = 1/2. AB: первая 6, вторая 2, 4 или 6 — 3 исхода, P(AB) = 3/36 = 1/12. P(A) · P(B) = 1/6 · 1/2 = 1/12 = P(AB), события независимы.
2) A: первая кость 1, 3 или 5 — 18 исходов, P(A) = 1/2. B: вторая кость 3 или 6 — 12 исходов, P(B) = 12/36 = 1/3. AB: 3 · 2 = 6 исходов, P(AB) = 6/36 = 1/6. P(A) · P(B) = 1/2 · 1/3 = 1/6 = P(AB), события независимы.
1148. Вероятность выигрыша на некоторой бирже в течение каждого из двух фиксированных дней равна 0,3. Найти вероятность того, что на этой бирже:
1) выигрыши произойдут в каждый из этих двух дней;
2) два этих дня не будет выигрышей;
3) выигрыши произойдут хотя бы в один из двух фиксированных дней.
Считаем исходы в разные дни независимыми. Вероятность выигрыша в день p = 0,3, вероятность отсутствия выигрыша q = 1 − 0,3 = 0,7.
1) P = 0,3 · 0,3 = 0,09.
2) P = 0,7 · 0,7 = 0,49.
3) Противоположное событие — выигрышей нет ни в один из дней: P = 1 − 0,49 = 0,51.
Ответ: 1) 0,09; 2) 0,49; 3) 0,51.
Оговорка: независимость исходов в разные дни в условии прямо не сказана, но подразумевается.
1149. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне:
1) сработают оба датчика;
2) оба датчика не сработают;
3) сработает хотя бы один из датчиков;
4) хотя бы один из датчиков не сработает.
Пусть A — сработал первый датчик, B — сработал второй; P(A) = 0,97, P(B) = 0,95, P(не A) = 0,03, P(не B) = 0,05. События независимы.
1) P(AB) = 0,97 · 0,95 = 0,9215.
2) P = 0,03 · 0,05 = 0,0015.
3) Противоположное событие — оба не сработали: P = 1 − 0,0015 = 0,9985.
4) Противоположное событию «сработали оба»: P = 1 − 0,9215 = 0,0785.
Ответ: 1) 0,9215; 2) 0,0015; 3) 0,9985; 4) 0,0785.
1150. В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что:
1) обе детали оказались нестандартными;
2) обе детали оказались стандартными;
3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной;
4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной.
Из первой партии: P(нестандартная) = 6/20 = 3/10, P(стандартная) = 7/10. Из второй: P(нестандартная) = 5/30 = 1/6, P(стандартная) = 5/6. Выборы независимы.
1) P = 3/10 · 1/6 = 1/20 = 0,05.
2) P = 7/10 · 5/6 = 35/60 = 7/12.
3) Противоположное событие — обе нестандартные: P = 1 − 1/20 = 19/20.
4) Противоположное событию «обе стандартные»: P = 1 − 7/12 = 5/12.
Ответ: 1) 1/20; 2) 7/12; 3) 19/20; 4) 5/12.
1151. В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что:
1) оба вынутых шара белые;
2) оба вынутых шара чёрные;
3) хотя бы один шар белый;
4) хотя бы один шар чёрный.
В первой коробке 10 шаров: P(б) = 7/10, P(ч) = 3/10. Во второй 14 шаров: P(б) = 5/14, P(ч) = 9/14. Извлечения независимы.
1) P = 7/10 · 5/14 = 35/140 = 1/4.
2) P = 3/10 · 9/14 = 27/140.
3) Противоположное событие — оба чёрные: P = 1 − 27/140 = 113/140.
4) Противоположное событию «оба белые»: P = 1 − 1/4 = 3/4.
Ответ: 1) 1/4; 2) 27/140; 3) 113/140; 4) 3/4.